1、数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 1 页 共 11 页高等代数考试大纲考试对象数学与应用数学专插本学生考试目的考生应该理解和掌握高等代数中的映射、数域、一元多项式、n 阶行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等基本概念、基本知识。要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。能运用高等代数中的基本知识、基本理论进行推理和论证。考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高综合计算和解决问题的能力。考试方法1、考试方法：（闭卷 笔试）2、记分方式：百分制，满分为 100 分3、命题的指导思想和原则命题的总的指导思想是：全面考
2、查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况，特别是灵活解决问题的能力。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占 60%左右，稍微灵活一点的题目要占 20%左右，较难的题目要占 20%左右。客观性的题目应占比较重的份量。4、题目类型选择题 填空题 计算题 综合应用题 证明题考试内容及要求一、基本概念(一)知识范围（1）. 映射 映射的定义 满射、单射与双射 映射的相等 映射的合成 逆映射2数域 数域的定义 最小的数域(二)要求1熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。能根据定义判定所给的法则是否为映射，为何种映射。理解映射的相等
3、与映射的合成概念。2会正确地判定所给的数集是否为数域。二、一元多项式(一)知识范围1一元多项式的概念、运算及整除性 一元多项式的定义及运算 多项式整除的定义 整除的基本性质 带余除法定理2多项式的最大公因式 因式、公因式、最大公因式的定义 辗转相除法 多项式互素的判别方法多项式互素数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 2 页 共 11 页的性质3多项式的因式分解 不可约多项式的性质 因式分解存在唯一性定理 多项式的典型分解式4多项式的重因式与根 多项式有无重因式的判断 多项式的值与根 余式定理 综合除法5复数域、实数域、有理数域上的多项式 代数基本定理 复数域上多项式的典型分解式 实
4、数域上多项式的典型分解式 有理数域上多项式的可约性 艾森斯坦因判别法 有理数域上多项式的有理根 整系数多项式的有理根(二)要求1理解一元多项式的基本概念，熟记整除的定义，掌握整除的基本性质并会运用这些性质证明有关的基本问题。熟练掌握带余除法的方法，会用带余除法解决有关的基本问题。2掌握多项式的最大公因式的定义，熟练应用辗转相除法求最大公因式。理解多项式互素的概念及性质，初步掌握运用互素的定义及性质证明有关问题的基本方法。3掌握不可约多项式的定义及性质。正确理解多项式因式分解存在唯一性定理，了解典型分解式的形式及其意义。4正确理解重因式的概念，熟练掌握有无重因式的判定方法。掌握多项式值与根的定义
5、及余式定理。5理解代数基本定理 掌握复数域、实数域上多项式的典型分解式的特征。熟练掌握有理系数多项式有理根的求法。三、行列式(一)知识范围1排列 排列的定义 排列的反序数 排列的奇偶性2n 阶行列式 n 阶行列式的定义 子式与代数余子式的概念 行列式的性质 行列式的依行依列展开 范德蒙行列式3克莱姆法则(二)要求1理解排列的有关概念，会计算排列的反序数，确定排列的奇偶性。2深刻理解 n 阶行列式的定义并能利用定义计算行列式。熟练掌握行列式的性质，能正确地依行依列展开行列式，并能灵活运用行列式的性质和展开定理计算行列式。四、线性方程组(一)知识范围1矩阵的初等变换与矩阵的秩 矩阵的 k 阶子式
6、用初等变换解线性方程组2齐次线性方程组 齐次线性方程组的定义 齐次线性方程组的零解与非零解 齐次线性方程组有非零解的条件 齐次线性方程组的基础解系的定义、存在条件及求法3一般线性方程组有解的判别方法及解的求法 一般线性方程组解的结构(二)要求1理解矩阵的 k 阶子式、矩阵的秩与矩阵初等变换的定义。熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的秩和解线性方程组。2准确判定所给的齐次线性方程组有无非零解。在有非零解时，能熟练地求出齐次线性方程组的基础解系。3牢固掌握一般线性方程组可解的判别定理和线性方程组有唯一解及无穷多解的数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 3 页 共 11 页条件，会用导出齐次线性
