1、理 数圆锥曲线1. (2014 大纲全国,9,5 分)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F 2,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=( )A. B. C. D. 答案 1.A解析 1.由题意得 解得|F 2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得 =2,所以 c=2a,即|F 1F2|=4a,cosAF2F1= = = .故选 A.2. (2014 大纲全国,6,5 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1、F 2,离心率为,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若AF 1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为( )A.
2、 + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1 答案 2.A解析 2.由题意及椭圆的定义知 4a=4 ,则 a= ,又 = = ,c=1,b2=2,C 的方程为 + =1,选 A.3. (2014 重庆,8,5 分)设 F1、F 2 分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.3 答案 3.B解析 3.设|PF 1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设 mn0,于是mn= m=3n .a=n,b= nc= n,e= ,选 B.4. (2014
3、 广东,4,5 分)若实数 k 满足 00,25-k0. - =1 与 - =1 均表示双曲线,又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等,故选 A.5. (2014 福建,9,5 分)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( )A.5 B. + C.7+ D.6 答案 5.D解析 5.设 Q( cos ,sin ),圆心为 M,由已知得 M(0,6),则|MQ|= 5 ,故|PQ| max=5 + =6 .6.(2014 山东,10,5 分)已知 ab0,椭圆 C1 的方程为 + =1,双曲线 C2 的方
4、程为 -=1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( )A.x y=0B. xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 6.A解析 6.设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1= ,e2= .因为e1e2= ,所以 = ,即 = , = .故双曲线的渐近线方程为 y= x= x,即 x y=0.7.(2014 天津,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1答案 7.A解析 7.由
5、题意得 =2 且 c=5.故由 c2=a2+b2,得 25=a2+4a2,则 a2=5,b2=20,从而双曲线方程为- =1.8.(2014 山东青岛高三第一次模拟考试 , 10) 如图，从点 发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点 ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 ，再经抛物线反射后射向直线 上的点，经直线反射后又回到点 ，则 等于（ ）A B C D答案 8. B解析 8.由题意可得抛物线的轴为 轴， ，所以 所在的直线方程为 ，在抛物线方程 中，令 可得 ，即从而可得 ， ，因为经抛物线反射后射向直线 上的点 ，经直线反射后又回到点 ，所以直线 的方程为 ，故
6、选 B9.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测， 4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ）A. B. C. D. 答案 9. D解析 9. 因为抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，所以双曲线的焦点在 轴上，双曲线 的焦点在 轴且为 满足条件. 故选 D.10. (2014 江西,15,5 分)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: + =1(ab0)相交于A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于_.答案 10.解析 10.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1,+ =1.、两式相减并整理得 =- .把已知条件代入上式得,-
7、=- , = ,故椭圆的离心率 e= = .11. (2014 湖南,15,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则 =_.答案 11.1+解析 11.|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故 C ,F ,又抛物线 y2=2px(p0)经过 C、F 两点,从而有 即b2=a2+2ab, -2 -1=0,又 1, =1+ .12.(2014 安徽,14,5 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ =1(00).又 |AF1|=3|F1B|,由 =3 得 B ,代入 x2+ =1 得 + =1,又 c2=1-b2,
8、b2= .故椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1.13.(2014 浙江,16,4 分)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是_.答案 13.解析 13.由 得 A ,由 得 B ,则线段 AB 的中点为 M .由题意得 PMAB,kPM=-3,得 a2=4b2=4c2-4a2,故 e2= ,e= .14. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试， 12) 抛物线 +12y=0 的准线方程是_.答案 14. y=3解析 14. 抛物线的标准方程为： ，由此可以判断焦点
9、在 y 轴上，且开口向下，且 p=6，所以其准线方程为 y=3.15. (2014 大纲全国,21,12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|.()求 C 的方程;()过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且A、M、B 、N 四点在同一圆上,求 l 的方程.答案 15.查看解析解析 15.( ) 设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= .所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + .由题设得 + = ,解得 p=-2
10、(舍去)或 p=2.所以 C 的方程为 y2=4x.(5 分)()依题意知 l 与坐标轴不垂直 ,故可设 l 的方程为 x=my+1(m0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1).又 l的斜率为-m,所以 l的方程为 x=- y+2m2+3.将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).故 MN 的中点为 E ,
11、|MN|= |y3-y4|= .(10 分)由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而|AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4(m2+1)2+ + = .化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分)16. (2014 四川,20,13 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.()求椭圆 C 的标准方程;()设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交
12、椭圆 C 于点 P,Q.(i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点);(ii)当 最小时 ,求点 T 的坐标.答案 16.查看解析解析 16.( ) 由已知可得解得 a2=6,b2=2,所以椭圆 C 的标准方程是 + =1.()(i)由() 可得 ,F 的坐标是(-2,0), 设 T 点的坐标为(-3,m).则直线 TF 的斜率 kTF= =-m.当 m0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,直线 PQ 的方程是 x=my-2.当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立 ,得
