1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网2006 年全国中考数学压轴题全析全解1、 （2006 重庆）如图 1 所示，一张三角形纸片 ABC，ACB=90，AC=8，BC=6 。沿斜边 AB 的中线 CD 把这张纸片剪成AC 1D1 和BC 2D2 两个三角形（如图 2 所示） 。将纸片AC 1D1 沿直线 D2B（AB ）方向平移（点 A，D 1，D 2，B 始终在同一直线上） ，当点 D1 于点 B 重合时，停止平移。在平移过程中，C 1D1 与 BC2 交于点 E，AC 1 与 C2D2、BC 2 分别交点 F、P。（1）当AC 1D1 平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的 D1E
2、 与 D2F 的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离 D2D1 为 x， AC 1D1 与BC 2D2 重叠部分面积为 y，请写出 y 与 x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 x 的值，使重叠部分的面积等于原ABC 面积的 。14若存在，求 x 的值；若不存在，请说明理由。 解： （1）D 1E=D2F。 ， 。C 12CAD又 ，CD 是斜边上的中线，90ABDC=DA=DB，即 C1D1= C2D2= BD2= AD1 ，1FAAD 2= D2F。同理：BD 1= D1E。又BD 2= AD1，AD 2= BD1。D 1E = D2F （2
3、）在 Rt ABC 中，AC=8，BC=6 ，由勾股定理，得 AB=10即 C1D1= C2D2= BD2= AD1=5http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网又D 1 D2=x，AD 2= BD1=D1E = D2F=5x。C 2F =C1E=x在 B中，C 2 到 BD2 的距离就是 ABC的 AB 边上的高，为 245。设 的 BD1 边上的高为 h，由探究，得 ， 。ED21DE hx 。24(5)xh1 21(5)2BEDSx又 ， 。1290C90FPC又 ， 。243sin,cos5 ，23,5PxF2 22165FCPSx而 212 2()BCDEAByS 84(05)5xx（
4、3） 存在。 当 时，即1ABCyS218465x整理，得 解得， 。205.x12,3即当 或 x=5 时，重叠部分的面积等于原 面积的53ABC142、 （2006 浙江金华）如图，平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于 A（3，0） ，B（0， ）两点，点 C 为线段 AB 上的一动点，过点 C 作 CDx 轴于点 D。3（1）求直线 AB 的解析式；（2）若 S 梯形 OBCD ，求点 C 的坐标；43（3）在第一象限内是否存在点 P，使得以 P，O ，B 为http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网顶点的三角形与OBA 相似。若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标
5、；若不存在，请说明理由。解：（1）直线 AB 解析式为：y= x+ 。 3（2）方法一：设点 C 坐标为（ x， x+ ） ，那么 ODx，CD x+ 。3 。OBCDS梯 形 2362由题意： ，解得 x1=2，x 2=4（舍去）362x4 C（2， ）方法二： ， ， 。2321OBASAOB OBCDS梯 形 3463ACDS由 OA= OB，得BAO 30，AD= CD。3 CDAD 可得 CD 。ACDS2123C63 AD=1 ，OD 2C（2， ） 。3（3）当OBPRt时，如图若BOP OBA，则BOPBAO=30，BP= OB=3， （3， ） 。1Phttp:/ 快乐学习，
6、尽在中小学教育网若BPO OBA，则BPOBAO=30，OP= OB=1。3 （1， ） 。2P3当OPB Rt时 过点 P 作 OPBC 于点 P（如图） ，此时PBO OBA，BOPBAO30过点 P 作 PMOA 于点 M。方法一： 在 RtPBO 中，BP OB ，OP BP 。21323 在 RtPMO 中，OPM30， OM OP ；PM OM214343 （ ， ）3P方法二：设（x， x+ ） ，得3OMx ，PM x+由BOP BAO，得POMABOtanPOM= = ，tanABO= =OMPx3OBA3 x+ x，解得 x ，此时， （ ， ）343P4若POB OBA（
7、如图） ，则OBP=BAO 30，POM30。PM OM 。34http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 （ ， ） （由对称性也可得到点 的坐标） 。4P34P当OPB Rt时，点 P 在 x 轴上，不符合要求。综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3， ） ， （1， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 。1P23434P33、 （2006 山东济南）如图 1，已知 中， ，BC=5。过点 A 作RtABC 30，且 AE=15，连接 BE 交 AC 于点 P。AEB（1）求 PA 的长；（2）以点 A 为圆心，AP 为半径作A ，试判断 BE 与A 是否相切，并说明理由；（3）如图 2，
8、过点 C 作 ，垂足为 D。以点 A 为圆心，r 为半径作A；以点EC 为圆心，R 为半径作C 。若 r 和 R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持 A 和C 相切，且使 D 点在A 的内部，B 点在A 的外部，求 r 和 R 的变化范围。解：（1） 在 中， ，RtABC 305BC，。210AC， 。E PE 。:3:Phttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育网， 。:3:4PAC1052PA（2） 与A 相切。BE在 中， ， ，Rt 5315E， 。1tanAB60AB又 ， ，30P 99EPP，与A 相切。E（3） ， 的变化范围为 。5DB，r53r当A 与C 外切时， ， 的
