1、一空间直角坐标系如图 1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以 O 为原点，分别以射线 OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个 空间直角坐标系 ，其中点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、zOx 平面、yOz 平面，通常建立的坐标系为 右手直角坐标系 ，即 右手拇指 指向 x 轴的正方向， 食指 指向 y 轴的正方向， 中指指向 z 轴的正方向二空间直角坐标系中的坐标空间一点 M 的坐标可用有序实数组
2、(x，y ，z) 来表示，有序实数组(x ，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的 横坐标 ， y 叫做点 M 的 纵坐标 ，z 叫做点 M 的 竖坐标 例 1 在空间直角坐标系中，作出点 M(6，2,4)例 2 长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，| AB|a，|BC|b，|CC 1|c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置( 如图 3)，分别写出长方体各顶点的坐标变式 1：棱长为 2 的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。2.底面为边长为 4 的菱形，高为 5 的棱柱，将此几何体放到
3、空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。3. 在棱长均为 2a 的正四棱锥 PABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥 PABCD 各顶点坐标；(2)写出棱 PB 的中点 M 的坐标解：连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO，PABCD 为正四棱锥，且棱长均为 2a.四边形 ABCD 为正方形，且 PO平面 ABCD.OA a.PO a.2 PA2 OA2 2a2 2a2 2以 O 点为坐标原点，OA，OB，OP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（1）正四棱锥 PABCD 中各顶点坐标分别为 A( a,0,0)，B(0， a,0)，
4、C( a,0,0)，D (0， a,0)，2 2 2 2P(0,0， a)2(2)M 为棱 PB 的中点，由中点坐标公式，得 M( ， ， )，即 M(0， a， a)0 02 2a 02 0 2a2 22 22例 3 在空间直角坐标系中，点 P(2,1,4)(1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点 P 关于点 M(2，1，4) 的对称点的坐标解 (1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(2，1 ，4) (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，
5、它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2( 2,1，4)(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中点坐标公式，可得 x22(2)6，y2( 1)13，z2(4)412，所以 P3(6，3，12)变式：1.写出点 P(6，2 ，7)在 xOy 面，yOz 面，xOz 面上的投影的坐标以及点 P 关于各坐标平面对称的点的坐标解：设点 P 在 xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面上的投影分别为点 A，B ，C ，点 P 关于 xOy 平面、yOz 平面、xOz平面的对称点分别为点 A，B，C ，由 PA平面 xOy，PB
6、平面 yOz，PC平面 xOz 及坐标平面的特征知，点A(6， 2,0)，点 B(0，2，7) ，点 C(6,0，7) ；根据点 P 关于各坐标平面对称点的特征知，点 A(6，2,7)，B( 6，2， 7)，C (6,2，7)2.在棱长都为 2 的正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC A1B1C1 各顶点的坐标正解 取 BC，B 1C1 的中点分别为 O，O 1，连线 OA，OO 1，根据正三棱柱的几何性质，OA，OB ，OO 1 两两互相垂直，且|OA| 2 ，32 3以 OA，OB ，OO 1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系
7、，如图 5 所示，则正三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标分别为 A( ，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0) ，A 1( ，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，1,2)3 3三空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量(2) 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作n.此时把 向量 n 叫做平面 的法向量2. 线面关系的判定直线 l1 的方向向量为 e1(a 1，b 1，c 1)，直线 l2 的方向向量为 e2(a 2，b 2，c
8、 2)，平面 的法向量为n1(x 1，y 1，z 1)，平面 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)(1) 如果 l1 l2，那么 e1e 2 e2e 1 a2a 1，b 2b 1，c 2c 1(2) 如果 l1 l2，那么 e1e 2 e1e20 a1a2b 1b2c 1c20(3) 若 l1 ，则 e1n 1 e1n10 a1x1b 1y1c 1z10(4) 若 l1 ，则 e1n 1 e1kn 1 a1kx 1，b 1ky 1，c 1kz 1(5) 若 ，则 n1n 2 n1kn 2 x1kx 2，y 1 ky2，z 1kz 2(6) 若 ，则 n1n 2 n1n20 x1x2y 1
9、y2z 1z203. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角范围：两条异面直线所成的角 的取值范围是 .(0， 2向量求法：设直线 a、 b 的方向向量为 a、b，其夹角为 ，则有 cos|cos|.(2) 直线与平面所成的角范围：直线和平面所成的角 的取值范围是 .0， 2向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹角为 ，则有 sin|cos |(3) 二面角二面角的取值范围是0，二面角的向量求法：() 若 AB、CD 分别是二面角 -l- 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角(
10、如图)() 设 n1、n 2 分别是二面角 -l- 的两个面 、 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)题型 1 空间向量的基本运算例 1已知空间三点 A( 2，0，2) ，B(1，1，2)，C( 3，0，4) 设 a ，b .AB AC (1) 求 a 和 b 的夹角 ；(2)若向量 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值解：A( 2， 0，2) ，B(1 ，1，2)，C(3，0，4) ，a ，b ，AB AC a(1，1，0)，b( 1，0，2) (1)cos ，a 和 b 的夹角为 arccos .ab|a|b| 1 0 025
11、1010 ( 1010)(2)kabk(1，1，0)( 1，0，2) (k1，k，2) ，ka2b(k 2，k，4)，且(kab)(k a2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k 1)(k2)k 282k 2k100，解得 k 或 2.52题型 2 空间中的平行与垂直例 2 如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M 是线段 EF 的中点2求证：(1) AM平面 BDE；(2) AM平面 BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ACBDN，连结 NE.则 N ( 22，22，0)，E(0，0，1) ，A( ， ，0) ，M .
