1、中考数学锐角三角函数与圆综合训练题例题一 2013泸州）如图， D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDA=CBD（1）求证：CD 2=CACB；（2）求证：CD 是O 的切线；（3）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若BC=12，tanCDA= ，求 BE 的长例题二（2013 呼和浩特）如图，AD 是 ABC 的角平分线，以点 C 为圆心，CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且B=CAE，EF：FD=4：3 （1）求证：点 F 是 AD 的中点；（2）求cosAED 的值；（3）如果 BD=10，求半径 CD
2、的长例题四（2014 沈阳）如图， O 是 ABC 的外接圆，AB 为直径，ODBC 交O 于点 D，交 AC 于点 E，连接 AD，BD，CD（1）求证：AD=CD；（2）若 AB=10，cosABC= ，求 tanDBC 的值综合练习 1、如图，AB 是 O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A， C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DE PO 交 PO 的延长线于点 E.（1）求证： EPD=EDO. （2）若 PC=6，tan PDA= 43，求 OE 的长. 中国教育出&版*# 网2、如图，AB 是0 的直径，C 是0 上的一点，直线 MN 经过点 C，过点 A 作直线 MN
3、 的垂线，垂足为点 D，且BAC=DAC （1）猜想直线 MN 与0 的位置关系，并说明理由；（2）若 CD=6，cos=ACD= ，求0 的半径3、已知：如图， 是 的直径， 是 上一点， 于点 ，过点 ABO CO DBC C作 的切线，交 的延长线于点 ，连结 （1）求证： 与 相切；（2） 连O DEBEO结 并延长交 于点 ，若 ，求 的长AEF9， 2sin3AF4、如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E， ABCD，O 的切线 BF 与弦 AD的延长线相交于点 F （1）求证： CD BF； （2）若O 的半径为 5， cosBCD= 54，求线段 AD 的长5、如
4、图 11，PB 为 O 的切线，B 为切点，直线 PO 交O 于点 E，F ，过点 B 作PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交 O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接BC，AF（1 ）求证：直线 PA 为O 的切线；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若 BC6，tanF ，求 cosACB 的值和线段12PE 的长6、如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证：KE=GE；（2）若 =KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，
5、并说 2K明理由；（3） 在（2）的条件下，若 sinE= ，AK= ，求 FG 的长3527、如图 11，AB 是O 的弦，D 是半径 OA 的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于 F，且 CE=CB。（1）求证：BCO 是的切线；（2）连接 AF、BF，求ABF 的度数；（3）如果 CD=15，BE=10，sinA= ，求O 的半径。1358、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0，过点 O 作OEAC 交 AB 于 E,若 BC=4，AOE 的面积为 5，求 sinBOE 的值参考答案：1AC BD EF O P【1、3、 【解析】圆与直线的位置关
6、系；相似和三角函数【答案】（1）证明：连结 OCODBC所以EOC=EOB在EOC 和EOB 中OCBEEOCEOB （SAS）OBE=OCE=90BE 与O 相切（2）解：过点 D 作 DHABODHOBDOD：OB=OH：OD =DH：BD又sinABC= 23OD=6OH=4，OH=5 ，DH =2 5又ADH AFBAH：AB=DH：PB13:18=2 :FB5FB= 361【点评】（1）利用全等三角形求出角度为 90，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4 分析】 （1）由 BF是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，根据切线的性质，可得到 BFA
7、B，然后利用平行线的判定得出 CDBF（2）由 AB 是圆 O 的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出BAD=BCD，再根据三角函数cosBAD= cosBCD= 54= ADB即可求出 AD 的长【解析】 （1）证明：BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径BF ABDCOBEADCO BEA HCDABCD BF（2）解：AB 是圆 O 的直径ADB=90 圆 O 的半径 5AB=10BAD=BCD cosBAD= cosBCD= 45= ADB 10cosBAD=8 AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独
8、到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点. 5【解析】（1）要证 PA 是O 的切线，只要连接 OB，再证PAOPBO90 即可（2 ）OD，OP 分别是 RtOAD，RtOPA 的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得 OA2ODOP，再将EF 2OA 代入即可得出 EF， OD，OP 之间的等
9、量关系（3）利用 tanF ，得出 AD，OD 之间的关系，1据此设未知数后，根据 AD BD，OD BC3 ，AO OC OFFD OF，将 AB，AC 也表达成含未知数的12代数式，再在 RtABC 中运用勾股定理构建方程求解【答案】解：（1）证明：如下图，连接 OB，PB 是 O 的切线，PBO90OAOB，BAPO 于 D，ADBD ，POAPOB又POPO，PAO PBOPAOPBO90直线 PA 为O 的切线AC BD EF O P（2）EF 24ODOP证明：PAOPDA90，OADAOD90， OPAAOP90OADOPAOADOPA ，即 OA2ODOPODAP又EF2OA，
10、EF 24ODOP （3） OAOC，ADBD，BC 6 ，OD BC3 12设 ADx，tanF ，FD2x，OAOF2x312在 RtAOD 中，由勾股定理 ，得(2x3) 2x 23 2解之得，x 14，x 20 （不合题意，舍去）AD4， OA2x35 AC 是 O 的直径，ABC90而 AC 2OA10 ，BC 6，cos ACB 1035OA 2 ODOP，3(PE5)25 PE 103【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未
11、知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求 FG的长。答案：（1）如下图，连接 OG，EG 是O 的切线OGGE OGK+EGK90CDABOAG+ AKH90OG=OA OGK=OAG EGK=
12、AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下： =KDGE，GE=KE 2KGKGEDKGDKGEKGD EKGDCE CACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAF F，E CsinE= 5sinC= ,sinF= ,tanE=tanC=3434连接 BG，过 G 作 GNAB 于 N，交O 于 Q则弧 BQ=弧 BGBGNBAG设 AH=3k，则 CH=4k于是 BH= ，OG=216=3CHkA+25=6BHAkEG 是切线，CDABOGF90FOG+ F=E+FFOG= ENG=OGsinFOG= =2536kBN=OB-ON=OG-OGcosFOG= 451-=6kBG= 25
13、0+=6kNGBQ N点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。7、【解析 】（ 1）连接 OB，证 OBBC，即证OBE+EBC=90。通过 OA=OB，CE=CB，AED=BEC，可将OBE、EBC 分别转化为A、AED，结合 CDOA 可证OBE+EBC=90；（2）连接 OF，由 CD 垂直平分 OA 得 AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求ABF 的度数；，（3）作 CGBE 于 G，得A=ECG，CG 是 BE 垂直平分线，由 CD=15，BE=10，sinA= ，可求135EG、CE、CG、DE 长度
14、，通过ADECGE 可求 AD，从而计算半径 OA。【答案】（1）证明：连接 OB。OA=OB，A=OBE。CE=CB，CEB=EBC，AED =EBC，AED = EBC，又CDOA A+AED=OBA+EBC=90，BCO 是的切线；（2）CD 垂直平分 OA，OF=AF，又 OA=OF，OA=OF=AF，O=60，ABF=30；（3）作 CGBE 于 G，则A=ECG。CE=CB，BD=10，EG=BG=5，sinECG=sinA= ，CE=13，CG=12.又135CD=15，DE=2。ADECGE， ，即 ，AD= ，OA= ，即O 的半径是 。EGDCA52148548【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。
