1、第 1 页，总 20 页三角函数的图像与性质 1.4-1.6一：知识点1.基本性质函数 定义域 值域 最值 周期奇偶性对称轴 对称中心 单调性Y=sinx 增区间 减区间 Y=cosx 增区间 减区间 Y=tanx 增区间 2： 图像的变化类型kxAysin：平移变换（1 ）：左右平移 -ysi xysin（2 ）：上下平移 -xn k：伸缩变化（1 ）：左右伸缩 -ysi xysin（2 ）：上下伸缩 -xn A3 图像的一般变化顺序kAysi左右平移 左右伸缩 上下伸缩 上xn)si(xyxysinxAysin下平移 kysi二：例题讲解1函数 的最小正周期为（ ）()sin2)3fxA
2、B C D2 24【答案】 .【解析】试题分析：由三角函数 的最小正周期 得 .解决这类问题，须将函数化sin()yAx2|T为 形式，在代 时，必须注意取 的绝对值，因为是求最小正周期.sin()AxB2|T考点：三角函数的周期计算2函数 ， 是（ ）si2yxR试卷第 2 页，总 20 页A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数2C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 【答案】C【解析】试题分析：函数 =cos2x，显然函数是偶函数，函数的周期是 T= 故选 Csin2yx 2考点：1.三角函数的周期性；2.函数的奇偶性.3要得到函数 ycos(2x1)的图像
3、，只要将函数 ycos 2x 的图像( )A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位22【答案】C【解析】把函数 ycos 2x 的图像向左平移 个单位，得 ycos 2 的图像，即 ycos(2x1)11x的图像，因此选 C.4 将函数 sinx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来3的 2 倍(纵坐标不变)得到函数 f(x)的图象,则 f()等于( )A. B. C. D.3232121【答案】D【解析】试题分析：因为将函数 sinyx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，得到的函数解析式为3.再把函数 各点的
4、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到sin()3yx()3.所以 .1)2f 151si()sin(26f 考点：1.三角函数的左右平移.2.三角函数的伸缩变换.5要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）cos3fxsi23gxA.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度22C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度44【答案】C.【解析】试题分析：因为函数 ，cos23fx )125(sin)3sin(xx第 3 页，总 20 页所以将函数 的图象向左平移 个单位长度，sin23gx4即可得到函数 的图像.故应选 C.)652sin()4(ixy考点：函数 的图像变
5、换.sinxA6如图所示是函数 的部分图像，则 的解析式为 .()i)(0,|)f()fx【答案】 ()si23fx【解析】由图像得函数周期 4()126T又 ，所以 ，即Tsinfx由图像知 ,所以 ，解得()12f ()kZ2()3kZ又 ，所以|3故答案为 ()sin)fx【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式.7函数 的部分图象如图所示，为了得到 的图象，()i()fA(0,)2sin2yx只需将 的图象( )xA向右平移 个单位 B向右平移 个单位36C向左平移 个单位 D向左平移 个单位【答案】B【解析】试题分析：观察图象可知， ， ， ， .1AT2()sin2)fx将 代入上
6、式得 ，由已知得 ，故 .(,0)6sin()033(3x由 知，为了得到 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位.si2()6fxsinyx)f6故 选 B考点：正弦型函数，函数图象像的平移.8已知函数 （ ， 为常数)()sin()fxAxb0,A、 b一段图像如图所示(1)求函数 的解析式；()f(2)将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横yx12xyO631试卷第 4 页，总 20 页坐标扩大为原来的 4 倍，得到函数 的图像，求函数 的单调递增区间.()ygx()gx【答案】 （1） ；（2） ， ()3sin(6fx543k， kZ【解析】解析：（1）由已知， ，