9、变化范围为 ；10R105R当A 与C 内切时， ， 的变化范围为 。r534、 （2006 山东烟台）如图，已知抛物线 L1：y=x 24 的图像与 x 有交于 A、C 两点，（1）若抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称，求 l2 的解析式；（2）若点 B 是抛物线 l1 上的一动点（B 不与 A、C 重合） ，以 AC 为对角线，A、B、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为 D，求证：点 D 在 l2 上；（3）探索：当点 B 分别位于 l1 在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形 ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；
10、若不存在，请说明理由。解：（1）设 l2 的解析式为 y=a（xh） 2+kl 2 与 x 轴的交点 A（2，0） ，C （2，0） ，顶点坐标是（0，4） ，l 1 与 l2 关于 x 轴对称，l 2 过 A（2，0） ，C（2， 0） ，顶点坐标是（0，4）y=ax 2+40=4a+4 得 a=1http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网l 2 的解析式为 y=x 2+4（2）设 B（x 1 ，y 1）点 B 在 l1 上B（x 1 ，x 124）四边形 ABCD 是平行四边形，A、C 关于 O 对称B、D 关于 O 对称D（x 1 ，x 12+4） 。将 D（x 1 ，x 12+4）的坐标
11、代入 l2：y =x 2+4左边=右边点 D 在 l2 上。（3）设平行四边形 ABCD 的面积为 S，则S=2*S ABC =AC*|y1|=4|y1|A当点 B 在 x 轴上方时，y 10S=4y 1 ，它是关于 y1 的正比例函数且 S 随 y1 的增大而增大，S 既无最大值也无最小值B当点 B 在 x 轴下方时，4y 10S=4y 1 ，它是关于 y1 的正比例函数且 S 随 y1 的增大而减小，当 y1 =4 时，S 由最大值 16，但他没有最小值此时 B（0，4）在 y 轴上，它的对称点 D 也在 y 轴上。ACBD平行四边形 ABCD 是菱形此时 S 最大 =16。5、 （200
12、6 浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC 由同一平面内的两段抛物线组成，其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以 C 为顶点、开口向上。以过山脚（点 C）的水平线为 x 轴、过山顶（点A）的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米） 。已知 AB 所在抛物线的解析式为 ，BC 所在抛物线的解析式为 ，且已知 B（m ，4） 。8412x 2)8(41xy（1）设 P（x，y）是山坡线 AB 上任意一点，用 y 表示 x，并求点 B 的坐标；http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观
13、景台阶这种台阶每级的高度为 20 厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于 20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图） 。分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ；这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？（3）在山坡上的 700 米高度（点 D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站。索道的起点选择在山脚水平线上的点 E 处，OE=1600（米） 。假设索道 DE 可近似地看成一段以 E 为顶点、开口向上的抛物线，解析式为 。试求索道的最大悬空高度。2)16(8xy解：（1）P（x，y）是山坡线 AB 上任意一点， ， ，8420x ，)(2yxyB（m，4） ， 4，B（4，4）82（2）在山坡线
14、 AB 上， ，A （0，8）yx令 ，得 ；令 ，得80y09.72.10894.2.1x第一级台阶的长度为 （百米） （厘米）084.1x84同理，令 、 ，可得 、2.082y 2.3y1269.0x15492.03xhttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第二级台阶的长度为 （百米） （厘米）0375.12x371第三级台阶的长度为 （百米） （厘米）84.23 284取点 B（4，4） ，又取 ，则0.y 90.3.x 2.01.9.3这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到 700 米高度，共 500 级。从 100 米高度
15、到 700 米高度都不能铺设这种台阶。解题时取点具有开放性）另解：连接任意一段台阶的两端点 P、Q ，如图这种台阶的长度不小于它的高度 45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时， 45PQR在题设图中，作 于 HOAB则 ，又第一级台阶的长大于它的高45AH这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚（3）http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网D（2，7） 、E（16，0） 、B（4，4） 、C（8，0）由图可知，只有当索道在 BC 上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在 BC 上方时，悬空高度 2)16(8xy2)8(4x)96403(12x3)0(1432当 时，x8
16、maxy索道的最大悬空高度为 米。306、 （2006 山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点 O，对称轴为 轴。一次函数y的图象与二次函数的图象交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，且 A 点坐标为（1ykx4，4） ，平行于 x 轴的直线 l 过（0，1）点。（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t 0） ，二次函数的图象与 x 轴交于 M，N 两点，一次函数图象交 轴于 F 点。当 t 为何值时，过 F，M，Ny三点的圆的面积最小？最小面积是多少？解：（1）把 A（4，4）代入 y=kx+1 得 ，34k一次函数的解析式为 ；31二次函数图象的顶点在原点，对称轴为 y 轴，设二次函数解析式为 y=ax2，把 A（4，4）代入 y=ax2 得 ，14a二次函数解析式为 x
