1、第 1 页 共 43 页高中数学选修 2-1 资料第一章 圆锥曲线第一节 椭圆1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F 2的距离的和等于常数 2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_(2)另一种定义方式(见人教 A 版教材选修 21 P47 例 6、P50)：平面内动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0e 1) 的轨迹叫做椭圆定点 F 叫做椭圆的一个焦点，定直线 l 叫做椭圆的一条准线，常数 e 叫做椭圆的_2椭圆的标准方程及几何性质焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上(1)图形(2)标准方程 1(
2、 ab0)y2a2 x2b2(3)范围 axa，by b ay a，bxb(4)中心 原点 O(0，0)(5)顶点A1(a，0)，A 2(a，0)B1(0，b)，B 2(0，b)(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点 F1(0，c)，F 2(0，c )(8)焦距 2c2 a2 b2(9)离心率(10)准线xa2cya2c3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点 P(x0，y 0)与两焦点构成的PF 1F2叫做焦点三角形第 2 页 共 43 页如图所示，设F 1PF2.(1)当 P 为短轴端点时， 最大(2)SPF1F2 |PF1|PF2|sinb 2 b 2tan c|y 0|，当 |y0|b，即 P
3、为短轴端点时，SPF 1F2取12 sin1 cos 2最大值，为 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(a c)(4)通径：过焦点的垂直于 x 轴（或 y 轴）的直线与椭圆的两交点 A,B 之间的距离。大小为 。ab2题型一 椭圆的定义【例 1】(1)平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)方程 mx2ny 21( m0，n 0，m n)表示的曲线是椭圆( )(3) 1( ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2(4) 1( ab0)与 1(ab0) 的焦距相同( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2【例 2】已知方程 1 表示椭圆，
4、则 m 的取值范围为( )x25 m y2m 3A(3,5) B(3,1)C(1,5) D( 3,1) (1,5)【变式 1】“3m5”是“方程 1 表示椭圆”的( )x25 m y2m 3A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式 2】方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_.22156xy【变式 3】（2017南开区模拟）已知椭圆 长轴在 x 轴上，若焦距为 4，则 m 等于（ 1202mx）A4 B5 C7 D8【变式 4】（2013 秋西山区校级期末）已知椭圆方程为 x2+4y2=16，求出其顶点、焦点坐标及离心率第 3 页 共 43 页
5、题型二 椭圆的标准方程第一类 定义法求轨迹方程【例 1】已知圆 ，圆 A 内一定点 B（2，0），圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，求圆心 P2:()36Axy的轨迹方程.【例 2】设动圆 与圆 外切，与 内切，求动圆圆心 的轨迹P2:(3)4Mxy2:(3)10NxyP方程.【变式 1】已知圆 C：(x3) 2y 2100 及点 A(3,0) ，P 是圆 C 上任意一点，线段 PA 的垂直平分线 l 与PC 相交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程【变式 2】( )已知圆 M：(x1) 2y 21，圆 N：(x1) 2y 29，动圆 P 与圆 M 外切并且2013全 国 课 标 与圆 N 内切，
6、圆心 P 的轨迹为曲线 C，则 C 的方程为_A O BPxy第 4 页 共 43 页第二类 椭圆的标准方程【例 1】已知椭圆经过点 P（2，0）和点 ，求椭圆的标准方程 .3(1,)2Q【例 2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 有相同的焦点，并且经过点（3，2），求此2194xy椭圆的方程.【变式 1】两个焦点的坐标是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点 35(,)2【变式 2】已知椭圆的中心在原点，经过点 P（3，0）且 a=3b，求椭圆的标准方程.【例 3】（2016河东区一模）已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，且经过点 M(1， )，2123过点 P（2，
7、1）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B求椭圆 C 的方程；第 5 页 共 43 页【变式 3】（2016 秋灌南县校级期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在 x 轴上，a=6 ，e= ；31（2）焦点在 y 轴上，c=3 ，e= 5【例 3】（2016 春伊宁市校级期中）已知椭圆的两焦点为 F1（0，-1）、F 2（0，1），直线 y=4 是椭圆的一条准线求椭圆方程【例 4】（2016 秋延安期末）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 ，过 F1 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，且ABF 2 的周长是
8、 16，求椭圆 C 的方程2【变式 4】（2015 秋霍邱县校级期末）已知椭圆的中心在原点，它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和 x 轴上的较近端点的距离为 4（ -1），求椭圆方程2【例 5】（2015 秋永年县期末）已知 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，现有椭圆上一点 M 到两焦点的距离之和为 20，且|MF 1|、|F 1F2|、|MF 2|成等差数列，试求该椭圆的标准方程第 6 页 共 43 页【变式 5】（2016天津）设椭圆 的右焦点为 F，右顶点为 A，已知 ，其)3(12ayx FAeO31中 O 为原点，e 为椭圆的离心率求椭圆的方程；题型三 椭圆的焦
