1、- 1 -江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试数学试题第卷（共 70 分） 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1.设复数 zabi(,Ri为虚数单位） ，若 (43zi)，则 ab的值是 2.已知集合 |0|2UxAx，则 UA 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的 首，则甲、乙 2首歌曲至少有 1首被播放的概率是 4. 如图是一个算法流程图，则输出的 k的值是 5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 50的样本，其中大一年级抽取 20人，大二年级抽取 10人.若其他年级共有学生 30人，则该
2、校学生总人数是 6.设等差数列 na的前 项和为 nS，若公差 52,da，则 10S的值是 7.在锐角 ABC中， 3,4A，若 BC的面积为 3，则 BC的长是 8.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 210xya经过抛物线 28yx的焦点，则该双曲线的离心率是 - 2 -9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 23的扇形，则这个圆锥的高为 10.若直线 2yxb为曲线 xye的一条切线，则实数 b的值是 11.若正实数 ,满足 1，则 4的最小值是 12.如图，在直角梯形 ABCD中， /,90,3,2ABCBCD ，若,EF分别是线段 和 上的动点，则 EF的取值范围是 1
3、3. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 0,2A，点 1,BP为圆 2xy上一动点，则 PBA的最大值是 14.已知函数 3,xaf若函数 2gxfax恰有 2个不同的零点，则实数 a的取值范围是 第卷（共 90 分）二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 sin0,3fxAx图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点 3,2.（1）求函数 fx的解析式；（2）若角 满足 31,0,2ff，求角 值.16. 如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是矩形，平面 PAD平面,ABCDMN分别为棱 ,P的中点.求证：- 3
4、-（1） /MN平面 PAB；（2） 平面 CD.17. 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 210xyab的左焦点为 1,0F，且经过点 31,2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦 AB过点 F，且与 x轴不垂直.若 D为 x轴上的一点， DAB，求ABDF的值.18. 如图，半圆 O是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 O的长为 1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路 l上选取一点 C，修建参观线路 CEF,且,CE,均与半圆相切，四边形 DEF是等腰梯形，设 Dt百米，记修建每 百米参观线路的费用为 ft万元，经测算 15,038,2tftt.- 4 -（1）用 t
5、表示线段 EF的长；（2）求修建参观线路的最低费用.19. 已知 na是公差为 d的等差数列， nb 是公比为 q的等比数列， 1q，正整数组,Emprr.（1）若 1231ba，求 q的值；（2）若数组 中的三个数构成公差大于 的等差数列，且 mprmabab，求q的最大值.（3）若1, 02nnmprbabab，试写出满足条件的一个数组 E和对应的通项公式 n.(注：本小问不必写出解答过程)20. 已知函数 2cos(fxaxR） ，记 fx的导函数为 gx.（1） 证明：当 1时， g在 上的单调函数；（2）若 fx在 0处取得极小值，求 a的取值范围；（3）设函数 h的定义域为 D，区
6、间 ,mD.若 hx在 ,m上是单调函数，则称 x在 上广义单调.试证明函数 lnyfx在 0,上广义单调.数学(附加题)21. 【选做题】 本题包括 A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图，已知 为圆 O的一条弦，点 P为弧 AB的中点，过点 P任作两条弦 ,CPD分别交- 5 -AB于点 ,EF.求证： PCD.B. 选修 4-2：距阵与变换已知矩阵 1aMb，点 ,1在 M对应的变换作用下得到点 1,5，求矩阵 M的特征值.C. 选修 4-4：坐标系与参数
