第 11.3节一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用 第十一章 区域 D 分类 单 连通区域 ( 无 “洞 ”区域 )多 连通区域 ( 有 “洞 ”区域 )域 D 边界 L 的 正向 : 域的内部靠左定理 1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成 ,则有( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数 ,或一、 格林公式证明 : 1) 若 D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且则即同理可证 、 两式相加得 :2) 若 D不满足以上条件 , 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕推论 : 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式例如 , 椭圆 所围面积例 1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 , 证明证 : 令 则利用格林公式 , 得例 2. 计算 其中 D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解 : 令 , 则利用格林公式 , 有例 3. 计算 其中 L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线 .解 : 令设 L 所围区域为 D, 由格林公式知在 D 内作圆周 取逆时针方向 , , 对区域 应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得
