1、1三、解答题26.(江苏 18)如图,在平面直角坐标系 xOy中,M 、N 分别是椭圆124yx的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k(1 )当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值;(2 )当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;(3 )对任意 k0,求证:PAPB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分 16 分.解:(1)由题设知, ),20(),(,2, N
2、Mba故 所以线段 MN 中点的坐标为)2,(,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标 原点,所以.21k(2 )直线 PA 的方程21,4xyyx代 入 椭 圆 方 程 得解得).3,(),432, APx因 此于是),032(C直线 AC 的斜率为.032,1320yxAB的 方 程 为故 直 线.1|4|,2d因 此(3 )解法一:将直线 PA 的方程 kxy代入2 221, ,411yxkk解 得 记则 )0,(),(),( CAP于 是2故直线 AB 的斜率为,20k其方程为,0)23(2)(),(2 2 kxkxky 代 入 椭 圆
3、 方 程 得解得232 233(,)Bk或 因 此.于是直线 PB 的斜率.1)2(32)(2231 kkk因此 .,1PBAk所 以解法二:设 )0,(,(,0,),(),( 11212121 xCyAxxyxP 则 .设直线 PB,AB 的斜率分别为 k因为 C 在直线 AB 上,所以.2)(0112xyxk从而 1)(212211 xyxykk .04)(212121 xy因此 .,PBAk所 以28.(北京理 19) 已知椭圆2:14xGy.过点(m,0 )作圆21xy的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点.(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;(II)将 AB表示为 m 的函数,并
4、求 AB的最大值.(19 ) (共 14 分)解:()由已知得 ,12ba3所以 .32bac所以椭圆 G 的焦点坐标为 )0,3(,(离心率为.2ace()由题意知, 1|m.当 时,切线 l 的方程 x,点 A、B 的坐标分别为),231(),此时 3|AB当 m=1 时,同理可得 3|当 |m时,设切线 l 的方程为 ),(mxky由048)41(.4),( 2222 yxk得设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx,则22121 4,48kmxkx又由 l 与圆.1,1|, 222 ky即得相 切所以 1212)()(| yxAB4)4(6)122kmk.3|42m由于当 时,
5、,3|AB所以),1,(,|4|2 .4因为,2|3|4|34|2mAB且当 m时,|AB|=2,所以|AB| 的最大值为 2.32.(湖南理 21) 如图 7,椭圆21:(0)xyCab的离心率为32,x 轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于 C1 的长半轴长。()求 C1,C2 的方程;()设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E(i)证明:MDME;(ii)记MAB,MDE 的面积分别是 12,S问:是否存在直线 l,使得1273S?请说明理由。解 :()由题意知 .1,2,3babaace
6、解 得又从 而故 C1,C2 的方程分别为.,1422xyx() (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 kxy.由 12xyk得0.设 2121,),(),(xyxBA则 是上述方程的两个实根,于是.21kx又点 M 的坐标为( 0,1) ,所以 2122121 )()(xkxkxyBA 5.12k故 MAMB,即 MDME.(ii)设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为 1,12xykxky由解得1,102kyx或则点 A 的坐标为 ),(.又直线 MB 的斜率为 1k,同理可得点 B 的坐标为).,(21于是22 11 11| |2 |kSMA
7、kk由 04,2yxk得 .08)(121x解得218,14kxy或则点 D 的坐标为2118(,).k又直线 ME 的斜率为 k,同理可得点 E 的坐标为).4,8(2121k于是 )4(1|32|2121kMS.因此11224(7).6k由题意知,2 221 11(),4,.3k解 得 或6又由点 A、B 的坐标可知,2113,.2kk所 以故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为.xy和34.(全国大纲理 21) 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆2:1yCx在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为-2的直线 l与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 0.OABP()证明:
8、点 P 在 C 上;()设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A 、P、B、Q 四点在同一圆上解:(I)F(0,1) , l的方程为 21yx,代入2yx并化简得2410.2 分设 23(,)(,)(,)AxyBPxy则 1266,44121212,(),xyx由题意得 312312(),().xy7所以点 P 的坐标为2(,1).经验证,点 P 的坐标为(,)满足方程21,yx故点 P 在椭圆 C 上。 6 分(II)由(,)2和题设知, 2(,1)QPQ 的垂直平分线 1l的方程为.2yx设 AB 的中点为 M,则21(,)4,AB 的垂直平分线为 2l的方程为21.4yx由、得 1
9、2,l的交点为21(,)8N。 9 分221223|()(),|1|,3|,43|()(),881|,NPABxMNAN故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上 12 分36.(山东理 22) 8已知动直线 l与椭圆 C: 213xy交于 P1,xy、Q 2,两不同点,且OPQ 的面积 OPQS=62,其中 O 为坐标原点.()证明 1x和21y均为定值;()设线段 PQ 的中点为 M,求 |PQ的最大值;()椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得62ODEGO
10、ESS?若存在,判断DEG 的形状;若不存在,请说明理由.(I)解:(1)当直线 l的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,所以 211,.xy因为 ()在椭圆上,因此213xy又因为6,2OPQS所以 1|.xy由、得 116|,|.2此时2113,xy(2)当直线 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 ,ykxm由题意知 m 0,将其代入213xy,得22(3)6()0kx,其中21,km即 2k(*)9又2121263(),kmxxk所以222221163| ()4,kmPQx 因为点 O 到直线 l的距离为2|,dk所以1|2PQS22263|1kmk22|3mk又6,2OPQS整
11、理得23,k且符合(*)式,此时222211163()()(),kmxx k222211 134.3y x综上所述, 212;,xy结论成立。(II)解法一:(1)当直线 l的斜率存在时,由(I)知 116|,|2|,OMxPQy因此|.2(2)当直线 l的斜率存在时,由(I)知123,xkm10221212212222223() ,9161|() (3),4443()|(1) ,()yxkkmkmyOMkPQ所以222211| ()m222(3)15().4所以5|2OMPQ,当且仅当 2213,m即时,等号成立.综合(1) (2 )得|OM|PQ|的最大值为5.解法二:因为22222211114|()()()()OPQxyxy220.所以224|102| 5.MPP即5|,OQ当且仅当 2|OQ时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为.(III)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得6.2ODEGOESS证明:假设存在 12(,),)(,)EEuvxy满 足,由(I)得