1、1第八章 非线性控制系统分析练习题及答案8-2 设一阶非线性系统的微分方程为 3x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解 令 x0 得 xx32110()()系统平衡状态 xe1,其中： ：稳定的平衡状态；0：不稳定平衡状态。,e计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。可见：当 时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当 时，系统发散；x()01x()01时， ; 时， xt()。)(t1)0(x注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 平面上任意分布。8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。(1) x0(5) 212x解 （1） 系统
2、方程为x -2 -1 13 0 1 2 -6 0 0.385 0 -0.385 0 611 2 0 1 0 2 11图解 8-1 系统相轨迹2)0(:xx令 ，得平衡点： 。0xe系统特征方程及特征根：21,2, 3:0().68,0.1ssj 稳 定 的 焦 点鞍 点(,),xfxdxdx11)0(1:Ix计算列表- -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 x01: -1 -2/3 0 2 - -4 -2 -4/3 -1 -1 -4/3 -2 -4 2 0 -2/3 -1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（ ）所示。a3图解8-2 （ ）系统相平面图a（5） x122由式： x21
3、式代入： ()()xx1112即 0 令 1得平衡点： xe由式得特征方程及特征根为（鞍点）41.02012,1s画相轨迹，由式xdx1112计算列表42 2.5 3 1 1.5 2=1/( -2) 2 1 0 -1 -2 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解 8-2（ ）所示。b8-4 若非线性系统的微分方程为(1) (.)xx30502(2) 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。解（1） 由原方程得(,)(.).xfxxx30530522令 1 得 2解出奇点 xe0, 在奇点处线性化处理。在 处：e(,)(,).xfxfxxxx00012655即 .5特征方程及特征根sj1220
4、405984,.（不稳定的焦点）在 处xexxxx 5.0).6()( 0101 即 .5特征根 （鞍点）718.224.2,1s概略画出奇点附近的相轨迹如图解8-4（1）所示：5（2） 由原方程(,)xfx令 0 得奇点 e0,在奇点处线性化()fxfx001得 即 x特征根 sj12,。奇点 e0（中心点）处的相轨迹如图解 8-4(2)所示。8-5 非线性系统的结构图如图8-36所示。系统开始是静止的，输入信号 ，试写)(14)(ttr出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解 由结构图，线性部分传递函数为 CsM()12得 ctm 由非线性环节有2
5、)(0ett由综合点得6ctrett()()()4 将、代入得 I2)(20)(ette开关线方程为 t()02: )(ec常 数令 得奇点 I特征方程及特征根（中心点）ssj21210,III： e令 得奇点 0I特征方程及特征根ssj2121, （中心点）绘出系统相轨迹如图解8-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。8-10 已知具有理想继电器的非线性系统如图8-38所示。图8-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：（1） Td0时系统的运动；（2） 5.时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用；（3） 时系统的运动特点。d解 依结构图，线性部分微分方程为cu 7
6、非线性部分方程为 01eTud开关线方程： d由综合口： cre1 、代入并整理得 0deTe在 I 区： 1解出： ()ee2 （抛物线）同理在 II 区可得：20 （抛物线）开关线方程分别为时， e;Td时， 2;5.d2时， .0.概略作出相平面图如图解8-7所示。图习题集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。8-12 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为8(1) Gs().)10(2) 2(3) ss()(.)51试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？解 线性部分低通滤波特性越好，描述函
7、数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解8-10所示。由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。8-14 将图 8-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。图8-40 非线性系统结构图解 (a) 将系统结构图等效变换为图解 8-11（a）的形式。GsHs()()119(b) 将系统结构图等效变换为图解8-11(b)的形式。GsHs()()118-17 已知非线性系统的结构图如图 842所示图8-42 8-13题图图中非线性环节的描述函数为 NA()(
8、)620试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的值范围；（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。解 （1） 126NA()031,()d()420N(A)单调降， 也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线 和 Gj()曲线)(1A )1AN如图解8-13所示，可看出，当 K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。求使 的 值：ImGj0令 arctg()92180得 arctg45,令 j()121233KK10可得出K值与系统特性之间的关系：（2）由图解8-13可见，当 和 Gj()相交时，系统一定会自振。由自振条件)1ANjKA() ()62621AK64解出 )3(128-18 非线性系统如图8-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。解 将系统结构图等效变换为图解8-15。Gjjj()()()101022 2.4.4AjANj.02.12()40.1ANjA20.14jA令 Gj与 的实部、虚部分别相等得