7、方程组的基础解系表示一般线性方程组的全部解。五、矩阵(一)知识范围1矩阵的运算及运算律 矩阵可加的条件与加法法则 矩阵可乘的条件与乘法法则 数与矩阵的乘法法则 方阵的幂2初等矩阵 初等矩阵的性质 初等矩阵与初等变换的联系3矩阵的逆 可逆矩阵与逆矩阵的定义 可逆矩阵的性质 可逆矩阵的判定 逆矩阵的求法4矩阵乘积的行列式与矩阵乘积的秩(二)要求1熟练掌握矩阵各种运算的法则及运算规律2了解初等矩阵的定义、性质及其与初等变换的关系。3理解可逆矩阵的定义、性质，掌握矩阵可逆的判定法则及应用定义,性质证明有关问题，能熟练运用公式求逆矩阵及初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。六、向量空间(一)知识范围1向量空间及
8、向量的线性相关性 向量空间的定义 向量空间的性质 向量的线性组合 向量的线性表示 向量的线性相关与线性无关 向量组的等价 极大线性无关组 向量组的秩2基、维数与坐标 向量空间的基的定义 基的性质 向量空间的维数 维数的求法 向量的坐标坐标的求法 基的过渡矩阵 过渡矩阵的性质 过渡矩阵的求法 基变换公式 坐标变换公式3子空间 子空间的定义 子空间的判别定理 子空间的交与和 生成子空间 子空间的基与维数维数公式4欧氏空间内积与欧氏空间的定义 内积的性质 向量的长度 向量的夹角 柯西不等式 向量的正交 正交向量组 标准正交基 标准正交化方法(二)要求1熟记向量空间的定义、性质，深刻理解向量线性相关性
9、的一系列概念，灵活运用上述概念、性质判断或证明有关的问题。2掌握常见的向量空间的基、维数、坐标及过渡矩阵的求法。3理解子空间、交子空间和子空间、生成子空间的概念，掌握子空间的判别方法及维数公式的应用。4熟记内积与欧氏空间的有关概念，会计算内积、向量的长度、夹角和标准正交基。七、线性变换(一)知识范围1线性变换及其运算线性变换的定义 线性变换的性质 线性变换的和 数与线性变换的乘积 线性变换的合成(线性变换的乘积) 线性变换的方幂 线性变换运算的运算律2线性变换的矩阵 线性变换的矩阵的定义 线性变换下像向量的坐标 矩阵相似的定义 相似矩阵的性质 线性变换关于不同基的矩阵的相似关系 在一个确定基下
10、线性变换与矩阵间的 11 对应关系数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 4 页 共 11 页线性变换可逆的条件3线性变换和矩阵的特征值、特征向量 特征值 特征向量 特征多项式的定义 特征多项式的求法 特征值的求法 特征向量的求法4矩阵的对角化矩阵对角化的定义 矩阵可对角化的条件矩阵对角化的方法(二)要求1掌握线性变换的定义、性质和基本运算，熟练判断所给的变换是否为线性变换。2掌握线性变换矩阵的定义、矩阵相似的定义，会运用线性变换的矩阵计算像的坐标。深刻理解线性变换关于不同基的矩阵彼此相似。3掌握线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念，注意线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征
11、向量的联系和区别。熟练掌握特征值、特征向量的求法。4理解线性变换与矩阵可对角化的含义，熟练掌握可对角化的条件和对角化的方法。对实对称矩阵 A 会求正交矩阵 U，使得 UAU 为对角形。八、二次型(一)知识范围1二次型及其矩阵表示二次型的矩阵 二次型的秩 变量的线性变换 变量的非退化线性变换 二次型的等价 矩阵合同的定义及性质 等价二次型的矩阵合同 任一对称矩阵必与对角矩阵合同2二次型的标准形化二次型为平方和的方法 二次型的标准型(系数为1 的平方和形式) 化二次型为标准形的方法 实二次型的正惯性指标、负惯性指标、符号差 复二次型、实二次型标准形的唯一性3正定二次型正定二次型的定义 正定矩阵的定
12、义 正定二次型的判定 正定矩阵的判定(二)要求1理解二次型及矩阵合同的有关概念，明确施行非退化线性变换前后的两个二次型是等价的，它们的矩阵是合同的。会利用矩阵的初等变换把对称矩阵化为与之合同的对角矩阵。2理解二次型的平方和、标准形及实二次型的惯性指标、符号差的概念，掌握化二次型为平方和及标准形的方法3熟记正定二次型、正定矩阵的定义及性质，掌握正定二次型与正定矩阵的判别方法。参考书目1.(第五版) 张禾瑞 郝炳新 高等教育出版社2.高等代数 ，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，北京：高等教育出版社，2003，第三版数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 5 页 共 11 页数学分析