12、， .2 2 (22，22，1) NE ( 22， 22，1) AM ( 22， 22，1) 且 NE 与 AM 不共线 NEAM. NE 平面 BDE，AM 平面 BDE， AM平面 BDE.NE AM (2) 由(1)知 ， D( ，0，0)，F( ， ，1) ， (0 ， ，1)，AM ( 22， 22，1) 2 2 2 DF 2 0， AMDF.同理 AMBF. 又 DFBF F， AM 平面 BDF.AM DF 题型 3 空间的角的计算例 3 (2013苏锡常镇二模)如图，圆锥的高 PO 4，底面半径 OB2，D 为PO 的中点，E 为母线 PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足
13、EFDE.(1) 求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值；(2) 求二面角 F-OD-E 的正弦值解：(1) 以 O 为原点，底面上过 O 点且垂直于 OB 的直线为 x 轴，OB 所在的线为 y 轴，OP 所在的线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(0，2，0)，P(0，0，4) ，D(0，0，2)，E(0，1，2) 设 F(x0，y 0，0)(x 00，y 00)，且 x y 4，则 (x 0，y 01，2) ， (0，1，0)，20 20 EF DE EFDE，即 ，则 y 010，故 y01. F( ，1，0)， ( ，0，2)， (0，2，2)EF DE EF DE 3 EF
14、 3 BD 设异面直线 EF 与 BD 所成角为 ，则 cos .|EF BD |EF |BD | 4722 147(2) 设平面 ODF 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则 即n1OD ，n1OF ，) z1 0，3x1 y1 0.)令 x11，得 y1 ，平面 ODF 的一个法向量为 n1(1， ，0)设平面 DEF 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，3 3同理可得平面 DEF 的一个法向量为 n2 .(1，0，32)设二面角 F-OD-E 的平面角为 ，则|cos| . sin .|n1n2|n1|n2| 17 77 427（翻折问题）例 4. (2013 广东韶关
15、第二次调研)如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A 45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC(如图乙)，设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点(1) 求证： DC平面 ABC； (2) 求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值；(3) 求二面角 BEFA 的余弦值解：(1) 平面 ABD平面 BDC，又 ABBD， AB平面 BDC，故 ABDC，又 C 90， DCBC ， BC ABC 平面 ABC，DC 平面 ABC，故 DC平面 ABC. (2) 如图，以 B 为坐标原点，BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系
16、如下图示， 设 CDa，则 BDAB2a，BC a，AD2 a，可得 B(0，0，0)，D(2a，0，0)，3 2A(0，0 ，2a)，C ， F(a，0，a)， ， (a ，0，a)(32a，32a，0) CD (12a， 32a，0) BF 设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ，由(1)知 DC平面 ABC， cos ， sin .(2 ) CD BF |CD |BF |12a2a 2a 24 24(3) 由(2)知 FE平面 ABC, 又 BE 平面 ABC，AE 平面 ABC， FEBE，FE AE ， AEB 为二面角 BEFA 的平面角 .在AEB 中，AEBE AC a，12
17、12AB2 BC2 72 cosAEB ，即所求二面角 BEFA 的余弦为 .AE2 BE2 AB22AEBE 17 17课后巩固练习：1.(2013江苏卷)如图所示，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，A 1A4，点 D 是 BC 的中点(1) 求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2) 求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值解：(1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0) ，C(0，2，0)，D(1 ，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4) ，所以 (2，0，4)
18、，A1B (1，1，4)C1D 因为 cos ， ，所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 182018 31010的余弦值为 .31010(2) 设平面 ADC1 的法向量为 n1(x，y，z) ，因为 (1 ， 1，0)， (0，2，4) ，所以 n1 0，n 1 0，即 xy0 且AD AC1 AD AC1 y2z0，取 z1，得 x2，y2，所以，n 1(2，2，1) 是平面 ADC1 的一个法向量取平面 AA1B 的一个法向量为 n2(0，1，0) ，设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 .由|cos| ，得
