1、 高三数学第二轮复习教案 第 5 讲 解析几何问题的题型与方法 （二） 七、强化训练 1、已知 P 是以 1F 、 2F 为焦点的椭圆 )0(12222 babyax 上一点，若 021 PFPF 21tan21 FPF，则椭圆的离心率为 （ ） （ A） 21 （ B） 32 （ C） 31 （ D） 35 2、已知 ABC 的顶点 A（ 3， 1） ， AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0， B 的平分线所在直线的方程为：x 4y+10=0，求边 BC 所在直线的方程 。 3、求直线 l2： 7x y+4=0 到 l1： x+y 2=0 的角平分线的方程 。 4、已知三
2、种食物 P、 Q、 R 的维生素含量与成本如下表所示 。 现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合，制成 100kg 的混合物 .如果这 100kg 的混合物中至少含维生素A44 000 单位与维生素 B48 000 单位，那么 x， y， z 为何值时，混合物的成本最小？ 5、某人有楼房一幢，室内面积共 180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房 .大房间每间面积为 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积为 15 m2，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元 .装修大房间每间需 1000元，装修小房间每间需
3、 600 元 .如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 6、已知 ABC 三边所在直线方程 AB： x 6=0， BC： x 2y 8=0， CA： x+2y=0，求此三角形外接圆的方程 。 7、已知椭圆 x2+2y2=12， A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 3134 ，求点 A的坐标 。 8、已知椭圆 12222 byax （ a b 0）上两点 A、 B，直线 kxyl : 上有两点 C、 D，且 ABCD 是正方形。此正方形外接圆为 x2+y2 2y 8=0，求椭圆方程和直
4、线 l 的方程 。 9、求以直线 2: xl 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程 。 10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四 个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为 12 ，食物 P 食物 Q 食物 R 维生素 A（单位 /kg） 400 600 400 维生素 B（单位 /kg） 800 200 400 成本（元 /kg） 6 5 4 求椭圆的方程 。 11、已知直线 1 xy 与椭圆 )0(12222 babyax 相交于 A、 B 两点，且线段 AB 的中点在直线 02: yxl 上 。 （）求此椭圆的离心率； （ 2 ）若椭圆的右焦点关于
5、直线 l 的对称点的在圆 422 yx 上，求此椭圆的方程 。 12、设 A（ x1， y1） 为椭圆 x2+2y2=2 上任意一点，过点 A 作一条直线 l ，斜率为112yx ，又设 d 为原点到直线 l 的距离 ，r1、 r2 分别为点 A 到椭圆两焦点的距离。求证： drr 21 为定值 。 13、 某工程要将直线公路 l一侧的土石，通过公路上的两个道口 A和 B，沿着道路 AP、 BP 运往公路另一侧的 P处， PA=100m，PB=150m， APB=60，试说明怎样运土石最省工？ 14、已知椭圆 12222 byax （ a b 0）， P 为椭圆上除长轴端点外的任一点， F1、
6、 F2 为椭圆的两个焦点，（ 1）若 21 FPF ， 21FPF ，求证：离心率2cos2cos e ；（ 2）若 221 PFF ，求证： 21PFF 的面积为 tan2b 。 15、在 Rt ABC 中， CBA=90， AB=2， AC= 22 。 DO AB 于 O 点， OA=OB， DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E上运动，且保持 | PA |+| PB |的值不变 。 （ 1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程 ； （ 2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、 N 且 M 在 D、 N 之间，设 DNDM ， 试确定实数 的取值范围 。 16
7、、 （ 2004 年北京春季高考） 已知点 A（ 2， 8）， B x y C x y( ) ( )1 1 2 2， ， ，在抛物线 px2 2 上， ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合（如图） 。 yBOAF MxC（ I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标 ； （ II）求线段 BC 中点 M 的坐标； （ III）求 BC 所在直线的方程 。 八、参考答案 1、解：设 c 为为椭圆半焦距， 021 PFPF 21 PFPF 又 21tan21 FPF212)2(122122221PFPFaPFPFcPFPF解得： 3595)( 2 aceac 选（ D） 。 说明 ：垂直向量的引
8、入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“ 0 baba ”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题 。 2、解：设 B（ a， b） ， B 在直线 BT 上， a 4b+10=0 又 AB 中点 21,23 baM 在直线 CM 上， 点 M 的坐标满足方程 6x+10y 59=0 0592 1102 36 ba 解、组成的方程组可得 a=10， b=5 B（ 10， 5） ，又由角平分线的定义可知， 直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角， 又 76ABk41BTkBTBABTBABCBTBCBT kk kkkk kk 11 9
