1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2018. 4本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ，且 ，则 可以是0,12AaBx | ABa(A) (B) (C) (D) 12（2）已知向量 ，则(,)(1,0)ab+2ab(A) (B) (C) (D) (,)44（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为S(A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10
2、（4）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若四边形及其内部的点组成的集合记为 且 为 中ABCD,M(,)Pxy任意一点，则 的最大值为yx(A) (B) 12(C) (D) （5）已知 ， 为正实数，则“ ， ”是“ ”的( )ab1ablg0ab(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（6）如图所示，一个棱长为 1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作 ，则 的值不可能是S(A) 1 (B) (C) (D) 654332（7）下列函数 中，其图象上任意一点 的坐标都满
3、足条件 的函数是()fx(,)Pxyyx(A) (B) (C) (D) 3()f()e1fxln(1)fx（8）已知点 在圆 上，点 在圆 上，M221:CyN222:(1)Cy则下列说法错误的是（A） 的取值范围为ON3,0（B） 的取值范围为|2（C ） 的取值范围为|M,（D）若 ，则实数 的取值范围为ON32,第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）复数 _.2i1（10）已知点 是双曲线 的一个顶点，则 的离心率为_.(,0):C21xyaC（11）直线 （ 为参数）与曲线 （ 为参数）的公共点个数为2xtycosin_.（12
4、）在 中，若 ，则ABC2,3,6caAsin_,cos2_.CC（13）一次数学会议中，有五位教师来自 三所学校，其中 学校有 位， 学校,BAB有 位， 学校有 位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，21则共有_种不同的站队方法.（14）已知 3,.xaf若 有两个零点，则 的取值范围是_；f当 时，则满足 的 的取值范围是_ 2a13fxfx三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知 2()23sincos1fxxx（）求 的值；6f（）求 的单调递增区间.()fx（16） （本小题 13 分）
5、流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于 或小于 时，有利于病65%40毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市 12 个月的空气月平均相对湿度。第一季度 第二季度 第三季度 第四季度1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59%乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%（）从上表 12 个月中，随机取
6、出 1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（）从上表第一季度和第二季度的 6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为 ，求 的分布列；X（）若 ，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为 ，求108ab M的最大值和最小值.（只需写出结论）M（17） （本小题 14 分）已知三棱锥 P-ABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD 为边长为的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形在三棱锥 P-ABC 中：2（）证明：平面 PAC平面 ABC；（）求二面角 A-PC-B
7、的余弦值；（）若点 在棱 上，满足 ， ，点 在棱 上，且MPCM123,NB，求 的取值范围.BN(图2)(图1)C AF EADCBBP（18） （本小题 13 分）已知函数 ln()xfa（）当 时，求函数 的单调递增区间；0a()f（）当 时，若函数 的最大值为 ，求 的值.fx21ea（19） （本小题 14 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且点 在椭圆上.设与C210xyab32,1T平行的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 分别与 轴正半轴交于 两OTl,PQ,Px,MN点.（）求椭圆 的标准方程；（）判断 的值是否为定值，并证明你的结论.MN（20） （本小题 13 分）设 是由
