1、高等数学习题册参考答案明说 本参考答案与 在的 册中的 目有个 的不同，使用 真比 ，以防弄现 习题 题 别 时请认 对 错.第一册参考答案第一章 1.1 1. . ),(2, , ,0 , 211010101TtTTtavTtvtatvvavavvavv图形为：2.B.3. )()()()()( 2121 xfxfxfxfxf ，其中 )()()( 21 xfxfxF 为偶函数，而 )()()( 21 xfxfxG 为奇函数.4.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222xxxxxxxxf 5.)(,)2()(,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则xgfgfxg
2、fgf6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.1.21.（1） )1 ,0()0 ,1( D ；（2） , , 2 Z kkkxxD ；（3） )1 ,0(D .2. 1 ,4 ba . 3.,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )(xxxxgf .1 ,1 ,1 ,1 , )(1 xexxexfg4. （ 1 ） 2 ,0,)1arcsin( 2 Dxy ； （ 2 ）022 ),( , )(tanlog1ka kkDxy .5.（1） xxxff 1)( ； （2） xxff 1)(1 . 6. hrV rh hr 2 ,231 22 .17.（1）
3、 ax )( ； （2） hxx 2)( ； （3） haa hxx )1()( .1.91. 1ea .2.（1） 1x 和 2x 都是无穷间断点（属第类）；（2） 1 ,0 xx 和 1x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为 21）（属第类）；0是跳跃间断点（左极限 1 ，右极限1）（属第类）；-1 是无穷间断点（属第类）；（3） 0x 为无穷间断点（属第类）， 1x 为跳跃间断点（属第类）（注意： ee xxx11lim ，而 0lim 11 ee xxx）；（4） )( 2 Z kkx 为无穷间断点（属第类）；（5） ,0 ,0,0 ,1lim)(12 xxnxnxxf xn 0x
4、 为无穷间断点（属第类）；（6） )(lim , 0)(lim 11 xfxf xx ， 1x 为第类间断点，（注意： 断点既不叫无 断点，也不叫跳 断点，不要乱叫这类间 穷间 跃间 ）； 100 )(lim , 0)(lim exfxf xx ， 0x 为跳跃间断点（属第类）.3.（1） 1 ,0 ba ； （2） 1 , aeb . 4.（1） 21)0( f ； （2） 0)0( f.5.证：由 )()0()0( 22 xffxf ，得 0)0( f ，于是，再由0)0()(lim)()()(lim)()(lim000fxfxfxfxfxfxxfxxx ， )(xf 在x点连续.1.10
5、1. )(xf 在 ),( 内连续，则 0a ；又 0)(lim xfx ，则 0b ，故选D.2. ) ,2()2 ,3()3 ,( ； 210 )0()(lim fxfx （0是连续点），5858213)2)(3()3()3(3322 limlim)(lim xxxxxxxxxxxf （-3是可去间断点）， )2)(3()3()3(222lim)(limxxxxxxxxf （2是无穷间断点）.23.（1）a1； （2）0； （3） 2e （提示：原极限 xexxexxxxxee)ln(lim)ln(00lim ，而 110 )ln(lim 加分子减x exxx2)1(lim)1(1lnli
6、m00 拆分分子等价无穷小代换 xexxex xxxx）；（4） 21 e （提示：原极限 xxxe 2sincosln0lim ，而21cos110cos11cos0cos1)1(cos1ln0sincosln0limlimlimlim 222 xxxxxxxxxxx ）；注意：（3）和（4）都用到了等价无 小代 ：穷 换 0 ，时 ln(1+).（5）1； （6）不存在（左极限 2 ，右极限 2）.4.（1） 0a ， eb ； （2）a任意， 1b .1.111.令 )sin()( bxaxxf ，则 )(xf 在 ,0 ba 上连续，且 0)0( bf ， )( baf0)sin(1)
