1、lt99311 直角三角形的邊角關係 1第一章第一章第一章 三角三角三角1-1 直角三角形的邊角關係校園中常見高大挺拔的大王椰子站在樹下仰望更感覺得出它高聳入雲的氣魄如果想知道大王椰子有多高卻又不能直接量得到你可以想出哪些方法？甲、銳角三角函數陽光強烈的時候我們可以用影子的長度來推算樹高如圖 1 所示借助直立於地面的單槓平行的太陽光使得 ABC 與ABC形成兩個相似三角形利用國中學過A的相似三角形對應性質可以求得樹的高度【例題 1】如圖所示ABC 相似於ABC 單槓高度 為 2BC公尺柱影長 為 1.6 公尺AC(1) 求 的比值B(2) 若量得樹影長 12 公尺則樹高 為何？BAns：(1)
2、 1.25，(2) 15【詳解】(1) 21.56BCA(2) 因為ABC 相似於ABC 所以.2由 12得 15（公尺）AC1.5B故樹高 為 15 公尺 圖 1 lt99311 直角三角形的邊角關係2【隨堂練習 1】如圖所示ABC 相似於ABC 單槓高度 為 2BC公尺柱影長 為 1.6 公尺同一時間直立於地面的AC旗桿長 10 公尺求其影子的長度Ans：8（公尺）【詳解】如圖 相似於 ABC B21.56由題意知 即0.2BAC得 （公尺）18.5古希臘時代的泰利斯（Thales, 624547B.C. ）就是用類似的概念來測量金字塔的高度（如圖 2）. 圖 2 斜射的陽光與地面形成了一
3、個固定的角度對有一等角的直角三角形ABC 和ABC而言 恆有 BCABCAB這些比值與三角形的大小無關但都隨著A 的大小而變動角度與比值之間形成函數的對應關係我們統稱這些函數為三角函數lt99311 直角三角形的邊角關係 3 圖 3 在直角ABC 中若 C = 90對 A 而言 稱作A 的對邊 稱作A 的鄰BCC邊 稱作斜邊我們將上述的三個函數分別給定下列名稱：AB三角函數的定義稱作A 的正弦函數sinABC的 對 邊斜 邊稱作A 的餘弦函數co的 鄰 邊斜 邊稱作A 的正切函數tanABC的 對 邊的 鄰 邊其中 sincos 和 tan 分別為 sinecosine 和 tangent的縮
4、寫由定義知 為銳角時且 0sin1A0cos1tan0A【例題 2】在直角ABC 中已知 13,2,5BCB求 sinAcosA 和 tanA 的值Ans： 525sin,cos,tan1313【詳解】根據三角函數的定義得5125sin,cos,tan13312BCACBCABA【隨堂練習 2】求下列各三角形中 sinAcosAtanA 的值lt99311 直角三角形的邊角關係4Ans：見詳解【詳解】(1) 63sin105A84cos105A63tan84A(2) 24i722t7(3) 8sin17Acos1tan15A常用的三角板是兩個特別的直角三角形分別是正方形與正三角形的一半國中時我
5、們利用畢氏定理求得這兩個三角形的各邊長比：圖 4設正方形的邊長 1ACB則21B得三邊長比為 : 圖 5設正三角形的邊長 = 2則AB= =1AC12B13得三邊長比為 :32利用這兩個三角形的邊角關係可以求得 3045 60這三個常用特別角的三角函數值lt99311 直角三角形的邊角關係 5【例題 3】求 sin30sin45 sin60的值Ans： 1312sin0,sin60,sin4522【詳解】306090的三角形邊長比為 1:3454590的三角形邊長比為 作圖如下:2得 131sin30,sin60,sin452【隨堂練習 3】試完成下表 三 角 函 數 sin cos tan
6、30 4560 Ans：見詳解【詳解】lt99311 直角三角形的邊角關係6三角函數sincostan30123234516032123利用畢氏定理及作圖的方式若已知一個銳角的某個三角函數值就可以求得另二個三角函數值【例題 4】已知A 為銳角且 sinA 求 cosA 和 tanA 的值23Ans： 5cos35tan【詳解】作一直角ABC使 為直角 A 的對邊 =2斜邊 =3如圖所CBCA示則得2235ACB5cos32tan【隨堂練習 4-1】在ABC 中C= 90若 則12cos3A(1) sinA_ _(2) tanB_ _lt99311 直角三角形的邊角關係 7Ans： 5sin13
7、A12tan5B【詳解】如圖作直角 使C 12AC3B利用畢氏定理可得 5故 。5sin12tan【隨堂練習 4-2】若 是一個銳角且 tan 2求 的值sincoAns： 35【詳解】如圖作直角 使 ABC 12B利用畢氏定理可得 且 5A得 2sin5cos故 413si5除了三個特別角之外對其他銳角 我們可以用有刻度的直尺和量角器來求得三角函數的近似值圖 6 中取 =10作直角ABC 使 A=測量對邊 的長度即可求ACBC得 tan 的近似值圖 651213CBAlt99311 直角三角形的邊角關係8例如由圖 6 中可得 8.4tan01【隨堂練習 01】如右圖在距離樹根 C 20 公尺
8、的 A 處測得A=40 試估計樹高 （已知 tan400.84）BAns：16.8（公尺）【詳解】因為 即 tanBCA0.842B得 （公尺）20.8416.有了三角函數只要知道直角三角形中一個銳角的度數和一邊的長度即使在陰天沒有樹影的時候還是可以估計得出樹高在圖 6 中以量角器作圖時會產生誤差因此上述 tan40的值只是近似值只有少數特別角如 3045 60 等可以利用幾何方法求得其三角函數的精確值下面這個例題也是利用我們學過的幾何性質來求 15的三角函數值【例題 5】試利用下圖求出 tan15的值Ans： 23【詳解】ABC 為 306090的三角形 令 1則 2ABC3A因為ACB 為
9、 ACD 的外角所以 lt99311 直角三角形的邊角關係 9DAC=ACBADC=3015=15即 = 2CDA故 1tan1523B【隨堂練習 5】求 sin15與 cos15的值（提示：8+4 = ）326Ans： ，624【詳解】如圖 為 的三角形ABC 3069令 則 12A因為 為 的外角所以D15即 2A又 因此222384B8436D故 12sin154A.632362cos 4BD lt99311 直角三角形的邊角關係10乙、三角函數的基本關係從計算三角函數的數值中可以發現三角函數之間的一些關係如 恰等於sin30； 恰等於 和 的比值這些三角函數之間互有關聯性我們要cos60tan3sin30cos進一步討論這些關係在直角ABC 中 為直角若 且以 分別表示 的CA,abc,ABC對邊長則有：sinacobtan由sitancob可得商數關係式商數關係式：sintaco將畢氏定理 等號兩邊同除以 得22b2c即 1ac2sinos1習慣上我們將 和 寫成 和 2i2c2in2cs平方關係式：22sinco1 圖 7