7、，因为 ，所以51)3A(1)2b5()4126T2由“五点法”作图， ，解得266所以函数 的解析式为 6 分()fx()sin(2)fx（2）将函数 的图像向左平移 个单位后得到的函数解析式为 ，y1 3sin2()216yx即 ，再将图像上各点的横坐标扩大为原来的 4 倍，得3sin()2x )3g由 ，得1+kk5433kxk故 的单调递增区间为 ， 10 分.()gx， Z考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像变换.9已知函数 ()sin3cos(0)fxx的图象与 x轴的两个相邻交点的距离等于 2，若将函数yfx的图象向左平移 6个单位得到函数 (yg的图象，则 ()y
8、gx是减函数的区间为（ ）A (,0)3 B (,)4 C ,)3 D ,43【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 由题意得 所以 因此()sin3cos2in()3fxx2.T,2T2.其减区间满足： 即()2sin2,6gx 3,(),kxkZ只有 ，所以选 D.3,(),44kkZ(,),43考点：三角函数图像变换10若将函数 y2sin（x ）的图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平移4 12个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：（ ）4Ax Bx Cx Dx8484【答案】A【解析】试题分析：函数 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到
9、函数2sin4yx 12第 5 页，总 20 页，所的函数再向右平移 个单位，得到函数2sin4yx4， 代入得 ，故 是所得函数图像的一i2sinx82y8x条对称轴的方程考点：三角函数图像与性质，三角函数图像变化11已知函数 .()cos2)sin()si()34fxx(1)求函数 的最小正周期和图像的对称轴方程；(2)求函数 在区间 上的值域.()fx,12【答案】 （1） ， ；（2） T()3kxZ31，【解析】试题分析：（1）先利用两角和与差的三角函数将式子展开合并，再利用二倍角公式、辅助角公式化简得到 ，再结合正弦函数的性质，由 、 可得函数 的()sin2)6fxT2,6xkZ
10、()fx最小正周期与对称轴的方程；（2）将 当成整体，由 ，利用26x 52136x正弦函数的单调性可得 ，即 的值域.3sin()1()fx试题解析：（1） ()co2i(sin4fx3cos2insi)sico)xx221iicx3cos2inosxin()6所以函数 的周期()fx2T由 ，得2)6kZ()3kxZ所以函数 图像的对称轴方程为 6 分()fx2（2）因为 ，所以12， 56x，因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减()sin)6fx13， 32，试卷第 6 页，总 20 页所以当 时， 取最大值 13x()fx又因为 ，当 时， 取最小值(122ff2x()fx32
11、所以函数 在区间 上的值域为 10 分.()fx， 31，考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角恒等变换.12设函数 。Rx,sinxf 42（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；f（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取最值时 的值。xf438, x【答案】 （1）最小正周期为 ，单调递增区间为 ；（2） 时，最小值3,()8kkZ341， 时，最大值 38x2【解析】试题分析：（1）函数 的最小正周期是 ，求它的单调区间实质是借助sinfxAxm2T整体法利用 的单调区间，只不过要注意 和 的正负；（2）求函数sinyA的最值也是利用整体思想，同样是借助于 的最值fxAxm
12、 sinyx试题解析：（1） ， 3 分2T由 ， 2 分24kxk得 ， 1 分388递增区间是 1 分,()kkZ（2）令 ，则由 可得 ， 2 分4tx4x504t当 即 时， 2 分5t3min2()1y当 即 时， 2 分2t8xin1考点：(1)三角函数的最小正周期与单调区间；（2）在给定区间上的最值13已知函数 f(x) sin x cos x cos 2x ( 0)，其最小正周期为 .312(1)求 f(x)的解析式第 7 页，总 20 页(2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，8得到函数 y g(x)的图象，若关
13、于 x 的方程 g(x) k0，在区间 上有且只有一个实数解，求实数0,2k 的取值范围【答案】 （1）sin （2） k 或 k1.(4)6x32【解析】(1) f(x) sin x cos x cos 2x sin 2x sin 3131cos(2)x1，由题意知 f(x)的最小正周期 T ， T .(26 2， f(x)sin .46(2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后，得到8ysin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，43得到 ysin 的图象(2)x g(x)sin ，0 x ，2 2 x ， g(x) k0 在区间 上有且只有一个实数解，即
