1、第四章 中学数学的逻辑基础 “初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的来说是这样。 ”恩格斯 形式逻辑是研究思维形式 (概念、判断、推理、证明 )及其规律 (同一律、矛盾律、排中律、充足理由律 )的一门科学，数学有其自身特有的逻辑系统，具有严密的逻辑性。对于中学数学教师来说，首先应该掌握中学数学逻辑的有关基础知识。第四章 中学数学的逻辑基础 4.1 中学数学概念 4.2 中学数学命题 4.3 形式逻辑的基本规律 4.4 中学数学推理 4.5 中学数学证明 4.6 中学数学概念与命题的教学 4.7 中学数学思维4.1 中学数学概念 一、概念的意义 1、概念 ：是反映客观事物本
2、质属性的思维形式。 2、数学概念 ：现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。 3、从数学概念 产生的客观背景 来说，一般有两种情形： 直接从客观事物的空间形式或数量关系反映来的。如几何中的点的概念，算术中的自然数概念等。 在原有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的。如近代数学中的群、环、域概念等。 4、数学概念的特点： 数学概念具有抽象性与具体性。 数学概念具有相对性与发展性。 数学概念的定义、名词、符号 “三位一体 ”，处于一个完整的科学体系之中。4.1 中学数学概念 二、概念的结构 1、概念分为概念的内涵和概念的外延两部分 内涵 ：是指表达这个概念所包含的所有对
3、象的共同属性的总和 (或集合 )。反映了概念的质 外延： 概念所反映事物的范围 (或集合 )。即适合这个概念的一切对象的全体。反映了概念的量 2、概念的内涵和外延的关系 内涵扩大，则外延缩小。 叫做概念的限定 。通常为了加深对某个概念认识或用较一般的概念来说明特殊的概念。 内涵缩小，则外延扩大。 叫做概念的概括。 从特殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念的共同性质。 只有在两个概念有 从属关系 时才成立。4.1 中学数学概念 三、概念间的关系 概念间的关系是指概念的外延间的关系 1、同一关系 ：两概念外延完全重合。 2、交叉关系 ：有且只有一部分外延重合。 3、从属关系 ：一个概念的外
4、延完全包含在另一个概念的外延之中。 在从属关系中外延大的概念叫做上位概念 (或种概念 )，外延小的概念叫做下位概念 (或类概念 )。矩形菱形两组对边平行有一个角是直角四边形平行四边形 类差：一个概念的本质属性中用以区别于其它的类概念的属性，叫做类差。 4、矛盾关系 ：两个概念外延互相排斥，但外延之和 等于 其最邻近的种概念的外延。4.1 中学数学概念 四、概念的定义 1、 给概念下定义 :用已知的概念来认识未知概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念的定义都是由下定义的概念 (已知概念 )与被下定义的概念 (未知概念 )这两部分组成。 定义是建立概念的逻辑方法。 下定义的模式
5、有两种：一是通过揭示概念的内涵来给出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。 2、定义的几种方式 “种 +类差 ”定义法： 根据概念的从属关系，规定被定义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定义概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的一种定义方法。如平行四边形。4.1 中学数学概念 四、概念的定义 2、定义的几种方式 发生定义： 把只属于被定义事物，而不属于其它任何事物的发生或形成的特有属性作类差的定义。如：代数式的值的定义。平面 (空间 )上与定点等距离的点的轨迹叫做圆 (球 )。圆柱、圆锥、微分、积分、坐标系等。 逆式定义法 ：是通过列举概念的全部对象，即给出概念外延的定义法。
6、也叫做归纳定义法或外延定义法。在外延定义中， DS是种，而 DP是 DS诸邻近类概念的总和。如：整数与分数统称为有理数，实数的定义；正弦、余弦、正切、余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线、抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等。4.1 中学数学概念 四、概念的定义 2、定义的几种方式 约定式定义： 依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。这种定义方法，一般是利用意义已经确定的表达式，去规定新引入的表达式的意义。如：为了使同底数幂的除法法则，在被除式的指数等于除式指数时也能适用，把 “零指数 ”的概念规定为： a0=1（a0）； 0！ =1。 关系定义： 是以事物间的关
7、系作为类差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其它事物所不具有的特有属性。如：偶数的定义。偶数： 能被 2整除 （A）的 整数 （ B）叫做 偶数 （ C）。其中 A是 B和 C的关系。4.1 中学数学概念 四、概念的定义 2、定义的几种方式 其它定义方法： 递归定义 (递推式定义法。如 n阶行列式、 n阶导数、 n重积分的定义 )、 描述性定义法 (如等式、极限的定义 ) 公理定义法。4.1 中学数学概念 四、概念的定义 3、定义的规则 定义必须是相称的。 即定义项和被定义项的外延必须是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数 (过宽 )和不尽方根 (过窄 )来定义无理数。 定义不能循环。 即在同一个科学系统中，不能以 A概念来定义 B概念，而同时又以 B概念来定义 A概念。如：“加法是求几个数和的方法 ”。 900的角叫做直角。 定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概念 。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念，不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直的线 (不清楚 )，叫做直线；两组对边互相平行的平面平行四边形 (不简明 )；不是有理数的数，叫做无理数 (否定形式 )。对初中生来说，在复数 a+bi中，虚部 b=0的数叫做实数 (应用未知概念 )。