9、2BCk， BC 所在直线的方程为 )10(925 xy 即 2x+9y 65=0。 3、 解法一： 设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k， k1= 1， k2=7。 。 kkkk 1171 7 ，解之得 k= 3 或 31k ，由图形可知 k0， k= 3，又由 047 022 yx yx 解得 l1 与 l2 的交点 49,41Q ， 由点斜式得 41349 xy 即 6x+2y 3=0。 解法二： 设 l2到 l1 的角为，则 3412121 kkkktg ，所以角为锐角，而 221 ，由二倍角公式可知 3421222 tgtgtg 22 tg 或 212tg 2 为锐角 ，
10、kktg 71 7212 ， k= 3 等同解法一 。 解法三： 设 l： （ x+y 2） + （ 7x y+4） =0 即 （ 1+7 ） x+（ 1 ） y+（ 4 2） =0 。 171 k ，由解法一知 1713 k ， 51 ，代入化简即得： 6x+2y 3=0。 解法四： 用点到直线的距离公式，设 l 上任一点 P（ x， y） ，则 P 到 l1 与 l2 的距离相等 。 50 |47|2 |2| yxyx 整理得： 6x+2y 3=0 与 x 3y+7=0，又 l 是 l2 到 l1 的角的平分线 ， k0， x 3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y
11、3=0。 4、分析：由 x+y+z=100，得 z=100 x y，所以上述问题可以看作只含 x， y 两个变量 .设混合物的成本为 k 元，那么 k=6x+5y+4（ 100 x y） =2x+y+400， 于是问题就归结为求 k 在已知条件下的线性规划问题 。 解：已知条件可归结为下列不等式组 ： 4 8 0 0 0)1 0 0(4 0 02 0 08 0 04 4 0 0 0)1 0 0(4 0 06 0 04 0 01 0 000yxyxyxyxyxyx。 即 40220100yxyyx 。 在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域，这个区域是直线 x+y=100， y=20，
12、 2x y=40 围成的一个三角形区域 EFG（ 包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分 。 设混合物的成本为 k 元，那么 k=6x+5y+4（ 100 x y） =2x+y+400。 作直线 0l ： 2x+y=0，把直线 0l 向右上方平移至 1l 位置时，直线经过可行域上的点 E，且与原点的距离最小，此时 2x+y 的值最小，从而 k 的值最小 。 由 20402 y yx得 2030yx即点 E 的坐标是（ 30， 20） 。 所以， 最小值k =2 30+20+400=480（元），此时 z=100 30 20=50。 答：取 x=30， y=20， z=50 时，混合物的成本最
13、小，最小值是 480 元 。 5、解：设隔出大房间 x 间，小房间 y 间时收益为 z 元，则 x、 y 满足 。 8 0 0 06001 0 0 0 1801518 yx yx， x， y N， 且 z=200x+150y。 所以 4035 6056 yx yx， x， y N， 作出可行域及 直线 0l ： 200x+150y=0，即 4x+3y=0。（如 图 4） 。 把直线 0l 向上平移至 1l 的位置时，直线经过可行域上 的点 B，且与原点距离最大 .此时， z=200x+150y 取最大值 .但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B（ 720 ， 760
14、 ） 。 由于点 B 的坐标不是整数，而x， y N，所以可行域内 的点 B 不是最优解 。 为求出最优解，同样必须进行定量分析 。 因为 4 720 +3 760 = 7260 37.1，但该方程的非负整数解（ 1， 11）、（ 4， 7）、（ 7， 3）均不在可行域内，所以应取 4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（ 0， 12）和（ 3， 8） .此时 z 取最大值 1800 元 . 。 6、解：解方程组可得 A（ 6， 3） 、 B（ 6， 1） 、 C（ 4， 2） 设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 ： 图 4 0242406)1(6036)3(
15、6222222FEDFEDFED解之得： D= 221 ， E=4， F=30。 所以所求的 ABC 的外接圆方程为： 030422122 yxyx 。 7、分析：若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f（ x， y） =0 相交于两点 P（ x1， y1）、 Q（ x2、 y2），则弦 PQ 的长度的计算公式为|11|1| 212212 yykxxkPQ ，而 。 2122121 4)(| xxxxxx ，因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f（ x， y） =0 方程，消去 y（或 x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长 。 解：设 A（ x0， 0）（ x0 0），则