8、 ， ， ， 组成一个 行 列的1,21,2,1,2,()nijnnnaaALMO32nn数表（每个数恰好出现一次） ， 且 .*N若存在 ， ，使得 既是第 行中的最大值，也是第 列中的最小ij,ijai j值，则称数表 为一个“ 数表” ， 为数表 的一个“ 值”.A,ijA对任意给定的 ，所有“ 数表”构成的集合记作 .nNn（）判断下列数表是否是“ 数表”.若是，写出它的一个“ 值”N， ；123456789A14782593B（）求证：若数表 是“ 数表” ，则 的“ 值”是唯一的；NA（）在 中随机选取一个数表 ，记 的“ 值”为 ，求 的数学期望19NX.()EX海淀区高三年级第
9、二学期期中练习数学( 理)参考答案与评分标准 2018.4一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C A D B A D D B二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。题号 9 10 11 12 13 14答案 1i522 3148 (3,1x注：第 12、14 题第一空均为 3 分，第二空均为 2 分。三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出解答步骤。15.（本题满分 13 分）（）2()23sincos16f2 分133 分2（） 7 分()3sincos2fx
10、x9 分()6因为函数 的单调递增区间为 （ ） ， 10 分sinyx2,2kkZ令 （ ） ， 11 分226kkZ解得 （ ） ， 12 分3x故 的单调递增区间为 （ ） 13 分()f,36kk注：第（）题先化简 ，再求 ，求值部分 3 分；第（）题 y=sinx 的单()fx()f调区间及“解得 ”没写但最后答案正确，则不扣分；最后结果没写成区间扣 1 分，写开区间不扣分；全部解答过程没有写 ，扣 1 分。kZ16.（本题满分 13 分）（）设事件 ：从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，该月甲地空气月平均相对湿度有A利于病毒繁殖和传播. 用 表示事件抽取的月份为第 月，则 1
11、 分i i，共 12 个基本事件，2 分1234567891012,AAA=A2,A6,A8,A9,A10,A11，共 6 个基本事件， 3 分所以， .4 分61()2PA（）在第一季度和第二季度的 6 个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有 2 月和 6 月，故 所有可能的取值为 ， ， .5 分X012， ，46(0)15CPX12468()5CP6()CPX8 分随机变量 的分布列为0 1 2P2585159 分（） 的最大值为 ，最小值为 . 13 分M8%4注：第（）题没列 和 A 包含的基本事件，若后面出现 则不扣分，若后面没出612现 则扣 2 分
12、，结果不化简不扣分；第（）题 X 所有可能的取值没列扣 1 分，概率值错61一个扣 1 分，分布列不写扣 1 分；第（）题漏写“%” 不扣分。17.（本题满分 14 分）（）方法 1：OPCAB设 的中点为 ，连接 ， . 由题意PO， ，2PA11ABC因为在 中， ， 为 的中点C所以 ， 1 分O因为在 中， ， ，BP2P所以 2 分因为 ， 平面 3 分AC,AOBC所以 平面O因为 平面 4 分P所以平面 平面方法 2：OPCAB设 的中点为 ，连接 ， . APO因为在 中， ， 为 的中点PAC所以 ， 1 分因为 ， ，BABCO所以 OP所以 90PAC所以 2 分因为 ，
13、 平面 3 分CB,AB所以 平面O因为 平面 4 分PA所以平面 平面PACB方法 3：OPCAB Q设 的中点为 ，连接 ，因为在 中， ，APACP所以 1 分P设 的中点 ，连接 ， 及 .OB因为在 中， ， 为 的中点OBAQ所以 .Q因为在 中， ， 为 的中点P所以 .因为 ， 平面O,QOP所以 平面AB因为 平面P所以 2 分因为 ， 平面 3 分C,BAC所以 平面O因为 平面 4 分P所以平面 平面法 4：OPCAB设 的中点为 ，连接 ， . PO因为在 中， ， 为 的中点PCA所以 ， 1 分A因为在 中， ， 为 的中点B所以 ， 2 分BOAC因为 ， 平面
14、， 平面 ，PPACBOAC所以POB 为二面角 P-AC-B 的平面角。 3 分因为在 中， ， ，12P所以 4 分O故二面角 P-AC-B 为直二面角，即平面 平面 。ACB（）由 平面 ， ，如图建立空间直角坐标系，则ACxOyzPCAB， ， ， ， 5 分(0,)(1,0)(,10)(,)(0,1)P由 平面 ，故平面 的法向量为 6 分APCOB由 ，(,)BC(,)设平面 的法向量为 ，则nxyz由 得：0Pn0令 ，得 ， ，即 7 分1xy1z(,1)n8 分3cos,|OBn由二面角 是锐二面角，APC所以二面角 的余弦值为 9 分B3（）设 ， ，则 10 分BN01(,10)(,1)(,)MCP11 分AAB令 0B得 12 分(1)(1)0
