1、- 1 -【中考攻略】专题：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕 一 固 定 点 旋 转 一 个 定 角 ，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋 转 前 、 后 图 形 的 对 应 点 到 旋 转 中 心 的 距 离 相 等 ，即 旋 转 中 心 在 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 ； 旋 转 前 、 后 的 图 形 对 应 点 与 旋 转 中心 所 连 线 段 的 夹 角 等 于
2、旋 转 角 。把 一 个 图 形 绕 着 某 一 定 点 旋 转 一 个 角 度 360/n(n 为 大 于 1 的 正 整 数 )后 ， 与 初 始的 图 形 重 合 ， 这 种 图 形 就 叫 做 旋 转 对 称 图 形 ， 这 个 定 点 就 叫 做 旋 转 对 称 中 心 ， 旋 转 的 角度 叫 做 旋 转 角 。 特 别 地 ， 中 心 对 称 也 是 旋 转 对 称 的 一 种 的 特 别 形 式 。 把 一 个 图 形 绕 着 某 一 点 旋 转180， 如 果 它 能 与 另 一 个 图 形 重 合 ， 那 么 就 说 这 两 个 图 形 关 于 这 个 点 对 称 或 中
3、心 对 称 ，这 个 点 叫 做 对 称 中 心 ， 这 两 个 图 形 的 对 应 点 叫 做 关 于 中 心 的 对 称 点 。 如 果 把 一 个 图 形 绕某 一 点 旋 转 180 度 后 能 与 自 身 重 合 ， 这 个 图 形 是 中 心 对 称 图 形 。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。结合 2011 和 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心 对 称 和 中 心 对 称 图 形 ； （2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三
4、角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。一、中 心 对 称 和 中 心 对 称 图 形 ：典型例题：例 1. （2012 天津市 3 分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】B。- 2 -【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D 都不符合中心对称的定义。故选 B。例 2. （2012 上海市 4 分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】
5、A 等腰梯形 B 平行四边形C 正五边形 D 等腰三角形【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形故选 B。例 3. （2012 广东深圳 3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】【答案】A。【考点】中心对称和轴对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，A既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；B既不
6、是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。故选 A。例 4. （2012 福建宁德 4 分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】- 3 -【答案】A。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，符合条件的只有 A。故选 A。例 5. （ 2012 湖北随州 4 分）下列图形：等腰梯形，菱形，函数 的图象，函1y=x数 y=kx+b(k0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】A B. C. D.【答案】D。【考点】
7、轴对称图形和中心对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；函数 图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；1y=x函数 y=kx+b（k0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有。故选 D。例 6. （2012 山东德州 4 分）在四边形 ABCD 中，AB=CD，要使四边形 ABCD 是中心对称
8、图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况）【答案】AD= BC（答案不唯一）。【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：AB=CD，当 AD=BC 时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当 ABCD 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。当B+C=180或 A+D=180时，四边形 ABCD 是平行四边形。- 4 -故此时是中心对称图形。故答案为：AD=BC 或 ABCD 或B+C=180或A + D=180等（答案不唯一）。例 7. （2012
9、 四川宜宾 3 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点 P 旋转 180得到DEF，则点 P 的坐标为 【答案】（1，1）。【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。【分析】将ABC 绕点 P 旋转 180得到DEF，ABC 和DEF 关于点 P 中心对称。连接 AD，CF，二者交点即为点 P。由图知，P（1，1） 。或由 A（0，1） ，D（ 2，3） ，根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点 P 的坐标为（ ） ，即（1， 1） 。2四练习题：1. （2012 重庆市 4 分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】A B C D2.（2012 广东珠海 3 分）下列图形中不是中心对
