1、第一章 行列式 1. 四阶行列式中带有负号且包含 a12和 a21的项为 _. 解 . a12a21a33a44 中行标的排列为 1234, 逆序为 0; 列标排列为 2134, 逆序为 1. 该项符号为“” , 所以答案为 a12a21a33a44. 2. 排列 i1i2 in可经 _次对换后变为排列 inin 1 i2i1. 解 . 排列 i1i2 in可经过 1 + 2 + + (n 1) = n(n 1)/2 次对换后变成排列 inin 1 i2i1. 3. 在五阶行列式中 =_ . 解 . 15423 的逆序为 5, 23145 的逆序为 2, 所以该项的符号为“” . 4. 在函数
2、 中 , x3的系数是 _. 解 . x3的系数只要考察 . 所以 x3前的系数为 2. 5. 设 a, b 为实数 , 则当 a = _, 且 b = _时 , . 解 . . 所以 a = b = 0. 6. 在 n 阶行列式 D = |aij|中 , 当 i j 时 aij = 0 (i, j =1, 2, , n), 则 D = _. 解 . 7. 设 A 为 3 3 矩阵 , |A| = 2, 把 A 按行分块为 , 其中 Aj (j = 1, 2, 3)是 A 的第 j行 , 则行列式 _. 解 . . 1. 设 计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中 A
3、4j(j= 1, 2, 3, 4)是 |A|中元素 a4j的代数余子式 . 解 . A41 + A42 + A43 + A44 = 2. 计算元素为 aij = | i j|的 n 阶行列式 . 解 . 3. 计算 n 阶行列式 (n 2). 解 . 当 + = + + + = = = 0 当 4. 设 a, b, c 是互异的实数 , 证明 : 的充要条件是 a + b + c =0. 证明 : 考察范德蒙行列式 : = 行列式 即为 y2前的系数 . 于是 = 所以 的充要条件是 a + b + c = 0. 5. 证明 :奇数阶反对称矩阵的行列式为零 . 证明 : (n 为奇数 ). 所
4、以 |A| = 0. 6. 设 证明 : 可以找出数 (0 1), 使 (提示 : 使用罗尔定理 ). 证明 : , 由罗尔定理 , 存在数 (0 1), 使 . 7. 试证 : 如果 n 次多项式 对 n + 1 个不同的 x 值都是零 , 则此多项式恒等于零 . (提示 : 用范德蒙行列式证明 ) 证明 : 假设多项式的 n + 1 个不同的零点为 x0, x1, , xn. 将它们代入多项式 , 得关于 Ci方程组 系数行列式为 x0, x1, , xn的范德蒙行列式 , 不为 0. 所以 8. 设 解 . = = = = 1. 设 1, 2, 3, , 均为 4 维向量 , A = 1
5、, 2, 3, , B = 1, 2, 3, , 且 |A| = 2, |B| = 3, 则 |A 3B| = _. 解 . = = 2. 若对任意 n 1 矩阵 X, 均有 AX = 0, 则 A = _. 解 . 假设 , i是 A 的列向量 . 对于 j = 1, 2, , m, 令 , 第 j 个元素不为 0. 所以 (j = 1, 2, , m). 所以 A = 0. 3. 设 A 为 m 阶方阵 , 存 在非零的 m n矩阵 B, 使 AB = 0 的充分必要条件是 _. 解 . 由 AB = 0, 而且 B为非零矩阵 , 所以存在 B 的某个列向量 bj为非零列向量 , 满足 A
6、bj = 0. 即方程组 AX = 0 有非零解 . 所以 |A| = 0; 反之 : 若 |A| = 0, 则 AX = 0 有非零解 . 则存在非零矩阵 B, 满足 AB = 0. 所以 , AB = 0 的充分必要条件是 |A| = 0. 4. 设 A 为 n 阶矩阵 , 存在两个不相等的 n阶矩阵 B, C, 使 AB = AC的充分条件是 _. 解 . 5. = _. 解 . 6. 设矩阵 = _. 解 . = = + = = 7. 设 n 阶矩阵 A 满足 = _. 解 . 由 得 . 所以 , 于是 A可逆 . 由 得 8. 设 =_. 解 . = , , = = 9. 设 解 . |A| = 3 12 + 8 + 8 + 6 6 = 1 10. 设矩阵 , 则 A 的逆矩阵 = _. 解 . , 使用分块求逆公式 = 所以 1. 设 A、 B 为同阶可逆矩阵 , 则 (A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵 P, 使 (C) 存在可逆矩阵 C, 使 (D) 存在可逆矩阵 P 和 Q, 使 解 . 因为 A 可逆 , 存在可逆 . 因为 B 可逆 , 存在可逆 . 所以 = . 于是 令 , . (D)是答案 . 2. 设 A、 B 都是 n 阶可逆矩阵 , 则 等于