14、函数 y g(x)与 y k33,在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知 k 或 k1. k0,2 3232或 k1.3三：习题1 函数 的最小正周期是 .2cos()yx【答案】 【解析】由题意 ，cs4yx2T【考点】三角函数的周期.2函数 os()3图象的两条相邻对称轴间的距离为A. 8 B. 4 C. 2 D.【答案】B 【解析】试卷第 8 页，总 20 页试题分析：函数的最小正周期为 ，函数 cos(4)3yx图象的两条相邻对称轴间的距离是函数周期的一半，所以，两条相邻对称轴间的距离为 ，选 B。考点：余弦型函数的图象和性质。点评：简单题，注意函数图象的对称轴过图象的最高（
15、低）点。3把函数 y3sin2x 的图象向左平移 个单位得到图像的函数解析是 6【答案】 .sin(2)3x【解析】试题分析：由题知，得到的图像的解析式是在函数 y3sin2x 中 上加 ，整理即为 ，平x63sin(2)x移问题，注意平移方向加左减右，平移单位是加在 上.函数 y3sin2x 的图象向左平移 个单位得到图x 6像的函数解析 = .3sin2()6yx3sin(2)考点：平移变换4要得到函数 的图象，只要将函数 的图象 ( ) si()4sin2yxA向左平移 单位 B向右平移 单位4C向左平移 单位 D向右平移 单位88【答案】D【解析】试题分析： ，因此只要将函数 的图象向
16、右平移 单位可得函sin(2)sin2()48yxxsin2yx8数 的图象.i()考点：三角函数图像变换.5把函数 的图象向右平移 个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，sin(5)2yx4 12所得的函数解析式为( )A B 3i(10)47sin(10)2yxC D7snyx3【答案】C【解析】试题分析：先将原函数图象向右平移 个单位得， ，再把所得函数4sin(5)sin(5)424yxx第 9 页，总 20 页图象上各点的横坐标缩短为原来的 得， ，选 C.127sin(10)4yx考点：三角函数图象的平移变换.6要得到函数 ycos2x 的图象，只需将函数 ysin
17、2x 的图象沿 x 轴( )A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位4C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位88【答案】B【解析】ycos2xsin(2x )，只需将函数 ysin2x 的图象沿 x 轴向 个单位，即得2 4ysin2(x )cos2x 的图象，故选 B.47为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）13sincos2yxxsin(3)6yxA. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位3【答案】D【解析】试题分析：由于函数 ,那么可知只需要把函数 的132sincos=in(3)2yxxsin(3)6yx图像向右平移
18、个单位，既可以得到，故选 D.6考点：三角函数图像变换点评：主要是考查了三角函数的图像的变化的运用，属于基础题。8已知函数 的部分图象如图所示，()sin)(0,)2fx则 的值为 【答案】 3【解析】试题分析：由图像可知， ,将点 代入，得25()2,63T02(,0)3， .2sin()03,考点：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式.9函数 的部分图像如图)2|,0)(sin)( Axxf所示，则将 的图象向右平移 个单位后，得到的图像解析式y6为 ( ) A.B.62sinx)2sin(xyC. D. y 3试卷第 10 页，总 20 页【答案】A【解析】试题分析：通过观察可
19、得函数 f(x)的周期为 .又函数 f(x)过点 .解得 所以函数(,1)66.将函数向右平移 个单位可得 .故选 A.本题是通过图像了解一()sin2)6fx6()sin2fx些函数的性质.再结合函数的平移得到结论.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数的平移.3.待定系数确定函数的解析式.10已知函数 的部分图象()sinfxAx(0,)2如图所示,则函数 的表达式是（ ）yA. B. ()2si()3fx()2sin()3fxC. D. n1【答案】 A【解析】试题分析：由三角函数图象可知 ，且 ，得2A52T，故 ，将点 的坐标代入函数 ，T2T5(,)1()2sin()fx， ，由于 得 所以函数 的52,1kZ3kZ3yfx表达式为 .()2sin3fxx考点：求三角函数解析式.11设函数 ，且其图像相邻的两条对称轴为 ()cos)sin(),(0,)2f x，则0,2xA 的最小正周期为 ，且在 上为增函数()yf2(0,)B 的最小正周期为 ，且在 上为减函数xC 的最小正周期为 ,且在 上为增函数()yf(,)2D 的最小正周期为 ，且在 上为减函数x0【答案】D【解析】试题分析：因为 = ，由其图像相邻的两条对称轴()cos)3sin()fxx2cos()3x为 知， 且 ，解得 =2， ，所以0,203，()2cosfx