13、专插本考试大纲一、考试对象数学与应用数学专升本学生二、考试目的 数 学 分 析 是 师 范 院 校 数 学 专 业 的 一 门 重 要 基 础 课 ， 既 是 专 升 本 必 考 科 目 之一 ， 也 是 本 考 研 必 考 科 目 之 一 。考生应按本大纲的要求了解或理解本科目中涉及的实数的连续性、数列与函数极限和连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学初步和级数敛散性。考生应掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法，应理解各部分知识结构及知识的内在联系；考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算；考生能综合运用所掌握知
14、识分析并解决简单的实际问题。三、考试方法1、考试方法：（闭卷 笔试）2、记分方式：百分制，满分为 100 分3、命题的指导思想和原则命题的总的指导思想是：全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况，特别是灵活解决问题的能力。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占 60%左右，稍微灵活一点的题目要占 20%左右，较难的题目要占 20%左右。客观性的题目应占一定的份量。4、题目类型单项选择题、填空题、计算题、综合应用题和证明题四、考试内容、要求第一章 实数集与函数1、 实数1) 了解实数及其性质2) 掌握绝对值不等式2、 数集、确界原理1)
15、掌握区间与邻域2) 熟练有界集、确界原理3、 函数概念1) 掌握函数的定义和定义域的求法2) 了解函数的三种表示法3) 掌握函数四则运算4) 熟练掌握复合函数定义及符合函数的分解5) 了解反函数的定义及求法6) 掌握初等函数的定义及其图形4、 具有某些特性的函数数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 6 页 共 11 页1) 熟练掌握有界函数定义及其性质2) 熟练掌握单调函数定义及其性质3) 熟练掌握函数奇偶性判别法及其性质4) 熟练掌握周期函数及其性质第二章 数列极限1、数列极限的概念1) 熟练掌握极限定义并运用定义证明极限2) 掌握无穷小数列2、熟练掌握收敛数列的性质及极限求法3、
16、熟练掌握数列极限存在的条件第三章 函数极限1、函数极限的概念1) 掌握 时函数的极限x2) 掌握 时函数的极限02、函数极限的性质熟练掌握函数极限的性质3、掌握函数极限存在的条件4、熟练掌握并运用两个重要极限5、掌握无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较第四章 函数连续性1、连续性概念1) 熟练掌握函数在一点的连续性2) 了解间断及其分类3) 掌握区间上连续函数的性质2、连续函数的性质1) 掌握连续函数局部性质2) 熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质3) 了解反函数连续性4) 掌握函数一致连续性3、初等函数的连续性1) 掌握指数的连续性2) 掌握初等函数的连续性第五章 导数与微分1、 导数概念1
17、) 熟练掌握导数的定义2) 掌握导函数3) 了解导数的几何意义2、 求导法则1) 掌握导数的四则运算法则2) 掌握反函数的导数公式3) 熟练掌握复合函数的导数求法4) 熟练掌握基本求导法则和公式3、 熟练掌握含参变量函数的导数4、 掌握高阶导数5、 微分数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 7 页 共 11 页1) 掌握微分概念2) 掌握微分运算法则3) 了解高阶微分4) 了解微分在近似计算中的应用第六章 微分中值定理及其应用1、 拉格朗日定理和函数单调性1) 熟练掌握罗尔定理、拉格朗日定理条件和结论，懂得证明2) 掌握函数单调性的条件与结论3) 会用拉格朗日定理证明不等式2、 柯西
18、中值定理和不等式极限1) 掌握柯西中值定理内容及结论2) 熟练掌握不等式极限的求法3、 泰勒公式1) 掌握带皮尔逊余项的泰勒公式2) 掌握带拉格朗日余项的泰勒公式求法3) 了解泰勒公式在近似计算上应用4、函数的极限与最大（最小）值1) 熟练掌握极限判别的种种方法，会求极限2) 掌握最大值与最小值的求法4、 函数的凸性与拐点熟练掌握函数的凸性判别及拐点求法5、 函数图形讨论1) 掌握讨论函数图象的性态2) 了解根据特殊点描绘图象第七章 实数的完备性、 实数完备性的基本定理（） 熟练掌握区间套定理和柯西收敛准则并掌握证明。（） 熟练掌握聚点定理与有限覆盖定理并掌握其证明。（） 了解实数完备性的基本