19、sin .n1n2|n1|n2| 291 23 53因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 .532. (2013新课标全国卷)如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D、E 分别是 AB、BB 1 的中点，AA1ACCB AB.22(1) 证明：BC 1平面 A1CD；(2) 求二面角 DA1CE 的正弦值(1) 证明：连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF.因为 DF 平面 A1CD，BC 1 平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2) 由 ACCB AB 得 ACBC. 以 C 为坐
20、标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系22 CA Cxyz.设 CA2，则 D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)， (1，1，0)， (0，2，1) ， (2，0，2)CD CE CA1 设 n(x 1，y 1， z1)是平面 A1CD 的法向量，则 即nCD 0，nCA1 0，) x1 y1 0，2x1 2z1 0.)可取 n(1 ， 1，1)同理，设 m 为平面 A1CE 的法向量，则 可取 m(2，1，2)mCE 0，mCA1 0.)从而 cosn， m ，故 sinn，m .即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 .nm|n|m| 33 63
21、633. (2013重庆) 如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD ，F 为 PC 的中点，AFPB. 3(1) 求 PA 的长；(2) 求二面角 B-AF-D 的正弦值解：(1) 如图，连结 BD 交 AC 于 O，因为 BCCD，即BCD 为等腰三角形，又 AC 平分BCD，故 ACBD. 以 O 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立OB OC AP 空间直角坐标系 Oxyz，则 OCCDcos 1，而 AC4，得 AOACOC3.又3ODCDsin ，故 A(0， 3，0) ，B( ，0，0) ，C(0
22、 ，1，0)，D( ，0，0) 3 3 3 3因为 PA底面 ABCD，可设 P(0，3，z) ，由 F 为 PC 边中点，得 F ，又(0， 1，z2) ， ( ，3， z)，因 AFPB ，故 0，即 6 0，z2 (舍去2 )，所以| |2 .AF (0，2，z2) PB 3 AF PB z22 3 3 PA 3(2) 由(1)知 ( ，3，0)， ( ，3，0) ， (0，2， )设平面 FAD 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，AD 3 AB 3 AF 3平面 FAB 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)由 n1 0，n 1 0，AD AF 得 因此可取 n1(3，
23、，2)由 n2 0，n 2 0， 3x1 3y1 0，2y1 3z1 0，) 3 AB AF 得 故可取 n2(3， ，2)从而向量 n1，n 2的夹角的余弦值为 cosn 1，n 2 .3x2 3y2 0，2y2 3z2 0，) 3 n1n2|n1|n2| 18故二面角 B-AF-D 的正弦值为 .3784. (2013连云港调研) 在三棱锥 SABC 中，底面是边长为 2 的正三角形，点 S 在底面 ABC 上的3射影 O 恰是 AC 的中点，侧棱 SB 和底面成 45角(1) 若 D 为侧棱 SB 上一点，当 为何值时，CDAB；SDDB(2) 求二面角 S-BC-A 的余弦值大小解：以
24、 O 点为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OS 为 z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知SBO45，SO3.O(0，0，0)，C(0， ，0) ，A(0， ，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0) 3 3(1) 设 (0 1)，则 (1) (3(1) ，0，3)，所以 (3(1) ， ，3)BD BS OD OB OS CD 3因为 (3， ，0)，CDAB，所以 9(1)30，解得 .AB 3 CD AB 23故 时， CDAB.SDDB 12(2) 平面 ACB 的法向量为 n1(0 ，0，1)，设平面 SBC 的法向量 n2(x，y，z) ，则 n20， n2 0，
25、则 解得 取 n2(1 ， ，1)，SB SC 3x 3z 0，3y 3z 0，) x z，y 3z，) 3所以 cosn 1， n2 .30 10 1112 12 （3）21 55又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为 .555. 在直四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，AA 12，底面是边长为 1 的正方形，E 、F 分别是棱 B1B、DA 的中点(1) 求二面角 D1 -AE- C 的大小；(2) 求证：直线 BF平面 AD1E.(1) 解：以 D 为坐标原点， DA、DC、DD 1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图则相应点的坐标分别为 D1(0，
26、0，2)，A(1 ，0，0)，C(0，1，0) ，E(1，1，1)， (0，0 ，2) (1，1， 1)(1，1，1) ，ED1 (1，1，1)(1，0，0)(0，1，1) ，AE (0，1，0)(1，0，0) (1，1，0)AC 设平面 AED1、平面 AEC 的法向量分别为 m(a，b，1)，n(c，d，1)由 由 ED1 m 0，AE m 0) a b 1 0，b 1 0 ) a 2，b 1，) AC n 0，AE n 0) c d 0，d 1 0 ) c 1，d 1，)m(2，1，1)，n (1，1，1)，cos m，n 0，二面角 D1 AE C 的大mn|m|n| 2 1 163小
