1、中考数学 压轴题训练1.如图：抛物线经过 A（-3，0） 、B（0，4） 、C（4，0）三点.（1） 求抛物线的解析式.（2）已知 AD = AB（D 在线段 AC 上） ，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线 2yaxbc的对称轴为bx）解：设抛物线的解析式为 2(0)yxca，依题意得
2、：c=4 且 93416ab 解得13b所以 所求的抛物线的解析式为 2143yx（2）连接 DQ，在 RtAOB 中， 235ABO所以 AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 5 = 2因为 BD 垂直平分 PQ，所以 PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因为 AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以 DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CABDQCAB即 210,57DQ所以 AP=AD DP = AD DQ=5 = 257 ， 2517t 所以 t 的值是（3）答对称轴上存在一点 M，使 MQ+MC
3、的值最小理由：因为抛物线的对称轴为 12bxa所以 A（- 3，0） ，C（4，0）两点关于直线 12x对称连接 AQ 交直线 12x于点 M，则 MQ+MC 的值最小过点 Q 作 QEx 轴，于E，所以QED=BOA=90 DQAB， BAO=QDE， DQE ABOQDEBOA即 07453QDE所以 QE= 87，DE= 6，所以 OE = OD + DE=2+ 67= 20，所以 Q（ 2， 8）设直线 AQ 的解析式为 (0)ykxm则28730km由此得 8412k所以直线 AQ 的解析式为 8241yx 联立1284xy由此得1284xy所以M 128(,)4则：在对称轴上存在点
4、 M(,)24，使 MQ+MC 的值最小。2.如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数 )0(2acbxy的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OBOC ，tanACO 31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位
5、置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.图 9yxOEDCBAGA BC DO xy图 10（1）由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 1 分将 A、B、C 三点的坐标代入得 309cba2 分解得： 321cba3 分所以这个二次函数的表达式为： 32xy 3 分（2）存在，F 点的坐标为（2，3） 4 分理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为： 3xyE 点的坐标为（3，0） 4 分由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3） 5 分（3）过点 P 作 y 轴
6、的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为 1xy8 分设 P（ x， ） ，则 Q（ x， x1） ，PQ 2x3)2(SSGPAQG9 分当 21x时，APG 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,， 87的 最 大 值 为APGS 10 分3.如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） 。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P的坐标;若不存在，请说明理由;若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D、M 为顶点的四边
7、形是直角梯形，试求出点 M 的坐标。 第 3 题xyAMPDO BC抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，设抛物线解析式为 )0(2abx1 分根据题意，得 ,39a，解得 .2,1抛物线的解析式为 2xy2 分存在。3 分由 32xy得，D 点坐标为（1，4） ，对称轴为 x1。4 分若以 CD 为底边，则 PDPC，设 P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得 2222 )()()(y，即 y4x。5 分又 P 点(x,y)在抛物线上， 34，即 012x6 分解得 253x， 1，应舍去。 5x。7 分 4y，即点 P 坐标为 2,3。8 分若以 CD 为一腰，因为点 P 在对称轴右侧
8、的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P 与点 C 关于直线 x1 对称，此时点 P 坐标为（2，3） 。符合条件的点 P 坐标为 5,或（2，3） 。9 分由 B（3，0） ，C（0，3） ，D（1，4） ，根据勾股定理,得 CB 2,CD ,BD 52,10 分 ,BCD90,11 分设对称轴交 x 轴于点 E，过 C 作 CMDE，交抛物线于点 M，垂足为 F，在 RtDCF 中，CFDF1,CDF45,由抛物线对称性可知，CDM24590,点坐标 M 为（2，3） ，DMBC,四边形 BCDM 为直角梯形, 12 分由BCD90及题意可知，以 BC 为一底时，顶点 M 在抛物线上的直角梯形
9、只有上述一种情况;以 CD 为一底或以 BD 为一底，且顶点 M 在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点 M 的坐标为（2，3） 。13 分3.已知：抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、 OC 的长（ OBOC）是方程 x210 x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、 B、 C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求ABC 的面积；（4）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B不重合） ，过点 E 作 EF AC
10、交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE的长为 m， CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程 x210 x160 得 x12， x28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OB OC点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）A、B、C 三点的坐标分