9、点三角形性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦) 最短，通径为 ab2性质二：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中),0(12bayx ,21F21FP则 .,21PFtn21bSPF性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中),0(12bayx ,21 21则,21F.cose【例 1】若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且 ，求 的面积.16402yx1F2 6021PF21PF【例 2】已知 、 是椭圆 的两个焦点，椭圆上一点 使 ，求椭1F2 )0(2bayx 9021圆离心率 的取值范围。e【变式 1】已知 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，P 为
10、椭圆上一点，F 1PF260.求椭圆离心率的范围第 7 页 共 43 页【变式 2】椭圆 上一点 P 与椭圆两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为（ 1249xy 1F2 21PF）A. 20 B. 22 C. 28 D. 24【变式 3】椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面积为 1 时，142yx1F2 21PF21PF的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 61.（2017 崇明县一模）如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F（-2 ，0）为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，5满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆 C 的方程为（ ）A B152yx
11、1032yxC D63542.已知椭圆的焦点是 F1(0， 1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且 PF1PF 22F 1F2，则椭圆的标准方程是_3.已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 有相同的焦点，并且经过点（ 3，2），求此椭圆2194xy的方程。4.已知 P 为椭圆 上的一点， 是两个焦点， ，求 的面积.2169xy12,F120PF12PFA第 8 页 共 43 页我们根据椭圆 来研究椭圆的简单几何性质12byax)0(a1.椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足| x|a，|y|b.2.椭圆的对称性对于椭圆标准方程
12、，把 x 换成-x，或把 y 换成-y ，或把 x、y 同时换成-x、- y，方程都不变，21b所以椭圆 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这2xya个对称中心称为椭圆的中心.3.椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.椭圆 （ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），21xyA2（a，0），B 1（0，- b）， B2（0，b）.线段 A1A2， B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， |A1A2|=2a，|B 1B2|=2b.a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长
13、度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 .2cea因为 ac0，所以 e 的取值范围是 0e1.e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而 越小，2bac因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当第 9 页 共 43 页a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2.要点诠释：椭圆 的图象中线段的几何特征（如下图）：12byx（1） ， ， ；12PFa12|PFeM21|aPMc（2） ， ， ；12B12Oc221ABb（3） , ， ；Aac1acaFc15椭圆的第二定义、准线当点 与一个
14、定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是M )0(e椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 是椭圆的离心率e对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 根据对称性，相应于焦点12byax)0,(cFcax2的准线方程是 对于椭圆 的准线方程是 )0,(cF ca212bayy2可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由椭圆的第二定义 可得：右焦半径公式为 ；左焦半径edMF| exacxedMF|2右公式为 xacxeF|)(|2右题型一 椭圆简单的几何性质【例 1】求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描
15、点法画出这个椭圆.2159xy第 10 页 共 43 页【变式 1】求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.【例 2】已知椭圆 的离心率为 ，求 的值250mxy105em【例 3】求椭圆 的右焦点和右准线；左焦点和左准线1625yx【变式 2】求椭圆 方程的准线方程8192yx题型二 椭圆的离心率【例 1】（2017河东区模拟）椭圆 的离心率为_.1342yx【变式 1】（2017河北区模拟）椭圆 的离心率等于_.65【例 2】（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为 的两段，求其离心率；2（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4，求其离心率.
