1、 声学基础（南京大学出版社） 习题 1 1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待 ,其固有频率为 f，质 量为 m，求它的弹性系数。 1 2M m K m 解：由公式 fo 得： K m (2f ) m 2 1-2设有一质量 M m用长为 l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆， 如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问： （ 1）当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产 生？并应怎样表示？ （ 2）当外力去掉后，质点 M m在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它 的振动频率应如何表示？ （答： f0 21 g ， g为重力加速度） l 图习题 1 2 解：
2、（ 1）如右图所示，对 M m作受力分析：它受重力 M mg，方向竖直向下；受沿 绳方向的拉力 T，这两力的合力 F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆 动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为 ，则 sinl 受力分析可得： F M mg sinM mg l （ 2）外力去掉后 (上述拉力去掉后 )，小球在 F作 用下在平衡位置附近产生摆 动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知： F M m d 2 dt 2 则 M m d M mg l 2 即 d 2 0, g dt 2 dt 2 l g l 即 f0 1 2 g , 0 2 这就是小球产生的振动频率。 l 1-3有一长
3、为 l的细绳，以张力 T固定在两端，设在位置 x0处，挂着一质量 M m，如图所示，试问： (1)当质量被垂直拉离平衡位置 时，它 所受 到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样 图习题 1-3 表示？ (2)当外力去掉后，质量 M m在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应 如何表示？ (3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对 M m进行受力分析，见右图， l x0 x0 Fx T T 0 2 (l x0) 2 2 x 2 0 （ x0， x0 2 2 x0 2 ,(l x0) 2 2 (l x0) 2 。） Fy T T (l x0) 2 2 x 2 0 2 l x0 T x0 T
4、 Tl x0(l x0) 可见质量 M m受力可等效为一个质点振动系统，质量 M M m，弹性系数 Tl k x0(l x0) 。 Tl （ 1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 F x0(l x0)， 方向为竖直向下。 （ 2）振动频率为 K Tl x0(l x0)M m 。 M （ 3）对 分析可得，当 x0 l时，系统的振动频率最低。 2 1-4设有一长为 l的细绳，它以张力 T固定在两端，如图所示。设在绳的 x0位 置处悬有一质量为 M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有 M时，绳子 向下产生静位移 0以保持力的平衡，并假定 M离平衡位置 0的振动 位移很小， 满足 0
5、条件。 图习题 1 4 2T cosMg4 Mg cos解：如右图所示，受力分析可得 0 0 1 l l 2 2T 0 M d 2 又 0， T T，可得振动方程为 l dt 2 2 M d2 4T 4T 0 l l 即 dt 2 f 214T l 1 20M 20 Mg 1 g M 1-5有一质点振动系统，已知其初位移为 0，初速度为零，试求其振动位移、 速度和能量。 解：设振动位移 a cos(0t )， 速度表达式为 v 0a sin(0t )。 由于 t0 0， v t0 0， 代入上面两式计算可得： 0 cos0t ； v 00 sin0t。 振动能量 E 1 M mv 1 M m0
6、 2 2 。 a 2 2 a 2 1-6有一质点振动系统，已知其初位移为 0，初速度为 v0，试求其振动位移、 速度、和能量。 解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 Km，质量为 M m， 取正方向沿 x轴，位移为 。 d 22 0 K 则质点自由振动方程为 2 0,（其中 0 2 m m ,） dt M 解得 a cos(0t 0), v ddt 0a sin(0t 0 ) 0a cos(0t 0 ) 2 1 0 00 v0 2 2 2 0 a cos0 a 当 t00， v t0v0时， v 0 a cos( 0 ) v0 00 0 arctan 0 2 质点振动位移为 1 0
7、 0 v0 2 cos(0t arctan v0 00 ) 2 2 0 v0 ) 质点振动速度为 v 0 2 2 0 v0 2 cos(t arctan 00 0 2 质点振动的能量为 E 1 M mv 1 M m(0 0 v0 ) 2 2 2 2 2 a 2 1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠 加 sint 1 sin 2t，试问： 2 (1)在什么时候位移最大？ (2)在什么时候速度最大？ 解： sint 1 sin 2t， 2 d cost cos2t dt d 2 sint 22 2 sin 2t。 dt 2 令 ddt 0，得： t 2k或 t 2k
8、， 3 经检验后得： t 2k3 时，位移最大。 令 d 0，得： t k或 t 2karccos(1)， 2 dt 2 4 经检验后得： t 2k时，速度最大。 1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示 1 cos(t 1)2 cos(t 2) a cos(t ) 试证明 212 cos(2 1)， arctan11csoins1 2 sin2 其中 a 1 2 2 2 1 2 cos2 证明： 1 cos(t 1)2 cos(t 2) 1 cost cos1 1 sint sin1 2 cost cos2 2 sint sin2 cost(1 cos1 2 cos2)sint(1 sin1
9、 2 sin2) 设 A 1 cos1 2 cos2， B (1 sin1 2 sin2) 则 Acost Bsint = A 2 B 2 cos(t ) （其中 arctan(B)） A 又 A 2 B 2 1 1 1 1 2 2 cos 2 1 2 1 2 212(cos1 cos2 sin1 sin2) 212 cos(2 1) 2 cos 2 2 212 cos1 cos2 2 sin 2 2 sin 2 2 212 sin1 sin2 2 2 2 2 2 又 arctan(B) arctan(1 cos1 2 cos2 1 sin1 2 sin2 ) A 令 a A B 1 2 21