10、称图形的是【 】 A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形3. （2012 江苏盐城 3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】- 5 -4.（2012 四川达州 3 分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】5.（2012 河南省 3 分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】A B C D6.（2012 黑龙江大庆 3 分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】A. B. C D.y2x2yx2yxy2x7.（2011 云南曲靖 3 分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2 公里，那么他们两
11、家相距 公里；二、构造旋转图形：典型例题：例 1. （2012 浙江丽水、金华 3 分）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是【 】A B C D【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑时，所形成的图形关于点 A 中- 6 -心对称。故选 B。例 2. （2012 福建三明 8 分）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，1），B（3，3），C（1， 3）.画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1，并写出点 A1 的坐
12、标；（4 分）画出ABC 关于原点 O 对称的A 2B2C2，并写出点 A2 的坐标.（4 分）【答案】解：如图所示，A 1（2，1）。如图所示，A 2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出 A1、A 2 的坐标。例 3.（2012 海南省 8 分）如图，在正方形网络中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A、B、C 的坐标分别为（2，4）、（2，0）、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC 关于原点 O 对称的A 1B1C1.（2）平移ABC，使点 A 移动到点 A2（0，2），画出平移后的A 2B2C2 并写出点 B
13、2、C 2的坐标.（3）在ABC、A 1B1C1、A 2B2C2 中，A 2B2C2 与 成中心对称，其对称中心- 7 -的坐标为 .【答案】解：（1）ABC 关于原点 O 对称的A 1B1C1 如图所示：（2）平移后的A 2B2C2 如图所示：点 B2、C 2 的坐标分别为（ 0，2），（2，1）。（3）A 1B1C1；（1，1）。- 8 -【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出 A、B、C 三点关于原点的对称点 A1、B 1、C 1，连接即可。（2）根据平移的性质，点 A（2，4）A 2（0，2），横坐标加 2，纵坐标
14、减2，所以将 B（2，0）、C（ 4，1）横坐标加 2，纵坐标减 2 得到 B2（0，2）、C2（2，1），连接即可。（3）如图所示。例 4. （2012 江苏泰州 10 分）如 图 ， 在 边 长 为 1 个 单 位 长 度 的 小 正 方 形 组 成 的 网 格 中 ， ABC 的 顶 点 A、 B、 C 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ， 将 ABC 向 下 平 移 4 个 单 位 、 再 向 右 平移 3 个 单 位 得 到 A1B1C1， 然 后 将 A1B1C1 绕 点 A1 顺 时 针 旋 转 90得 到 A1B2C2（ 1） 在 网 格 中 画 出 A1B1C1 和 A1B
15、2C2；（ 2） 计 算 线 段 AC 在 变 换 到 A1C2 的 过 程 中 扫 过 区 域 的 面 积 （ 重 叠 部 分 不 重 复 计 算 ）【答案】解：（1）如图所示：（2）图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格， 。2AC 将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：42=8。- 9 -再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：42=6 。当A 1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90到A 1B2C2 时，A 1C1 所扫过的面积是以 A1 为圆心以以 为半径，圆心角为
16、 90的扇形的面积，重叠部分是以 A1 为圆心，2 以 为半径，圆心角为 45的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：2 245=360线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积 =86 =14+。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A 1B1C1 及A 1B2C2 即可。（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例 5.（2012 江苏常州 6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0）、B（3，0）、C （2，1）
17、、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点 O 为位似中心，将 ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A 1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点 A1 的坐标为 ，B 1 的坐标为 ，C 1 的坐标为 ；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使A 1B1C1 通过变换后得到A 2B2C2，且A 2B2C2 恰与DEF 拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。【答案】解：作图如下： - 10 -（1）（2，0），（6，0），（4，2）。（2）符合要求的变换有两种情况：情况 1：如图 1，变换过程如下： 将A 2B2C2 向右平移 12
18、 个单位，再向上平移 5 个单位；再以 B1 为中心顺时针旋转 900。情况 2：如图 2，变换过程如下： 将A 2B2C2 向右平移 8 个单位，再向上平移 5 个单位；再以 A1 为中心顺时针旋转 900。【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：先确定图形的位似中心；利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对
