1、高一数学必修 3 导学案(教师版) 周次 上课时间 月 日周 课型 新授课 主备人 使用人课题 2.3 变量间的相关关系教学目标1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观 认识变量间的相关关系；2. 知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点 作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。教学难点 对 最 小 二 乘 法 的 理 解 。课前准备 多媒体课件教学过程：复习回顾标准差的公式为：_ _创设情境1、函数是研究两个变量之间的依存关 系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被
2、惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。 ”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3、 “名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？新知探究思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 一、相关关系：
3、自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康” 的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康
4、的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。上面提到了很多相关关系，那 它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。二、散点图探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄 对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。思考探究：1、对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？2、为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图
5、可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形称为 散点图。3、观察人的年龄的与人体脂 肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本 856P，这种相关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图 中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？ 如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附
6、近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。我们所画的回归直线应该使散点图中的 各点在整体上尽可能的与其接近。我们怎么来实现这一目的呢 ？说一说你的想法。设所求的直线方程为 y=bx+a，其中 a、b 是待定系数。则 yi=bxi+a（i =1，2，n）.于是得到各个偏差yi i =yi（ bxi+a） （i =1，2，n）年龄 23 27 39 41 45 49 50脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2年龄 53来 54 56 57 58 60 61脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.605101520
7、2530354020 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年 龄脂肪含量显见，偏差 yi i 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用 n 个偏差的平方和Q=（ y1bx 1a） 2+（y 2bx 2a） 2+（y nbx na） 2表示 n个点与相应直线在整体上的接近程度。记 Q=iiibx12)(这样，问题就归结为：当 a、b 取什么值时 Q 最小，a、b 的值由下面的公式给出：. ,)(1212xbya xnyyxniiiiniii ii其中 = ni1， = niy1，a 为回归方程的斜率，b 为截距。
8、求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。【例题精析】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54（1 ）画出散点图；（2 ）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；（3 ）求回归方程；（4 ）如果某天的气温是 2，预测这 天卖出的热饮杯数。解：（4）当 x=2 时，y=143. 063【课堂小结】1、求样本数据的线性回归方程，可按下列
9、步骤进行：y = -2.3517x + 147.77020406080100120140160180-10 0 10 20 30 40温 度热饮杯数（1 ）计算平均数 x， y；（2 ）求 a，b ；（3 ）写出回归直线方程。2、回归方程被样本数据惟一确定，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.。3、对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“ 回归方程” ，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的。因此，对一组样本数据，应先作 散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程。书面作业板书设计教后记1、2、巩
10、固练习2.3 变量间的相关关系学习目标 （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.(2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断.(3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用.重点难点 重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系.难点：理解变量间的相关关系.学法指导在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的
11、数学方法。一、相关关系二、散点图三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法例题讲解 小结问题探究复习回顾：函数的定义二、情景设置： 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？二、探究新知： 知识探究（一）：变量之间的相关关系思考 1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3
12、）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 思考 2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？思考 3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 思考 4：相 关 关 系 与 函 数 关 系 的 异 同 点 ：总结：对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可
13、以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.）知识探究（二）：
14、散点图【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：课本 85页的探究。思考 1：描述一下散点图的含义。思考 2：从上面问题的散点图中说明人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？ 思考 3：正相关和负相关的定义是什么？它们各有什么特征？（1）正相关：散点图中的点散布在从 到 的区域。（2）负相关：散点图中的点散布在从 到 的区域。思考 4：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?三、典例分析:例 1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间
15、的关系.例 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关. 例 3、某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某 6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系?知识探究（三）：线性回归一、回归直线方程的推导思考 1：人体脂肪含量和年龄关系散点图中点的分布从整体上看有何特点？思考 2：如何描述这些特点？（1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在 附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。（2）回归方程： 对应的方程叫做
16、回归方程。思考 3：回归直线方程的推导：我们该怎样来求出这个回归方程？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？方案 1、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最房屋面积（平方米）61 70 115 110 80 135 105销售价格（万元）12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22气温/ C026 18 13 10 4 1杯数 20 24 34 38 50 64小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。20 25 30 35 40 45 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案 2、在图中选两点作直线，使直线两侧
17、的点的个数基本相同。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65年龄脂肪含量05101520253035401122(),nniiiii iixyxybayx方案 3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。20 25 30 35 40 45 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540我们还可以找到更多的方法，但这些方法都可行吗? 科学吗？准确吗？怎样的方法是最好的？思考 4：如何求解最有代表性的直线方程？假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据 ， ， 。设所求回归方程为 其中
18、， 是待定参数。ab由最小二乘法得其中： 是回归方程的 ， 是 。ba注： 1、各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。2、我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法。二、求线性回归方程例 2：观察两相关变量得如下表：x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9求两变量间的回归方程解：列表i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1-9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9ixy9 14 15 12 5 5 15 12 14 9计算，得所求回归直线方程为 y=x小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：画出散点图，判断是否具有相关关系第二步：列表 ；iixy， ，第三步：计算 21niix、 、 、第四步：代入公式计算 b,a 的值；第五步：写出直线方程。三、利用线性回归方程对总体进行估计例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：i10102,iiiiyx1021 011iiiib0ayxb