11、别是 A（6，0） 、B（2，0） 、C（0，8）（2）点 C（0，8）在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c8，将 A（6，0） 、 B（2，0）代入表达式 y ax2 bx8，得Error! 解得ExyAMPDO BC FError!所求抛物线的表达式为 y x2 x8 23 83（3） AB8， OC8 S ABC 88=3212（4）依题意， AE m，则 BE8 m， OA6， OC8， AC10 EF AC BEF BAC 即 EFEFAC BEAB EF10 8 m8 40 5m4过点 F 作 FG AB，垂足为 G，则 sin FEGsin CAB45 FG 8 mFGE
12、F 45 45 40 5m4 S S BCE S BFE （8 m）8 （8 m） （8 m）12 12 （8 m） （88 m） （8 m） m m24 m 12 12 12自变量 m 的取值范围是 0 m8 （5）存在 理由： S m24 m （ m4） 28 且 0，12 12 12当 m4 时， S 有最大值， S 最大值 8 m4，点 E 的坐标为（2，0）BCE 为等腰三角形4.已知抛物线 baxy2与 轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x轴的另一个交点 B 的坐标；当点 C 在以 AB 为直径的P 上时，求抛物线的解析式
13、；坐标平面内是否存在点 M，使得以点 M 和中抛物线上的三点 A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由解：对称轴是直线： 1x，点 B 的坐标是(3,0) 2 分说明：每写对 1 个给 1 分， “直线”两字没写不扣分如图，连接 PC，点 A、B 的坐标分别是 A(-1,0)、B (3,0)，AB4 ，ABPC2412在 RtPOC 中，OPPAOA211， O32b 3 3 分当 01yx时， a02 ，a3 4 分 xy32 5 分存在6 分理由：如图，连接 AC、BC设点 M 的坐标为),(yxM当以 AC 或 BC 为对角线时，点 M 在
14、x 轴上方，此时 CMAB，且 CMAB由知，AB4，|x|4， 3OCyx4点 M 的坐标为 ),4(),(或 9 分说明：少求一个点的坐标扣 1 分当以 AB 为对角线时，点 M 在 x 轴下方过 M 作 MNAB 于 N，则MNBAOC90四边形 AMBC 是平行四边形，ACMB，且 ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCO 3OB3，0N312点 M 的坐标为 (,3) 12 分说明：求点 M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点 M 的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点 ，使得以点 A、B、C、M 为顶点的四边形是平行四边形其坐标
15、为 123(4,3)(,)(2,)5.如图，在直角坐标系 xOy中，点 P为函数 214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为 (01)， ，直线 l过 (01)B， 且与 轴平行，过 P作y轴的平行线分别交 x轴， 于 CQ， ，连结 A交 x轴于 H，直线 PH交 轴于 R（1）求证： 点为线段 A的中点；（2）求证：四边形 P为平行四边形；平行四边形 QR为菱形；（3）除 点外，直线 H与抛物线 214yx有无其它公共点？并说明理由（08 江苏镇江 28 题解析） （1）法一：由题可知 1AOCQ90AOQC， ，H （1 分），即 为 A的中点 （2 分）法二： (01)， ，
16、 ()B， ， OB （1 分）又 Qx 轴， HQ （2 分）（2）由（1）可知 A， RQHP，ARP， P，HQ （3 分），又 ARP ， 四边形 APR为平行四边形 （4 分）设 214m， ， Qy 轴，则 (1)m， ，则 214PQm过 作 Gy轴，垂足为 ，在 tG 中，xlQCPAOB HRy22211144APGmmPQ平行四边形 QR为菱形 （6 分）（3）设直线 为 ykxb，由 OHC，得 2， ， 214m， 代入得：201.4mkb，21.4mb， 直线 PR为 2yx （7 分）设直线 PR与抛物线的公共点为 2x， ，代入直线 关系式得：22104mx， 2
17、1()04m，解得 x得公共点为 214m， 所以直线 PH与抛物线 2yx只有一个公共点 P （8 分）6.如图 13，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、 E.（1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE ； D 是 BE 的中点；（3）若 P(x， y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（1） 点 B(-2,m)在直
18、线 y=-2x-1 上， m=-2(-2)-1=3. （2 分） B(-2,3) 抛物线经过原点 O 和点 A，对称轴为 x=2， 点 A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为 y=a(x-0)(x-4). （3 分）将点 B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4)， 41. 所求的抛物线对应的函数关系式为 )(xy，即 xy2. （6 分）（2）直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5).ABCODExy x=2图 13过点 B 作 BG x 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G，则 BG直线
19、x=2， BG=4.在 Rt BGC 中， BC= 52BGC. CE=5， CB=CE=5. （9 分）过点 E 作 EH x 轴，交 y 轴于 H，则点 H 的坐标为 H(0,-5).又点 F、 D 的坐标为 F(0,3)、 D(0,-1)， FD=DH=4， BF=EH=2， BFD= EHD=90. DFB DHE （SAS） ， BD=DE.即 D 是 BE 的中点. （11 分）（3） 存在. （12 分）由于 PB=PE， 点 P 在直线 CD 上， 符合条件的点 P 是直线 CD 与该抛物线的交点.设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b.将 D(0,-1) C(2,0)代入，得 021k. 解得 1,2bk. 直线 CD 对应的函数关系式为 y= x-1. 动点 P 的坐标为( x， 241)， x-1= 241. （13 分）解得 531x， 2x. 251y， y. 符合条件的点 P 的坐标为 ( 53， 21)或(53， ).（14 分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)ABCODExy x=2GFH（第 25 题图）AxyB C O