10、2 cos(2 1) 2 2 2 2 则 a cos(t ) 1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示 1 cos w1t 2 cos w2t ( w2 w1 ) 试证明 a cos(w1t )， sin(wt) 其中 a 1 2 2 2 212 cos(wt), arctan 1 2 2 cos(wt) ,w w1 w2. 解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知， a 1 2 2 2 212 cos(w2t w1t) 1 2 2 2 212 cos(wt) 其中， w w2 w1。 由三角形面积知， 1 12 sin wt 1 1a sin2 2 sin2 sin wt 得
11、 a 2 sin wt 2 sin 2 sin wt 得 tg a 2 2 2 wt (1 2 coswt) 2 sin wt 1 2 coswt 2 sin wt 1 2 coswt 2 故 即可证。 1-10有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数 Km 待求，现设法在此质量 Mm上附加一已知质量 m，并测得由此而引起的弹簧伸长 1， 于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之 . 证由胡克定理得 mg Km1 Km mg/1 1 2M m K m 由质点振动系统固有频率的表达式 f0 得， K m mg M m 4f0 2 4 . 1 2 2 f0 2 纵上所述，
12、系统的质量 Mm和弹性系数 Km都可求解 . 1-11有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数待求， 现设法在此质量 Mm上附加一质量 m，并测得由此而引起的系统固有频率变为 f0, 于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。 1 2M m K m 解：由 由 f0 得 K m (2f0) M m 2 1 K m f0 (2 f )2(M m m ,) 得 K m 0 2M m m 2 2， K m 42mf0 2 f0 2 f0 2 f02 mf0 联立两式，求得 M m f0 2 f0 1-12设有如图 1-2-3和图 1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分
13、别写 出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。 图 1-2-3 图 1-2-4 解：串接时，动力学方程为 M m K d 2 1mK 2m 1m K 2m 0，等效弹性系数为 dt 2 K K K K1m K 2m 。 1m 2m 并接时，动力学方程为 M m (K1m K 2m )0，等效弹性系数为 d2 dt 2 K K1m K 2m。 1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在 地球上经过校验，弹簧压缩 0 100 mm可称 0 1kg。宇航员取得一块岩石，利 用此秤从刻度上读得为 0.4 kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为 1 s， 试问月球表面
14、的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？ 解：设该岩石的实际质量为 M，地球表面的重力加速度为 g 9.8m s 2 ，月 球表面的重力加速度为 g由虎克定律知 FM Kx,又 FM Mg则 K Mg 1g 10g x 0.1 T 22M K 1则 M 104g2 109.8 2.5kg 42 0 xx1 则 x0.04m 又 0.4 MgKx则 gK x42 0.04 1.58m s2 M 故月球表面的重力加速度约为 1.58m s，而该岩石的实际质量约为 2.5kg。 2 1-14试求证 acost acos(t )acos(t 2) acos(t (n1) ) sin n(n1)2
15、 a sin2 cos t 2 ae jt ae j(t ) ae j(t2 ) ae j(t(n1) ) 证 ae jt (1e j) 1e jn 1e j jt 1cosnjsin n ae ae jt 1cosjsin2 n sin nsin njcos n2sin jsin nae jt 2 2 2 2 ae jt sin sin jcos2sin 2 2 jsin2 2 2 sin n sin n sin nj( n ) j n1 n1 e 2 2 2 e a 2 e 2 j(t ) ae jt ae jt 2 2 sin2 j(sin sin 1 ) e 2 2 2 2 同时取上式
16、的实部，结论即可得证。 1-15有一弹簧 K m在它上面加一重物 M m，构 成一振动系统，其固有频率为 f0， (1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并 怎样联接？ (2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率 f0不变，试问应该添加几只相同 的弹簧，并怎样联接？ 1 2M m K m 解：固有频率 fo 。 f0 K m 4 （ 1） f0 2 K m ，故应该另外串接三根相同的弹簧； M m 2 M m （ 2） K m 2K m，故应该另外并接一根相同的弹簧。 f0 f0 1-16有一直径为 d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统 来对待。现已知其总
17、质量为 M m，弹性系数为 Km。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为 f0 1 Km 2 M m 。 1-17原先有一个 0.5的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡 中，后来又将一个 0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.04m， 当此附加质量突然拿掉后，已 知这 0.5质量的振幅在 1s内减少到初始值的 1/e 倍，试计算： （ 1）这一系统的力学参数 Km， Rm， f0； （ 2）当 0.2的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （ 3）在经过 1s后，系统具有的平均能量。 解：（ 1）由胡克定理知， Km mg/ 所以 Km 0.29.8/0.04=49N/m e 1/ e 1 Rm 2M m 故 Rm 1N s / m 1 249 1 1.57Hz 2 w0 w0 f0 0.5 （ 2）系统所具有的能量 E 1 K m1 490.04 0.0392J 2 2 2 2 （ 3）平均能量 E 12 K m 0 2e2 t 5.31103 J 1-18试求当力学品质因素 Qm 0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始 时刻 0， v v0，试讨论解的结果。 解：系统的振动方程为： d 2 dt2 Rm dt dK 0 M m m Rm 2M m 进一步可转化为，设 ，