7、sin( baabbaaba .若 0)( baf ，则 ba 就是一个正根；若 0)( baf ，则由零点定理， )(xf 在 ) ,0( ba 内有一正根.总之， )(xf 在 ,0 ba 内有一正根.2.作辅助函数 xxfxF )()( ，则 )(xF 在 , ba 上连续，且 0)()( aafaF ，)(bF0)( bbf ，由零点定理， ) ,( ba ，使得 0)( F ，即 )(f .3.由题设： )(xf 在 , 1 nxx 上连续，设 mM、 分别为 )(xf 在 , 1 nxx 上的最大值和最小值，则 Mxfxfxfcm nn )()()( 211 ，于是，由介值定理可知
8、：) ,() ,( 1 baxx n ，使得 cf )( ，即 )()()()( 211 nn xfxfxff .4.令 )()()( axfxfxF ，则 )(xF 在 ,0 a 上连续.若 )()0()0( afaff ，则取00 x ， 命 题 成 立 ； 设 )()0( aff ， 则 由 )()0()0( affF ， 而3)2()()( afafaF )()0()0()( afffaf ，所以， )0(F 与 )(aF ，于是，由零点定理可知：) ,0( a ，使得 0)( F ，即 )()( aff ，命题成立.第一章 总复习题1. .0 ,1 ,0 ,)( 21 1xxxf x
9、2. 22sin2 x . 3. ) ,( e .4.证： Axfxx )(lim0，对于 定的无 小的正数，都存在正数， 00 xx ，就 有 Axf )( 成立 （ 就是函数极限的“这 - 定义 ）；又 )( lim 00 xxxx nnn ，对 中的正数（因 的正数是任意的这 ）， 存在数N ， Nn ，就 有 0xxn 成立（ 就是数列极限的“这 N- 定义 ）. 对任 n， 0xxn ，所以这时 就有 00 xxn 成立 .就是(从推回到)：对于 定的无 小的正数，（由 ， 0 ，从而由 ） 存在 数N ， Nn ，（ 同 成立时 ）就 有 Axf n)( 成立.故由极限的定义可知：
10、 Axf nn )(lim .附注：本 是函数极限与数列极限相 合的 目，抽象且有点 ，但提供了一个重要的求题 题 极限的方法，即数列极限可作 函数极限的特殊情况来 理，比如下面：为 ax axxexaxaxxxxlnlnlim1lim1lim0ln00（用到了0时， -1 ） axanaan xxnnnnln1lim1 1lim)1(lim01 .5.（1） 23 ； （2） 2011 ,20111 ； （3）5， 531 .6.提示： )(xf 在 , ba 上连续，而 )(max)(min ,2 )()(2, xfMmxf baxdfcfkbax ，对 )(xf 在 , ba 上介值定理
11、.7.（1）21（提示：个 分，分分currency1，与分“分，再理得 nn2 1 ）；4（2） a11 （提示： 极限 )1( a ，fifl 得 )1( 4na ， 一个 )1( 0lim qqnn ）； （3） ab11 （提示：分分“都 数n和：1” 分之”去 ，再 （2）中的 ）； （4）21（提示：有理，分分“再同 以 n ： 0 ,0 00 ba 时， .0 ,0 ,0 ,0 limlim00002211022110mkmkmknbnabnbnbnbanananabamknmmmmnkkkn ）；（5）t（提示： 极限）； （6） 2 （提示：分“就是 x2sin 2x ，再分
12、）；（7） 2ba （提示：有理，再 （4）中 ）；（）4（提示：分”11分，再 无穷小换：0时， cos1 21 2）；（）e（提示：原极限 eee xxxxxx 22220tan)1ln(0lim lim等价无穷小代换 ）；（10） 2 )1( nn （提示：分分currency1， 分个 )1( x 与分“，再分个 )1( x 可与分“，的 一就可分 2)1( x）；（11）2 （提示：令 xt 1 ，则原极限 2cossinlim 2 0tttt ，再 极限）.提示： 根 得不： nn nn nnnn nAnAaaaA 21 ， 意：1lim nnn （会推证 ），再 定理（或叫 准
13、，俗称“两 ” 则 ）.第二章 2.61.（1） )cos(21 sin)cos(2 xyx xxyy ； （2） )1(2xyeeeeyxyyxxy ； （3）yxyx ；5（4） 22lnlnxxxyyyxy （ 取对数）；（5） 111ln)1( xxxxx x （ 取对数 一个 ：若 )()( xgxfy ，则 )()(ln)()( )( )()( xf xfxg xgxfxgxfy ）；（6） )1)(1(2 )2()1(21 11 222xxxxxxxxxxxxx （ 对数 法）.2.（1） 3222)1()1()1(yxxyy ； （2） )1()1(2132322422 yyx