16、直线 l 的方程为 y=x x0，设直线 l 与椭圆相交于 P（ x1， y1）， Q（ x2、 y2），由 122 22 0yx xxy，可得 3x2 4x0x+2x02 12=0， 34 021 xxx ， 3 122 2021 xxx ，则 2020202122121 236323 4889164)(| xxxxxxxxx |13144212 xxx ，即 202363223144 x x02=4，又 x0 0， x0=2， A（ 2， 0） 8、解：圆方程 x2+y2 2y 8=0 即 x2+（ y 1） 2=9 的圆心 O（ 0， 1），半径 r=3。 设正方形的边长为 p，则 rp
17、 22 ， 23p ， 又 O是正方形 ABCD 的中心 ， O到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半 即223，由点到直线的距离公式可知 k= 2 或 k=4。 （ 1）设 4: 2: xyCD xyAB由 082 222 yyx xy得 A（ 3， 1） B（ 0， 2），又点 A、 B 在椭圆 12222 byax 上 ， a2=12， b2=4，椭圆的方程为 1412 22 yx 。 （ 2）设 AB： y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（ 0， 4），（ 3， 1） 代入椭圆方程得 16,548 22 b a ，此时 b2 a2（舍去） 。 综上所述，直线 l 方
18、程为 y=x+4，椭圆方程为 1412 22 yx 。 9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率 e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合 a、 b、 c 的几何意义即可 。 解：设 M（ x， y），过 M 作 lMA 于 A， 22| yxMO ， 2| xMA ， ex yx 2 22 ， 又过 M 作 xOM 轴于 O，因为点 M 为短轴端点，则 O必为椭圆中心 ， cxOO | ， 22| yxaMO ， 22 yxxace， 22222 yx xxyx 化简得 y2=2x， 短轴端
19、点的轨迹方程为 y2=2x（ x 0） 。 10、解 ：若椭圆的焦点在 x 轴上，如图，四边形 B1F1B2F2 是正方形，且 A1F1= 12 ，由椭圆的几何意义可知，221bcabac 解之得： 1,2 b a ，此时椭圆的方程为 12 22 yx，同理焦点也可以在 y 轴上，综上所述，椭圆的方程为 12 22 yx 或 12 22 xy 。 11、解 ： （ 1）设 A、 B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由 得 02)( 2222222 baaxaxba ， 根据韦达定理，得 ,22)(,2222212122221 ba bxxyyba
20、axx 线段 AB 的中点坐标为（222222 ,ba bba a ） 由已知得 222222222222 2)(22,02 cacababa bba a 故椭圆的离心率为 22e 。 （ 2 ）由（ 1 ）知 ,cb 从而椭圆的右 焦点坐标为 ),0,(bF 设 )0,(bF 关于直线 02: yxl 的对称点为,02221210),( 000000 ybxbxyyx 且则 解得 bybx 545300 且由已知得 4,4)54()53(,4 2222020 bbbyx故所求的椭圆方程为 148 22 yx 12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数 e（ 0
21、 e 1）的点的轨迹是椭圆 ，椭圆 12222 byax 上任一点 P（ x1， y1）到左焦点 F1 的距离 |PF1|=a+ex1，到右焦点 F2 的距离 |PF2|=a ex1；同理椭圆 12222 bxay上任一点 P（ x1， y1）到两焦点的距离分别为 a+ey1 和 a ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用 。 解：由椭圆方程 22 22 yx 可知 a2=2， b2=1 则 c=1， 离心率 22e ， 由焦半径 公式可知， 2121221121 212)( xxeaexaexarr 。 又直线 l 的方程为 ： )(2 1111 xxyxyy
22、 即 x1x+2y1y 2=0， 由点到直线的距离公式知，2121 42 yxd ， 又点（ x1， y1）在椭圆上， 2y12=2=x12， 2121212121 42)2(2 242 xxxyxd ， 244224212121 xxdrr为定值 。 13、解 ： 以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一 侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，则 。 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|， 即 |MA| |MB|=|BP| |AP|=50， 750| AB ， M 在双曲线 1625252222 yx 的右支上 。 故
23、曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工 。 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可 找到典型的范例，你知道吗 ？ 14、分析： 21FPF 的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此 aPFPF 2| 21 ， |F1F2|=2c，所以我们应以 21FPF为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。 证明：（ 1）在 21FPF 中，由正弦定理可知 s in |s in |)(s in | 2121 PFPFFF，则 。 s ins in |)s in ( 2 21 PFPFc s ins in 2)s in ( 2 ac2c o s2c o s2c o s2s i n22c o s2s i n2s i ns i n)s i n (22 ace
