第5炼函数的对称性与周期性.DOC

1、第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第 5 炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1 ） 关于 轴对称（当 时，恰好就是偶函数）faxffxa0（2 ） 关于 轴对称b2b在已知对称轴的情况下，构造形如 的等式只需注意两点，一是等fxf式两侧 前面的符号相同，且括号内 前面的符号相反；二是 的取值保证f ,ab为所给对称轴即可。例如： 关于 轴对称 ，或得2abxfx

2、12fxf到 均可，只是在求函数值方面，一侧是 更为方便31ffx（3 ） 是偶函数，则 ，进而可得到： 关于 轴xafafxfxa对称。 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在 中， 仅是括号中fa的一部分，偶函数只是指其中的 取相反数时，函数值相等，即 ，xxfxa要与以下的命题区分：若 是偶函数，则 ： 是偶函数中的 占据整个括号，fxfafafx所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 fxa 本结论也可通过图像变换来理解， 是偶函数，则 关于 轴对称，fx 0而 可视为 平移了 个单位（方向由 的符号决定） ，所以 关于fxfxaafx对称。a第二章 第 5 炼 函数

3、的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载2、中心对称的等价描述：（1 ） 关于 中心对称（当 时，恰好就是奇函faxfxf,0a0a数）（2 ） 关于 中心对称fxfbxf,2b在已知对称中心的情况下，构造形如 的等式同样需注意两点，faxfx一是等式两侧 和 前面的符号均相反；二是 的取值保证 为所给对称中心fx,b2ab即可。例如： 关于 中心对称 ，或得到1,0fxfx均可，同样在求函数值方面，一侧是 更为方便35fxfx（3 ） 是奇函数，则 ，进而可得到： 关于afafxafx中心对称。,0 要注意奇函数是指自变量取

4、相反数，函数值相反，所以在 中， 仅是括号中fxa的一部分，奇函数只是指其中的 取相反数时，函数值相反，即 ，x fxa要与以下的命题区分：若 是奇函数，则 ： 是奇函数中的 占据整个括号，fxfafafx所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 fxa 本结论也可通过图像变换来理解， 是奇函数，则 关于 中心对fx0,称，而 可视为 平移了 个单位（方向由 的符号决定） ，所以 关于fxfxaafx对称。,0a4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部” ，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1 ）可利用对称性求得某些点的函数

5、值（2 ）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载（3 ）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4 ）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设 的定义域为 ，若对 ，存在一个非零常数 ，有fxDxT，则称函数 是一个周期函数，称 为 的一个周期fxTf fx2、周期性的理解：可理解为间隔为 的自变量函数值相等T3、若 是一个周期函数，则 ，那么 ，f fx

6、f2fTffx即 也是 的一个周期，进而可得： 也是 的一个周期TxkZx4、最小正周期：正由第 3 条所说， 也是 的一个周期，所以在某些周期函Tf数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 fxC5、函数周期性的判定：（1 ） ：可得 为周期函数，其周期fxafbf Tba（2 ） 的周期x2Ta分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： fxaf所以有： ，即周期2fxafxf2Ta注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3 ） 的周期1fxafx

7、f2Ta分析： 12f fxfaf（4 ） （ 为常数） 的周期fxfkf2Ta第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载分析： ，两式相减可得：,2fxfakfxafk2（5 ） （ 为常数） 的周期fxk fxTa（6 ）双对称出周期：若一个函数 存在两个对称关系，则 是一个周期函数，具f fx体情况如下：（假设 ）ba 若 的图像关于 轴对称，则 是周期函数，周期fx,xfx2Tba分析： 关于 轴对称 2fa关于 轴对称fxbxfbx的周期为2afxfTa 若 的图像关于 中心对称，则 是周期函数

8、，周期fx,0afx2Tba 若 的图像关于 轴对称，且关于 中心对称，则 是周期函数，周期x,0bfx4Tb7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹” ，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1 ）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2 ）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3 ）单调区间：由于间隔 的函数图象相同，所以若 在kTZfx上单调增（减） ，则 在 上单调增（减）,abfx,akTbkZ（4 ）对称性：如果一个周期为 的函数 存在一条对称轴 （或对称中心） ，则xa存在无数条对称轴，其通式为

9、fx 2xk证明： 关于 轴对称 fxaffax函数 的周期为 TfxkT第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载关于 轴对称2fxkTfaxfx2kTa注：其中（3） （4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例 1：设 为定义在 上的奇函数， ，当 时， ，()fxR(2)(fxfx01()fx则 _7.5思路：由 可得： 的周期 ， 考虑将 用 中的(2)(fxfxfx4T(7.5)fx函数值进行表示： ，此时周期性已经无法再进行调整，考虑7.53.0.5利用奇偶性进行微调：

10、，所以102ff1(.)2f答案： 1(.)2f例 2：定义域为 的函数 满足 ，当 时，Rfxffx0,，则 （ ）321xf5fA. B. C. D. 4181214思路：由 ，可类比函数的周期性，所以考虑将22fxfxffx向 进行转化： 50, 3251311424fff答案：D小炼有话说： 虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔 2fx个单位的自变量，函数值呈 2 倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。例 3：定义在 上的函数 对任意 ，都有 ，则RfxR112,24fxfx等于（ ）2016fA. B. C. D. 4121335