14、yyx .3. )(arctan)( )(arctan)( 2222xyxyfyxfyxxy（提示：令 xyvvu ,arctan 而 ，则原 为yxuf )( ， 对x 得 yxyuf x yxyv 22 11 1)( ，再currency1y）.4.提示： 一 数， 左 .5. ： )1(1 52 xy ； 法 ： )1(1 25 xy .6.（1）2t ； （2） 23 . 7.（1） 21 )1(cos ta ； （2） 1)( tf . )2)(1( 1 eet t （提示：第 个 对 t ，得 0dd tyee yt ，currency1yteety ddeeeeeetttt22
15、， tx tyxy dd dddd 之中再）.在时 t， 所 tts 40)(1 ， 所 tts 30)(2 ，间的 为 ttttd 50)30()40()( 22 ，间的 的 为 50)( td .10.设 yOPxON , ，则由 知： ctx dd （为 数），由题图知： OAMNy xy ，即 xMNOAOAy ，而 txMNOAOAty dddd .可 tydd 为 ，即P点 的 是 的.62.71.（1） 为-0.0，分为-0.1；（2） 为-0.00，分为-0.01.注评 ： 果表明：结 x 愈小，则 yy d与 愈接近， 就是微分的数量特征；这微分的几何特征是“以直代曲”.2.
16、（1） Cxx 3 ； （2） Cx 2cos21 ； （3） Ce x ； （4） Cx2arctan21.3.（1） xd2 ； （2） xad ； （3） xd42 ； （4） xd .4.（1） xx x d13 )13ln(2sin3 ； （2） ttt te tt d)52(2 )23(332)52ln( 323 ；（3） xxxx d)21(sec)21tan(8 222 . 5. 150110 .第2章 总复习题1.2. )(xf 在 0x 可 连续.由连续有： )0()2sin(limlim 00 fxbe xaxx ， 极限得：1b ；由可 有：,2lim)0(,01lim
17、)0( , )0()0(01)2sin1(00xxxaxxfaxefff 而所以， 2a .3.由 )0(f 存在，则 )0()0( ff 、 存在且. 而 x fxfxx fxfxf )0()(00 )0()(0 limlim)0( ，)0(limlimlim)0( )0()(00)0()(00)0()(0 ff x fxfxxfxfxxfxfx ，使 )0()0( ff ， 有 0)0()0()0( fff .4.（1） 2222 1 1)( xaxax axa ； （ 2） lnln 12 xxx xxxx x （ 提 示 ： xxx xx exy lnxe xxe lnln ，再 数
18、函数 ； 取对数 法）；（3） ,1 ,1 ,)(11xexexfxx则 1x 时， xexf 1)( ； 1x 时， 1)( xexf ；1x 时， )1(lim11lim)1( 11111111 ff xexxexxx，则在 1x 不可 .7（ 4 ） 4 ,1 ； （ 5 ）tetttttttt22222)2sincos2()2cos2(sin4 , 2sincos22sinsin2 ；（6） )6( 1)5( 1!100 101101 xx （提示：分“分currency1，分，再 ）.5. 1)0( g ， 11)sin1(lim0 )0()(lim)0(1200 xxxxgxgg
19、xxx，0x 时， xxx xxxxg 1112 cossin21)sin1()( .6. )0(lim1lim)0( ,0)0( 0 0)11(00 0)1ln(0 fff x xxxx xx ，所以，函数 )(xf 在点 0x 可 ，且 1)0( f ，而 在 0x 连续.注评 ：234（3）56都涉及函数在一点 的 数，特 是分段函数在分界点 的 数 别 ，数的定 以及左右 数的概念起到 的作用， 要 注意 义 务 .7.（1）由 xyyfxfyxf 2)()()( ，得 0)0( f .0y 时， xyyfy xfyxf 2)()()( . 由已知由 数定义，得yyfyyfyfyfk
