1、第 1 页 共 27 页导数压轴题题型1. 高考命题回顾例 1 已知函数 f(x)e xln(xm)（2013 全国新课标卷）(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.(1)解 f(x) e xln( xm)f(x)e x f(0)e 0 0m1，1x m 10 m定义域为 x|x1，f( x)e x ，1x m exx 1 1x 1显然 f(x)在( 1,0上单调递减，在0，)上单调递增(2)证明 g(x )e xln(x2)，则 g(x)e x (x2)1x 2h(x)g(x) e x (x2)h(x)e x 0，1x 2
2、 1x 22所以 h(x)是增函数，h(x)0 至多只有一个实数根，又 g( ) 0，12 1e 132 12所以 h(x)g(x)0 的唯一实根在区间 内，( 12，0)设 g(x)0 的根为 t，则有 g(t)e t 0 ，1t 2 ( 12g (t)0，g(x)单调递增；所以 g(x)ming(t) e tln(t2) t 0，1t 2 1 t2t 2当 m2 时，有 ln(xm)ln(x2)，所以 f(x)e xln(xm)e xln(x2)g( x)g(x)min0.例 2 已知函数 满足 （2012 全国新课标）210)(fef(1)求 的解析式及单调区间；)(f(2)若 ，求 的
3、最大值。baxx21)(第 2 页 共 27 页（1） 121()(0)()(0)x xfefxffef 令 得： 121() (0)()xf ffe 得： xegxe在 上单调递增()0()xgyR(),0()0ffxff得： 的解析式为 21xe且单调递增区间为 ，单调递减区间为(0,)(,)（2） 得21() ()0xfxaxbhab(1)xhea当 时， 在 上单调递增()yhxR时， 与 矛盾()当 时，100ln1),(ln()xx 得：当 时，ln()xami l10aab22()1l(0b令 ；则lFx)(2l)Fxx0,)xee 当 时，emax()2当 时， 的最大值为1,
4、ab1b2例 3 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为ln()fxx()yfx1,()f。（2011 全国新课标）20xy（）求 、 的值；ab（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。1ln()1kfx解（） 由于直线 的斜率为 ，22(ln)xbf230y12且过点 ，故 即 解得 ， 。(1,1,()f,1,aab第 3 页 共 27 页（）由（）知 ，所以ln1f()x。22l (1)lkkxfx考虑函数 ，则 。()2lnh(1)x(0)2(1)kxh(i)设 ，由 知，当 时， ，h(x)递减。0k2()()kxx1x()0而 故当 时， ，可得 ；(1)h0,10h2h当 x
5、（1，+ ）时，h（ x）01从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）0，即 f（x）lnk+ .1lnxk（ii）设 00,故 (x）0,而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h kh（x）0 ，可得 h（x）0,而2()0kxhh（1）=0 ，故当 x （1，+ ）时，h（x）0，可得 h（x）0时 1(xkf恒成立，求正整数k 的最大值.例 14（创新题型）设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值；()当 a=1 时,设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20)
6、, 且 PQ/x 轴,求 P、Q两点间的最短距离；()若 x0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x)的图象上方 ,求实数 a 的取值范围例 15(图像分析，综合应用) 已知函数 )10()(2baxxg，在区间 3,2上有最大值 4，最小值 1，设()f（）求 ba的值；（）不等式 02)(xxkf在 ,上恒成立，求实数 k的范围；（）方程)3|1|(| x有三个不同的实数解，求实数k的范围导数与数列例16（创新型问题）设函数 2()(xfxabe， aR、 ， xa是()fx的一个极大值点若 0a，求 b的取值范围；当 是给定的实常数，设 123， ， 是 ()f的3个极值点，问是
7、否存在实数 b，可找到 4xR，使得 4xx， ， ， 的某种排列 1234,iix（其中123ii， ， ，= 2， ， ， ）依次成等差数列?若存在，求所有的 b及相应的4x；若不存在，说明理由导数与曲线新题型例 17（形数转换）已知函数 ()lnfx, 21()gxax(0).(1)若 2a, 函数 h 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数 2x()=e+b ,ln求 函 数 ()的最小值;第 9 页 共 27 页(3)设函数 )(xf的图象 C1 与函数 )(xg的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 轴的垂线分别交 C1、C 2
8、于点 M、 N,问是否存在点 R,使 C1在 M处的切线与 C2 在 N处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例 18（全综合应用）已知函数 ()ln(02)xfx.(1)是否存在点 (,)ab,使得函数 )yf的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 ()f的图像上?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由;(2)定义2121()()ni nSffff,其中 *N,求 2013S;(3)在(2)的条件下,令 nna,若不等式 nam对 n且 恒成立,求实数 m的取值范围.导数与三角函数综合例 19（换元替代，消除三角）设函数 2()fx（
9、xR），其中 aR（）当 1时，求曲线 y在点 (f， 处的切线方程；（）当 0时，求函数 ()f的极大值和极小值；（）当 3， k， 时，若不等式 2cos)(cos)fkxfkx 对任意的 x恒成立,求 的值。创新问题积累例 20 已知函数 .2()ln4xfI、求 的极值. xII、求证 的图象是中心对称图形.()fIII、设 的定义域为 ,是否存在 .当 时， 的取D,abD,xab()fx值范围是 ?若存在,求实数 、 的值；若不存在，说明理由4ab导数压轴题题型归纳 参考答案例 1 解：(1) 1a时， xg3)(，由 013)(2xg，解得 3x.)(x的变化情况如下表：第 10
10、 页 共 27 页x0 )3,(3)1,(1)(g- 0 +0 极小值 0所以当 3x时， )(xg有最小值 932)(g.(2)证明：曲线 fy在点 ,1axP处的切线斜率 12)(xfk曲线 )(在点 P 处的切线方程为 )(21axy.令 0y，得 12x， 112 ax1，02，即 12x.又 1，axax112所以 ax2.例2()ln(0)fx，22l( (0)fxaxx 令 21ha当 0时， ()()hx，当 (,1)0,()hf,函数 ()f单调递减；当 ,xf，函数 f单调递增.当 a时，由 ()0f，即 2ax，解得 12,1xa.当12时 2x， hx恒成立，此时 ()0f，函数 ()f单调递减；当0时，1a, (0,1)时 ,hx，函数 x单调递减；1(,)x时， (),()hxf，函数 ()f单调递增；a时， 0x，函数 x单调递减.当 0时1，当 (,1)0,()hf,函数 ()fx单调递减；
