1、1微分几何一、判断题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ ）2、二阶微分方程 总表示曲面上两族2 2A(,)B(,)(,)0uvduvduvd曲线. （ ）3、若 和 均在a,b连续，则他们的和也在该区间连续（ ）()rts4、向量函数 具有固定长的充要条件是对于 t 的每一个值，t的微商与 平行（ ）()st()s5、等距变换一定是保角变换. （ ）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（1，0 ，0）的切线为 X=Y=Z（ ）9、对于曲线 s= 上一点（t=t 0）,若其微商是零
2、，则这一点为曲线的正常点()st（ ）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ ）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ ）12、单位切向量的模是 1（ ）13、每一个保角变换一定是等距变换 （ ）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（ ）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是 ，这里 是第一基本量.（ ）0F二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线217、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0 ，0）的法平面是 _ y+z=0, .18.设给出 类曲线: , 则其弧长可表示为1c)(tr.babadtr)(19、已知 ， ，则 ，3os,incs2rxx0
3、213cos,in,45x， ， ，i,14os,in,5x62i。825sinx20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面 r= ,他的坐标网是否为正交的 ?_是()cos,()in,()ttt_(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_ 法线_线.23.任何两个向量 的数量积qp,qp)cos(pq24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为_ 等距(保长)变换_.25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_常数_数 (填“常数”或“非常数”).26.若曲线(c)用自然参数表示 ,则曲线(c)在 点的密切平面的方程是)(tr)0s
4、P0)(,)(0srsrR27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28.杜邦指标线的方程为 122NyMxL29、已知曲面 ， ， ，则它的第一基本形式cos,in,6ruv0u2v为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率22(3)dd136duvK，平均曲率 0 ，点 处沿方向 的法曲率236()uH(,0):2，点 处的两个主曲率分别为 。4715(1,0) 6,3730、（Cohn-Voeeen 定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个3映射一定是 R 中的合同或对称。331、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平
5、面族的包络三、综合题33求曲线 在原点的密切平面，法平面，切线方程。teztytx,cos,sin解： ,s,itetr ,sincon)( ttet 22,si2tttr在原点处 0t,)(r ,10)(r .2,0)(r在原点处切平面的方程为: 0)(,)(rrR即 0ZYX法平面的方程为: 0)(rR即 0ZY切线方程为 )0(rR即 10ZYX34、求曲面 的渐近曲线。3zxy4解 设 3,ruv则 ， ，21,0u 20,1vr 2413,1|9uvrnuvv， ，,6uruv,6v， ， 491Ln0uvMr461vNruv因渐近曲线的微分方程为 22dud即 或2uv0v渐近曲线
6、为 或 321C322()uvC35.求双曲抛物面 的第一基本形式2),(,uvbvuar解: 2)(,bvuar,ar.2,ubarv,bFvEvu4,42.22rGv 222 )()()( dvuadvadbaI 36.计算球面 的第二基本形式.)sin,icos,cs( RRr解: ,cos,ins,cosin0),i,i, RRr5由此得到,cos2RrE ,0rF,2RrG2FGrncossincosin0cos1 3212 RReee= ,i,又由于 ,0sinco,scoRriin ,si,s,sr所以),(cos2RnrL ,0nrM ,RnrN因而得到 )s(22Rd37.如
7、果曲面的第一基本形式 计算第二类克力斯托费尔符,)(22cvudds号.解:因为6, , 22)(1cvuE0F22)(1cvuG所以 uu cvucvE3242)()( vv G3242)()(所以 ,221cvuE,221cvuEv,21v G221,cuEG212 cvuv2238、已知曲面的第一基本形式为 ， ，求坐标曲线的测地2()Ivdu0v曲率。解 ， ， ， EGv0Fu1vEu-线的测地曲率 2ugGv-线的测地曲率 0vgE739、问曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线 是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是
8、曲面上的曲线 是测地线. 事实上，设 ，则 的切向量为 :()1,2)iius12durs记 ， ， ，1das2s1,ijjiDadau22,ijjiDa则曲线 的切向量 沿 平行移动012,00(1,2)iaids2, (1,)kijkijdudukss为测地线 40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线, 另一族是螺旋线.解:因为 ,sin,cobvur .0,0,0122 NbuMLGFE由于 所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网, 则一族渐近线是NL ,sin,co00vur这是螺旋线,另一族渐近线是 ,si,00bvr这是直线.841、设空间两条曲线 和 的曲率处处不为零，若曲线 和 可以
9、建立一一CC对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线 和 在对应点的切线夹固定角.证 设 ， ，则由 知 ，:()rs:()rs/从而 ， ，0 0dds，即constacos,C这表明曲线 和 在对应点的切线夹固定角. C42、证明 具有固定方向的充要条件是)(tr 0)(tr证明:必要性 设 ( 为常单位向量),则etr)(,)(etr所以 0)(tr充分性: ( 为单位向量函数),则)(tetr,)()()tettr.(2因为 ,当 ,从而有0),0)(ttr于 是 0)(tre9即 ,因为 (根据 ),因此 即 为常向量,所以)(/te)(te1)t0)(te)(t(r有固定方向43
10、、给出曲面上一条曲率线 ，设 上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证 是一条平面曲线 .证 设 ， ，其中 是 的自然参数，记:(,)ruv:(),usvs，则 ，两边求导，得 ， ,rncos d0nr由 为曲率线知 ，即 ， 因此 . d/rd/nrs d0nrss若 ，则 为平面曲线； 0若 ，则因 为曲面 上的一条曲率线， 故 . 而ndnr，所以 ，即 为常向量. 于是 为平面曲线. d0n44、求圆柱螺线 在 处的切线方程。,sincobtattR）（ 3解 ,sin)(ctatr时，有3t .,23)(,bar10所以切线的方程为)3()(rP即321)(32beaeep如果用坐标表示，则得切线方程为,32323bZaYX即 bZaYx32345、求双曲螺线 从 t=0 起计算的弧长。,sinh,coattar解： ,sinhicttr从 t=0 起计算的弧长为t0|t dtzyxd022|)(r= .sinh2coshc)1(sisn0222tadtattattt