20、)(0)0()(0limlim)0( ， kxxf y xfyxfy 2lim)( )()(0 .故对一 ) ,( x ， )(xf 皆可 ，且 kxxf 2)( .（2）由 kxxf 2)( ，知 Ckxxxf 2)( ，再由 0)0( f ，得 kxxxf 2)( .第3章 3.3 1. )0( !2)( 32 之间与介于 xxexxxf .2. ) 1( )1()1()1()()(1)( 1212 之间与介于 xxxxxxf nnnn .3. 2)1(2)1(76)( xxxf . 4.（1） 61 （提示：分“的 xsin x，而 需分的 xsin 展fl到 3x ）； （2） 121
21、 （提示： 分的 xcos 和 22xe 都展fl到 4x）.83.41.（1） ) ,0( 21x 单”， ),(21 x 单 ；（2） ),( 4 3ax 单 ， ),( 4 3 ax 单”.2.（1）证 ： 拉格朗日中值定理.令 xexf )( ，则 xxexfeefxf x )0)()0()( 0 .证 ： 单调性.令 1)( xexf x ，则 1)( xexf .0x 时， 0)( xf ，而 )(xf 单调”；而 0x 时， 0)( xf ，而 )(xf 单调 .故对一 0x ， 0)0()( fxf ，即 证的不成立.注评 ： 抽象，但 ； 俗，但 虽 洁 虽 显 烦.（2）令
22、 )1sec2(sin)( ,2seccos)( ,2tansin)( 22 xxxfxxxfxxxxf .20 x 时， )(0)( xfxf 单调 0)0()( fxf )(xf 单调 ，故 20 x 时， 0)0()( fxf ，即 证的不成立（ 会推理 过 ）.注评 ：本 与（题 1）和下面的（3）的不同 在 ： 两 用 单调 .（3）参考上题 法泰勒：单调性 法：令 331tan)( xxxxf ，则)(tan(tantan1sec)( 2222 xxxxxxxxxf ， 20 x 时， 0)( xf ，所以， )(xf 单调 ，故 20 x 时，0)0()( fxf .泰勒：令 x
23、xf tan)( ，则 xxf 2sec)( ， xxxxf tansecsec2)( ，)1tan4tan3(2)secsectan3(2)( 24222 xxxxxxf ，xxxxxxxxf 23223)4( sec)tan2tan3(8)sectan8sectan12(2)( （ 烦），之间与介于其中 ) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan43314)4(32xxRxxxfxfxfxffxfx20 x 时， 0)( 4!4 )(4 )4( xxR f ，故 331tan xxx 成立.9注评 ： 本 而 ， 一 ，但 而 ， 到 （ 是 对 题 单 对 实际
24、 劳） ， 果 而 显 . （或 ）的同 用长 劳 议， 几个 目也有 的情况题 类 . ， 方法要 currency1总 类 .（4）参考（1）题 法泰勒： 4)1( 14132 432)1ln( xxx xx ，而0)( 4)1( 1413 4 xxR （介于0与x之间），故 32 32)1ln( xxxx .3.原不为 aaxa xa ln)ln( ，设 xxxf ln)( ，则 2ln1)( x xxf .所以， ex 时，0)( xf ，而 )(xf 单调”，故 aaxa xa ln)ln( ，即原不成立.注评 ：“要 的不等 等价 用 的方法会fifi 证 转 单调 .4.不一定，
25、例如， xxxf sin)( 在 ) ,( 内单 ， xxf cos1)( 在) ,( 内不单调.5. ) ,( 512x 单 ， ),( 512 x 单”； 102052052 41max512)( ff ，无极小.6.函数 )(xfy 连续， 3 22232 ax xy ，有一个驻点 0x 和 个不可 点 ax ；0)( af 为极小值， 是最小值； 34)0( af 为极大值， 无最大值.7.在 1 ,0 上函数单”，故 4)0( f 最大， 0)1( f 最小.令 xbxxaxf 2ln)( ，则应有 012)1( baf ， 014)2( 2 bf a ，得 32a ， 61b ；而 )1(f 极小， )2(f 极大.提示：函数 可 ，而可 的极值点 为驻点. cbxaxxf 23)( 2 0)3(434)2( 22 acbcab ，即 032 acb 时无零点.3.51. )1 ,0(x 时，凸； ) ,1( x 时，凹；拐点 )7 ,1( .2. 82k ，各有 个拐点 ) ,1( 22 . 3. 3 ,0 ,1 cba .4. tty 1143 )1( 2 ， 0y 的点 1t ，y 不存在的点 0t ；10