7、方程在坐标系中，圆 C的圆心在极轴上，且过极点和点 32,4，求圆 C的极坐标方程.D. 选修 4-5：选修 4-5：不等式选讲已知 ,abcd是正实数，且 1abcd，求证： 55abcdabd.【必做题】第 22、23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥 SABCD中， S平面 ABCD，四边形 是直角梯形，90,2,1ADC.（1）求二面角 SBCA的余弦值；- 6 -（2）设 P是棱 BC上一点， E是 SA的中点，若 PE与平面 SAD所成角的正弦值为 2613，求线段 的长.23. 已知函数 00,cxdfacbd，
8、设 nfx为 1nf的导数， nN.（1）求 12,；（2）猜想 nfx的表达式，并证明你的结论.江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1 2 2.|02x 3. 56 4.3 5.750 6.07. 3 8. 52 9. 10.1 11.8 12：4,613.2 14. 3,2二、解答题: 15. 解：(1)由条件，周期 2T，即 2，所以 1，即 sin3fxA.因为 fx的图象经过点 3,，所以 3sin,iAf.(2)由 12ff，得 icos12，即sin3cos,sin13，即 in.因为- 7 -0,6或 5.16. 解：(1)因为 ,
9、MN分别为棱 ,PDC的中点，所以 /MNDC，又因为底面 ABCD是矩形，所以 /ABCAB.又 平面 ,PAB平面 P，所以 /MN平面 P.(2)因为 ,为 P的中点，所以 .因为平面 平面 ABC，又平面 AD平面 ,BCADC平面 ABD，所以 平面 PD，又M平面 ，所以 M.因为 P平面 ,CM平面 P.17. 解：(1)由题意，知 22332114,a a.又221,3cabc，所以椭圆的标准方程为2xy.(2)设直线 AB的方程为 1ykx.若 0k时， 4,1,4ABABaFDOF.若 0k时， 12,的中点为 0,Mxy，代入椭圆方程，整理得223484xk，所以 2 2
10、12 002 266143, ,13434kkkkxxykx，所以 AB的垂直平分线方程为2214343kkyx.因为 DAB，所以点D为 的垂直平分线与 x轴的交点，所以222,013434kkkDF，因为椭圆的左准线的方程为 4x，离心率为 12，由 12Ax，得 1x，同理 22 12014, 434kBFBFx，所以 4ABDF，- 8 -综上，得 ABDF的值为 4.18. 解：设 E与半圆相切于点 Q，则由四边形 CDEF是等腰梯形知，,OQl，以 O所在直线为 x轴， O所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系xy.(1)设 EF圆切于 G，连结 过点 E作 HAB，垂足为 .因为,
11、HFF，所以12RttOt.由 2221,024EFEtt.(2) 设修建该参观线路的费用为 y万元. 当 11320,52534ttytt，由 2350yt ，则 在 1,3上单调递减，所以当 t时， y取得最小值为 . 当 1时， 21168224tyttt，所以23361tt，,10tt，且当 1,t时， 0y；当 1,2t时， 0y，所以y在 1,3上单调递减，在 ,2上单调递增.所以当 t时， 取得最小值为 4.5. 由 - 9 -知， y取得最小值为 24.5.答：（1） EF的长为 1t百米；（2）修建该参观线路的最低费用为 24.5万元.19. 解：(1)由条件，知21112a
12、bqdbqa，即122,10dbqq，1,2q.(2)由 mprab，即 pmprab，所以 pmrpdbq，同理可得，1rmrdq，因为 ,r成等差数列，所以 12r.记pqt，则有 20t， 1,qt，故 t，即,m.记 pm，则 为奇函数，又公差大于 1，所以1133,2q，即132q，当 时， q取最大值为132.(3)满足题意的数组 ,E，此时通项公式为13,28mnanN.例如： 1,48na.20. 解：(1)当 2时， 2cos,sinfxxfx，即si,10gxg， g在 R上单调递增.(2) sin,2csfxaxax. 当 12a时，1cos0x，所以函数 f在 上单调递
13、增.若 0，则 0fxf；若 ，则 fxf，所以函数 fx的单调增区间是 ,，单调减区间是,0，所以 在 处取得极小值，符合题意.当 12a时，1cos0gxx，所以函数 fx在 R上单调递减.若 0x，则 0fxf；- 10 -若 0x，则 0fxf，所以 fx的单调减区间是 0,，单调增区间是,，所以 在 处取得极大值，不符合题意. 当 12a时，0x，使得 0cos2xa，即 0gx，但当 0,x时， cosx，即g，所以函数 f在 ,上单调递减，所以 ff，即函数fx在 0,单调递减，不符合题意.综上所述， a的取值范围是 1,2.（3）记 2cosln0haxx. 若 0，注意到 lnx，则12lx，即 ln， 当214a时， 2si1lhxaa1412 02axx.所以2ma，函数 h在 ,m上单调递增.若 0a，当 1x时，2sin1lsin1l0hxxx，所以 1，函数 h在 ,m上单调递减，综上所述，函数 yf在区间 ,上广义单调.数学(附加题)21. A. 解：连结 ,PABCD，因为 PABC，又点 P为弧 AB的中点，所以，又 D，所以FE，
