1、1三、解答题26.（江苏 18）如图，在平面直角坐标系 xOy中，M 、N 分别是椭圆124yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k（1 ）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；（2 ）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（3 ）对任意 k0，求证：PAPB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分.解：（1）由题设知， ),20(),(,2, N
2、Mba故 所以线段 MN 中点的坐标为)2,(，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标 原点，所以.21k（2 ）直线 PA 的方程21,4xyyx代 入 椭 圆 方 程 得解得).3,(),432, APx因 此于是),032(C直线 AC 的斜率为.032,1320yxAB的 方 程 为故 直 线.1|4|,2d因 此（3 ）解法一：将直线 PA 的方程 kxy代入2 221, ,411yxkk解 得 记则 )0,(),(),( CAP于 是2故直线 AB 的斜率为,20k其方程为,0)23(2)(),(2 2 kxkxky 代 入 椭 圆
3、 方 程 得解得232 233(,)Bk或 因 此.于是直线 PB 的斜率.1)2(32)(2231 kkk因此 .,1PBAk所 以解法二：设 )0,(,(,0,),(),( 11212121 xCyAxxyxP 则 .设直线 PB，AB 的斜率分别为 k因为 C 在直线 AB 上，所以.2)(0112xyxk从而 1)(212211 xyxykk .04)(212121 xy因此 .,PBAk所 以28.（北京理 19） 已知椭圆2:14xGy.过点（m,0 ）作圆21xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将 AB表示为 m 的函数，并
4、求 AB的最大值.（19 ） （共 14 分）解：（）由已知得 ,12ba3所以 .32bac所以椭圆 G 的焦点坐标为 )0,3(,(离心率为.2ace（）由题意知， 1|m.当 时，切线 l 的方程 x，点 A、B 的坐标分别为),231(),此时 3|AB当 m=1 时，同理可得 3|当 |m时，设切线 l 的方程为 ),(mxky由048)41(.4),( 2222 yxk得设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx，则22121 4,48kmxkx又由 l 与圆.1,1|, 222 ky即得相 切所以 1212)()(| yxAB4)4(6)122kmk.3|42m由于当 时，
5、,3|AB所以),1,(,|4|2 .4因为,2|3|4|34|2mAB且当 m时，|AB|=2，所以|AB| 的最大值为 2.32.（湖南理 21） 如图 7，椭圆21:(0)xyCab的离心率为32，x 轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于 C1 的长半轴长。（）求 C1，C2 的方程；（）设 C2 与 y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线 l与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E（i）证明：MDME;（ii）记MAB,MDE 的面积分别是 12,S问：是否存在直线 l,使得1273S?请说明理由。解 ：（）由题意知 .1,2,3babaace
6、解 得又从 而故 C1，C2 的方程分别为.,1422xyx（） （i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 kxy.由 12xyk得0.设 2121,),(),(xyxBA则 是上述方程的两个实根，于是.21kx又点 M 的坐标为（ 0，1） ，所以 2122121 )()(xkxkxyBA 5.12k故 MAMB，即 MDME.（ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为 1,12xykxky由解得1,102kyx或则点 A 的坐标为 ),(.又直线 MB 的斜率为 1k，同理可得点 B 的坐标为).,(21于是22 11 11| |2 |kSMA
7、kk由 04,2yxk得 .08)(121x解得218,14kxy或则点 D 的坐标为2118(,).k又直线 ME 的斜率为 k，同理可得点 E 的坐标为).4,8(2121k于是 )4(1|32|2121kMS.因此11224(7).6k由题意知，2 221 11(),4,.3k解 得 或6又由点 A、B 的坐标可知，2113,.2kk所 以故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为.xy和34.（全国大纲理 21） 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆2:1yCx在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为-2的直线 l与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 0.OABP（）证明：
8、点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A 、P、B、Q 四点在同一圆上解：（I）F（0，1） ， l的方程为 21yx，代入2yx并化简得2410.2 分设 23(,)(,)(,)AxyBPxy则 1266,44121212,(),xyx由题意得 312312(),().xy7所以点 P 的坐标为2(,1).经验证，点 P 的坐标为(,)满足方程21,yx故点 P 在椭圆 C 上。 6 分（II）由(,)2和题设知， 2(,1)QPQ 的垂直平分线 1l的方程为.2yx设 AB 的中点为 M，则21(,)4，AB 的垂直平分线为 2l的方程为21.4yx由、得 1
9、2,l的交点为21(,)8N。 9 分221223|()(),|1|,3|,43|()(),881|,NPABxMNAN故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上 12 分36.（山东理 22） 8已知动直线 l与椭圆 C: 213xy交于 P1,xy、Q 2,两不同点，且OPQ 的面积 OPQS=62,其中 O 为坐标原点.（）证明 1x和21y均为定值;（）设线段 PQ 的中点为 M，求 |PQ的最大值；（）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得62ODEGO
10、ESS?若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由.（I）解：（1）当直线 l的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，所以 211,.xy因为 ()在椭圆上，因此213xy又因为6,2OPQS所以 1|.xy由、得 116|,|.2此时2113,xy（2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ,ykxm由题意知 m 0，将其代入213xy，得22(3)6()0kx，其中21,km即 2k（*）9又2121263(),kmxxk所以222221163| ()4,kmPQx 因为点 O 到直线 l的距离为2|,dk所以1|2PQS22263|1kmk22|3mk又6,2OPQS整
11、理得23,k且符合（*）式，此时222211163()()(),kmxx k222211 134.3y x综上所述， 212;,xy结论成立。（II）解法一：（1）当直线 l的斜率存在时，由（I）知 116|,|2|,OMxPQy因此|.2（2）当直线 l的斜率存在时，由（I）知123,xkm10221212212222223() ,9161|() (3),4443()|(1) ,()yxkkmkmyOMkPQ所以222211| ()m222(3)15().4所以5|2OMPQ，当且仅当 2213,m即时，等号成立.综合（1） （2 ）得|OM|PQ|的最大值为5.解法二：因为22222211114|()()()()OPQxyxy220.所以224|102| 5.MPP即5|,OQ当且仅当 2|OQ时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为.（III）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得6.2ODEGOESS证明：假设存在 12(,),)(,)EEuvxy满 足，由（I）得