19、定理的等价性。、 闭区间连续函数性质的证明掌握闭区间连续函数性质的证明、 上极限和下极限了解上极限与下极限第八章 不定积分、 不定积分概念与基本积分公式（） 掌握原函数与不定积分概念（） 熟练掌握基本积分表（） 掌握不定积分的线性运算法则、 换元积分法与分部积分法（） 熟练掌握换元积分法（） 熟练掌握分部积分法、 有理函数和可化为有理函数的积分（） 掌握有理函数的积分（） 掌握三角函数有理式的积分数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 8 页 共 11 页（） 了解某些无理函数的积分第九章 定积分、 定积分概念（） 了解定积分来源于社会实践（） 了解定积分的定义、 牛顿 莱布尼兹公式熟
20、练掌握牛莱公式级运用公式进行计算、 可积条件（） 了解可积的必要条件（） 了解上积与下积（） 掌握可积的主要条件（） 掌握可积函数类、 定积分的性质掌握定积分的性质定理级其运用、 微积分学基本定理，定积分与计算（） 熟练掌握微积分学基本定理（） 熟练掌握换元积分法和分部积分法（） 掌握泰勒公式的积分型余项第十章 定积分的应用、 平面图形的面积熟练掌握选用定积分耱平面图形面积、 由截面面积求立体体积熟练掌握利用定积分求立体体积 、 曲线的弧长与曲率（） 熟练掌握求曲线弧长（） 了解曲率的求法、 旋转曲面的面积（） 掌握微元法求侧面积（） 熟练掌握求旋转曲面的面积、 定各分在物理上的某些应用（）
21、掌握利用定积分求压力（） 掌握利用定积分求变力做功（） 了解静力矩与重心（） 了解平均值6、反常积分（1）反常积分概念掌握反常积分的概念（2）无穷积分性质与收敛判别熟练掌握无穷积分计算与敛散性判别（3）瑕积分的性质与收敛判别熟练掌握瑕积分计算与敛散性判别第十二章 数项级数1、级数的收敛性掌握级数的敛散性2、正项级数1) 掌握正项级数的一般判别原则数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 9 页 共 11 页2) 熟练掌握比式判别法和根式判别法3、一般项级数1) 熟练掌握交错级数的莱不尼兹判敛法2) 熟练掌握绝对收敛级数及其性质3) 了解阿贝尔判别法和狄利克雷判别法第十四章 幂级数1、幂级
22、数1) 掌握幂级数的收敛半径及收敛区间2) 掌握幂级数的性质3) 了解幂级数的运算2、函数的幂级数展开1) 熟练掌握泰勒级数2) 熟练掌握几种初等函数的泰勒展开式第十五章 傅立叶级数1、傅立叶级数1) 了解三角级数、正交函数系2) 熟练掌握以 为周期的函数的傅立叶级数23) 了解收敛定理2、以 为周期的函数的展开式l掌握偶函数与奇函数的傅立叶级数3、了解收敛定理的证明第十六章 多元函数的极限与连续1、 平面电集与多元函数1) 了解平面点集2) 了解 上完备性定理2R3) 掌握二元函数4) 了解 n 元函数2、 二元函数的极限1) 熟练掌握二元函数的极限证明及存在性2) 了解累次极限3、 二元函
23、数的连续性1) 掌握二元函数的连续性概念2) 了解有界闭域上二元函数的性质第十七章 多元函数微分学1、 可微性1) 掌握二元函数可微性及熟练掌握全微分2) 熟练掌握偏导数求法3) 了解可微性条件4) 了解可微性的几何意义5) 掌握可微性应用，会求曲面切平面与法线方程2、 复合函数微分法1) 了解复合函数微分法2) 掌握复合函数的全微分3、 方向导数与梯度数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲第 10 页 共 11 页掌握方向导数与梯度求法4、 泰勒公式与极值问题1) 掌握高阶偏导数求法2) 了解中值定理和泰勒公式3) 熟练掌握求极值第十八章 隐函数定理及其应用1、隐函数1) 了解隐函数概
24、念2) 了解隐函数存在性条件的分析3) 了解隐函数定理4) 熟练掌握隐函数求导2、隐函数组1) 了解隐函数组的概念2) 了解隐函数组定理3) 了解反函数组与坐标变换3、几何应用1) 掌握平面曲线的切线与法平面2) 掌握空间曲线的切线与法平面3) 掌握曲面的切平面与法线4、 条件极值熟练掌握条件极值的求法第十九章 含参变量积分1、含参变量正常积分掌握含参变量正常积分2、含参变量反常积分1) 掌握一致收敛性及其判别法2) 熟练掌握含参量反常积分的性质第二十章 曲线积分1、 第一型曲线积分1) 了解第一型曲线积分的定义2) 熟练掌握第一型曲线积分的计算2、第二型曲线积分 1) 了解第二型曲线积分定义2) 熟练掌握第二型曲线积分计算3) 了解两类曲线积分的关系第二十一章 重积分1、 二重积分概念1) 了解平面图形面积2) 了解二重积分的定义及其存在性3) 掌握二重积分性质2、直角坐标系下二重积分的计算熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算3、格林公式曲线积分与路线无关性1) 熟练掌握并运用格林公式计算2) 熟练掌握曲线积分与路线无关条件和计算