27、为 90.(2) 证明：取 DD1 的中点 G，连结 GB、GF.E、F 分别是棱 BB1、AD 的中点，GFAD 1，BE D 1G 且 BED 1G，四边形 BED1G 为平行四边形，D 1EBG.又 D1E、D 1A 平面 AD1E，BG、GF 平面 AD1E，BG平面 AD1E，GF平面 AD1E.GF、GB 平面 BGF，平面 BGF平面 AD1E.BF 平面 AD1E，直线 BF平面 AD1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线 BF平面 AD1E，亦可)6. (2013苏州调研)三棱柱 ABCA 1B1C1 在如图所示的空间直角坐标系中，已知 AB2，AC4，A 1
28、A3.D 是BC 的中点(1) 求直线 DB1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值；(2) 求二面角 B1-A1D-C1 的正弦值 解：(1) 由题意，A(0 ，0，0)，B(2，0，0) ，C(0，4， 0)，D(1，2，0) ，A 1(0，0，3) ，B1(2，0，3)，C 1(0，4，3). (1，2，3) ， ( 0，4，0). A1D A1C1 设平面 A1C1D 的一个法向量为 n(x，y，z) n x2y3z0，n 4y0.A1D A1C1 x3z，y0.令 z1，得 x3.n(3，0，1) 设直线 DB1 与平面 A1C1D 所成角为 ， (1，2，3)， sin |cos n
29、| .DB1 DB1 31 0（ 2） 131014 33535(2) 设平面 A1B1D 的一个法向量为 m(a，b，c) (2，0，0)， m a 2b3c0，m 2a0， a0，2b3c.令A1B1 A1D A1B1 c2，得 b3.m(0 ，3，2)设二面角 B1A1DC1 的大小为 ， |cos| cos|m，n | ，则 sin |mn|m|m| |03 30 21|1310 265 3765. 345565 二面角 B1A1DC1 的正弦值为 . 3455657. (2013南通二模 )如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1B平面 ABC，AB AC，且ABACA 1B2
30、.(1) 求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小；(2) 在棱 B1C1 上确定一点 P，使二面角 PABA 1 的平面角的余弦值为 .255解：(1) 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 C(2，0，0) ，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，(0 ，2， 2)， (2 ，2，0)cos ， ，故AA1 BC B1C1 AA1 BC AA1 BC |AA1 |BC | 48 8 12AA1 与棱 BC 所成的角是 .3(2) P 为棱 B1C1 中点，设 (2，2，0)，则 P(2，42，2)B1P B1C1 设平面 PAB 的法向量为 n1 (x，y，z)
31、， (2，42，2)，AP 则 n1AP 0，n1AB 0.)x 2y y z 0，2y 0. )z x，y 0. )故 n1(1 ，0， )，而平面 ABA1 的法向量是 n2(1，0，0) ，则 cosn 1，n 2 ，解得 ，即 P 为棱 B1C1n1n2|n1|n2| 11 2 255 12中点，其坐标为 P(1，3，2)近六年高考题1. 【2010 高考北京理第 16 题】(14 分)如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CE AC， EF AC， AB ， CE EF1.2(1)求证： AF平面 BDE；(2)求证： CF平面 BDE；(3)求二面角 A-
32、BE-D 的大小【答案】设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1，AG= AC=1.12所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AF/平面 EG， 因为 平面 BDE，AF 平面 BDE， 所以 AF/平面 BDE.EG（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CE AC，所以 CE 平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- .则 C（0 ，0，0） ，A（ ， ，0） ，B（0 ， ，0）.xyz22所以 ， ， .所以 ,2(,1)F(0,21)BE(2,1)DE1FE10CFDEA所以 , .所以 BDE.CF
33、BEDCF(III) 由（II）知， 是平面 BDE 的一个法向量.设平面 ABE 的法向量 ,则 ，2(,1) ()nxyz0nBA.0nA即 所以 且 令 则 . 所以 .(,)2,01)xyz,x2,zy1,2z(0,12)n从而 。 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的大小为 .3cos,|nCFAABEDABED62 【2011 高考北京理第 16 题】 （共 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD，底面 ABCDPCP是菱形， ， .2B 60D（1）求证： 平面 PAC；（2）若 ，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；PA（3）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长.3. 【2012 高考北京理第 16 题】 （本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2.(I)求证：A 1C平面 BCDE；(II)若 M 是 A1D 的中点， 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；DPAB C(III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由
