1、1例说高考题的高等数学背景黄婷 数学科学学院 2008（3）班 08211315 号摘要本文把初等数学与高等数学联系起来，从数学分析、高等代数、抽象代数、常微分方程、概率论、初等数学研究六方面来看某些高考题的问题，理论联系实际地谈了高等数学在高考题研究与教学中的指导作用本文的主要任务是在现代数学的观点下，沟通高等数学与高考题的联系。它的内容主要有三个方面：一是将现代数学的思想和方法渗透到高考中去；二是用具体材料来说明高等数学对高考题的指导意义；三是指出高考题中某些难以处理的问题的高等数学背景。关键词数学分析 高等代数 抽象代数 常微分方程 概率论 初等数学研究 高考题1、用数学分析的观点看高考
2、题中的部分问题1、1 用数列的极限 解决部分问题1数列极限的 定义：设 为数列， 为定数。若对任Nnaa给的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时有 ，Nn则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作nan，或 。limn例1 已知不等式 ，其中 为大于211log23n的整数， 表示不超过 的最大整数。设数列 的22logn2l na各项均为正，且满足 ，10ab1,23,4na2（1）证明 2,3,4lognban（2）试确定一个正整数 ，使得当 时，对任意N都有 。0b5n探究：（1）当 时， ，所以210na，即 。于是有 我1nna1na2131,.naa 们把所有的不等式两边相加
3、得 。又有题知123na当 时，有 ，于是 ，2n21log3 21lognna即 。因为 ，有 ，从而21lognna1ab2ln。22llb当 时， 。故结论得证。n12 2logab（2）由（1）得 ，只要找出满足22loglnabn3的 即可。于是有， ，即21log5n22logl10n，故取 ，对任意的 满足 。104104NN5na1、2 用函数图象的凹凸性解决部分问题定义：设 为定义在区间 上的函数，若对 上的任意两点fII和任意的实数 总有12,x0,1，则称 为 上的凸函2 2fxffxfI数。反之，如果总有 ，112fx称 为 上的凹函数。fI定理：设 为定义在区间 上的
4、二阶可导函数，则在 上fI I为凸函数（凹函数）的充要条件是 。f 0,fxfx凸函数与凹函数的几何形状 a()凸CBAx2x1y xO b()凸CBAx2x1y xO例 1 已知函数 ,且 w32)fxax0f（1）试用含 的代数式表示 ,并求 的单调区间；b()4（2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点1a()fx12,()x( , )， ( , )， ( ), ,请仔细观M1xfN2Pmf21察曲线 在点 处的切线与线段 的位置变化趋势，并解释M以下问题：（I）若对任意的 ，线段 与曲线 均有异于,(2xtP()fx的公共点，试确定 的最小值，并证明你的结论；PM,（II）若存在点 ,
5、，使得线段 与曲线)(,nfQmx1 Q有异于 的公共点，请直接写出 m 的取值范围（不必给()fx、出求解过程）.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 探究：（1）由于 ，又 ，于是(1)0f2fxab，即 ，从而 。就有，2fab2ab1。令 得 ，解xfx()2)0x得 。12,若 时，即 ， 的单调增区间为a1af，,的单调减区间为 。f1,2a若 时，即 ， 的单调增区间为12a1a，,的单调减区间为 。f12,a564224681015105 51015若 时，即 ， ，于是12a1a2210fxx的单调增区间为 ， 无单调减区间。fR（2）由 得a（如图所示）.32()fxx令
6、得032)( xfxg12,由（1）得 单调递增区间是 和 ，单调递减()fx(,1)(,)区间是 ，所以函数 在处 取到极值，故有(,3()f23x.)9)5NM4)(22 xxg当 时， 是减函数，故 即 的二阶1,(x)(0g(f导数 ，因此 在 上是凹函数.0)ffx)1,当 时， 是增函数，故 即 的二阶,(x)(g)(x()fx导数 ，因此 在 上是凸函数.)ffx),当 时， ，故当 时对应的点就是函1x021)( 1x数 由凸函数转变到凹函数时图象连接的关键点即所谓函数()f图象的拐点.x因此当过定点 的直线 与曲线 相切时的切点)35,1(MP()fx固然就是决定线段 与曲线