11、第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载思路：由 及所求 可联想到周期性，所以考虑12fxfx201f，所以 是周期为 4 的周期函数，4112ffxfx fxffx故 ，而由已知可得 ，所以206ff2345ff320165f答案：D例 4（2009 山东）：定义在 上的函数 满足 ，Rfx2log,12,0xfffx则 的值为（ ）209fA. B. C. D. 10思路：所给 的特点为 才有解析式能够求值，而 只能通过fx0x减少自变量的取值，由所求 可联想到判断 是2ff29f fx否具有周期性

12、， 时， ，则有0x1xffx，两式相加可得： ，则13fxff 3fx，即 在 时周期是 6，故6xfx0，而20952fff1011fff答案：C小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而 数较大，所以考虑判断函数周期性。209x（2 ） 如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中 ，从而096345 2095ff第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城

13、同意不得随意转载（3）本题推导过程中 也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值3fxf互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内例 5：函数 是周期为 的偶函数，当 时， ，则不等fx40,2x2log1fx式 在 上的解集为_0f1,3思路：从已知出发可知 时， 为增函数，0,2xfx且 ，所以 时，2logf,1， 时， ，由偶函数可得：0x1,fx时， ， 时， 。从而可作出草图。由所解不,0f2,0fx等式 可将 分为 两部分，当 时， ，所以xf,31030fx，当 时， ，所以 ，综上解集为： 1,0fx1,

14、fx1,3答案： ,例 6：已知 是定义在 上的函数，满足 ，fxR0,fxffxf当 时， ，则函数 的最小值为（ ）0,12xA. B. C. D. 4141212思路：由 可得 是周期为 2 的周期函数，所以只需要求出一个周fxffx期内的最值即可。由 可得 为奇函数，所以考虑区间 ，在0f 1,时， ，所以 ，而由于 为奇0,1x214fxmax124fffx函数，所以在 时， ，所以 即为,0min12fxff12f第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载在 的最小值，从而也是 在 上的最小值

15、fx1,fxR答案：B例 7：已知定义域为 的函数 满足 ，且函数 在区间Rf4ffxfx上单调递增，如果 ，且 ，则 的值（ ）2,12x1212A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而 可得 ，因为 ，所以 ，进而将 装入124x21x12x142x21,4x了 中，所以由 可得 ，下一步需要转化 ，,ff f由 可得 关于 中心对称，所以有 。代fxffx,0fx入 可得 ，从而111421120ffx思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从 分析出 关于4fx中心对称，令 代

16、入到 可2,02xfxf得 。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而f可作出草图。而 ，即 的中12124x12,x点位于 的左侧，所以 比 距离 更远，结合图12x象便可分析出 恒小于 01fxf答案：D小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出 的符号；第二个是12fxf，进而

17、可知 ；第三个是0f2,0;,0xfx，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而1124x第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载表现出中点的位置，从而能够判断出 距离中心对称点的远近。124x12,x例 8：函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（ ）fxRffA. 是偶函数 B. 是奇函数xC. D. 是奇函数2fxf3f思路：从已知条件入手可先看 的性质，由 为奇函数分别可得到：fx1,x，所以 关于 中心对称，11,fxfxff,01,双对称出周期可求得 ，所以 不正确，且由已知

18、条件无法推出一定24TC符合 。对于 选项，因为 ，所以 ，进而可,ABD5fxffx推出 关于 中心对称，所以 为 图像向左平移 个单位，即关于fx3,033对称，所以 为奇函数， 正确0,fxD答案：D例 9：已知定义域为 的函数 在 上有 和 两个零点，且 与Ryfx0,7162yfx都是偶函数，则 在 上的零点个数至少有（ ）个7yfx23A. B. C. D. 40804840思路：已知区间仅是 ，而所求区间为 ，跨度如此之大，需要函数性质。从,0,1条件入手 为偶函数可得 关于 轴对称，从而判断出27fxffx2,7x是周期函数，且 ，故可以考虑将 以 10 为周期分组，先f 2T

19、013判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可解： 为偶函数2,7fxf关于 轴对称, 7fxfxfx2,7x为周期函数，且 fx210T将 划分为 0,2130,2,01,3 第二章 第 5 炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质本书由作者独家授权“学易书城” ，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载关于 轴对称 fx2,7x4,14fxffxfx160f81460ff30f在 中只含有四个零点,而 共 组02,20所以 1480N在 中，含有零点 共两个,310,2130ffff所以一共有 806 个零点答案：C小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑

20、先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭” ，分段的要求时“不重不漏” ，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析。（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）例 10：设函数 是定义在 上以 1 为周期的函数，若 在区间yfxR2gxfx上的值域为 ，则函数 在 上的值域为（ ）2,32,6gx2,A. B. C. D. 0,34,324,8思路：设 ，则 ，因为 为周期函数，故以 为突破口，0,3x6xfxfx，考虑在00022gnfnfngn中 ，所以 ，在12,141414286,34gxxx中 ，所以 ，所以9 00099,1在 的值域为 gx,2,3答案：B