7、 有异于 的公共点时点P(fxM、的临界位置.P6142108642215105 51015fx() =ln354)1(3541532223 mmmkMP由 易得 ，再结合函数)(2f fkMP图象凹凸性的变化，易得 的取值范围为 ，从而满足x ,2(题设条件的 的最小值为 2.t因此，第（2）题第（I）小题的命题知识背景是一元三次函数图象的凹凸性，第（2）题第（II）小题的命题知识背景是一元三次函数图象的对称性.就是基于蕴涵有这样高等数学问题的命题知识背景，此题成为绝大多 数考生最终难以逾越、最后难以征服的一座高山。例 2 证明不等式 ，其中 均为正数。3abcabc2,abc证 设 （如图
8、所示） 。ln,0fx由 的一阶和二阶导数fx,fx，可见， 在时为为严ln格 凸函数。又根据詹森不等式， 3abcffafbfc，从而，即lnlnl3。又因为 ，所以abcabc3abc。3abcabc1、3 用微积分知识处理初等数学的问题例1 求证7有两个相异实根，并且一个根大于 ，令一个1xaba根小于 。证法一 （采用初等方法证明）证明 将方程 整理成 1xab所以 22()()0a22244440ab abA所以方程有两个相异的实根，21x 22abx所以 2144ab222 bxa因为 ，所以 。因此 。24b2412,xa证法二 （采用微积分方法证明）证明 设 fxaxb则 因为
9、10fa，所以在区间 和 内分别存在 和limx,a，使0,ff由连续函数的介值性定理，在区间 和 内分别存在a,和 ，使1x212,0fxf这表明 和 是方程的两个相异实根， 。12 1,x81、4 用拉格朗日中值定理 证明不等式问题3定理：若函数 满足如下条件f在闭区间 上连续；i,ab在开区间 上可导，则在 内至少存在f,ab一点 ，使得 。ff例1 设函数 ，如果对任何 都有21xfe0x成a立，求 的取值范围。解法一 （采用初等方法数形结合法）对 求导得21xfe，所以 在210xffx上为增函数， ，所以曲线 的0,2140xefxfx切线斜率函数 在 上为减函数。又因为 ，所f0
10、,0f以 在 上的图像如图所示的经过原点的凹函数。因为fx,，所以曲线 在原点处的切线为 。 令02fx2yx，由图形的直观性可知，要使 在 上gxafg0,恒成立，当且仅当 ，所以 的取值范围为 。2a,9解法二 （采用拉格朗日中值定理） 当 时， 在闭区间 上连续，在开区间0x21xfe0,x上可导，于是根据拉格朗日中值定理，在 内至少存在, ,x一点 ，使得 ，而 ，0fxfff21ef又 ，所以 在 上是减函数，从而2140eff0,x。于是 ，即 。又因为02ff2fx2f，所以在 时， 。故只要 ，总有ffa。2xa2、用高等代数观点看高考题的部分问题2、1 矩阵问题数量矩阵定义：
11、设 ，其中 均1,2;1,2ijamjn ija为数，若有 ，则称 为 阶数量1221nmmnAaa A矩阵。例1 某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班 名k同学，都有选举权和被选举权。他们的编号分别为 。1,2规定同意按 ，不同意（含弃权）按 。令“0101, 1,2,1,20ija ikjk 第 i号 同 学 同 意 第 j号 同 学 当 选 且第 号 同 学 不 同 意 第 号 同 学 当 选则同时同意第 号同学当选的人数为,21122kkAaaa 2B 1112kC22Daa探究：由题知， 由加法原理和乘法121212kkkAaa原理得，同时同意第 号同学当选的人数为1,2。故答案选12221212121k kkaaaa C2、2 线性变换 问题4定义：线性空间 的一个变换 称为线性变换，如果对于 中VAV任意的元素 和数域 中任意数 ，都有,k,.kA例1 设 是已知平面 上所有向量的集合，对于映射VM
