1、习题一 1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为 0.9 及 0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？ 2. 设随机变量 X 的概率密度为 f（ x）00012xxx A 求：（ 1）常数 A; (2)分布函数 F（ x）；（ 3）随机变量 Y lnX 的分布函数及概率分布。 3. 设随机变量（ X, Y）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0 x ,y 2 求： (1) 常数 A ；（ 2）数学期望 EX， EY； （ 3） 方差 DX ， DY； (4) 协方差及相关系数。 4. 设随机变量 X 服从指数分
2、布 00 0)( xxkexf kx k 求特征函数 )(x ,并求数学 期望和方差。 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布，试用特征函数求 Z = X Y 随机变量的概率分布。 6 一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定 矿井中漆黑一团， 这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区 的时间 X 的 矩 母函数。 7 设 （ X， Y） 的分布密度为 （ 1） 其他，,0 10
3、,10xy4),( yxyx （ 2） 其他，,0 10,10xy8),( yxyx 问 X， Y 是否相互独立？ 8. 设（ X， Y）的联合分布密度为 X Y 1 2 1 0 1 31 91 0 91 问： （ 1） ， 取何值时 X， Y 不相关； （ 2） ， 取何值时相互独立。 习题二 设有两个随机变量 X、 相互独立，它们的概率度分别为 )(xfX 和 )(yfY ，定义如下随机过程： YtXtZ )( ， Rt 试求 )(tZ 的均值函数 )(tm 和相关函数 ),( 21 ttR 。 从 t=0 开始每隔 21 秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻 t，规定随机变量 X
4、(t)= 掷出反面当时刻 掷出正面当时刻 tt tt,2 ,c o s 试求：（ 1） F（ 21 ； x1 ）， F（ xt 11； ）（ 2） F（ 21 ， 1； x1 ， x2 ）。 袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t 对应随机变量 时取得白球如果时取得红球如果（tetttXt ,3) 试求这个随机过程的一维分布函数族。 设在时间区间 t,0 内来到某商店的顾客数 X(t)是参数的泊松过程。 nY 为第 n 个顾客来到的时刻，求 nY 的分布函数。 5. 设通过十字路口的车流可以看做 泊松 过程，如果 1 分钟内没有车子通过的概率为 0.
5、2，求2 分钟内有多于一辆车通过的概率。 6.令 )(tN 表示 t,0 时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设 tN 是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时 30 人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 分钟的概率。 7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔 1 秒以概率 p 向右移动一格（ 1 单位长），或以概率 q=1 p 向左移动一格，以 X（ n）表示质点在第 n 秒至 n+1 秒之间的位置（坐标），则随机过程 ， 210n)(nX 由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求 X（ n）的概率分布及增量 X（ t+ ） X（ t）的概率分
6、布。 8. 求随机过程 tXtX sin)( 的一维概率密度，其中 为常数， X )1,0(N 。 9.设复随机过程 Z（ t） =nk kA1eti k ， 0 1t ，其中 Ak （ 1 nk ）是相互独立且服从 N (0， 2k )的随机变量， k (1 )nk 是常数，试求复随机过程 Z（ t）的均值函数与自相关函数。 10.设 0t)( ，tX 为一个独立增量过程，且 X（ 0） =0，证明 X(t)是 个 马氏过程。 11.设随机过程 VtXtX 0)( ， Tt ，其中 0X ， V 是相互独立的标准正态分布变量，试证 )(tX 是一个正态过程。 12.设 2)( AtVtStX
7、 ， 0t ，其中 S、 V、 A 为相互独立的正态分布变量，试证 )(tX 是一个正态过程。 习题三 1. 一质点在区间 0,4中的 0,1,2,3,4 上作随机游动 ,移动的规则是 :在 0 点以概率 1 向右移动一个单位 ,在 1,2,3 点上各以概率 1/3 向左 ,向右移动一个单位或留在原处 ,试求转移概率矩阵 . 2. 一个圆周上共有 N 格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率 p 顺时针游动一格，以概率 q=1-p 逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。 3. 一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率 p 从 i 移动到 i-
8、1，以概率 q 从 i 移到 i+1，以概率 r 停留在 i，且 r+p+q=1，试求转移概率矩阵。 4. 波利亚 （ polya）罐子模型 波利亚 （ polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有 r 格红球， l 个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进 a 个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设 Xn 表示第 n 次试验结束时罐中实有红球 的 数目： Xn =i， i r， I=0， 1， 2， 不论在时刻 n 时如何转移到 i 的，系统在时刻 n+1 时，必转移到状态 i+a 或 i，因此， Xn ，n 0是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此
9、链不是时间齐次的马氏链。 5. 设袋中有 a 个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有 k 个白球，则称系统处于状态 k，试用马尔可夫链描述这个模型 (称为爱伦菲斯特模型 )，并求转移概率矩阵。 6 设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为 1， 2， 3。 在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为 2.07.01.04.03.03.01.05.04.01P初始分布行矩阵为 8.01.01.0)0( P ，试求 )2(P 并指出经过两个季节水库蓄满的概率 。 7 一个开关有两个状态：开、关，分别记为 1， 2
10、。设 2n,2 1n,1 开关处于状态在时刻 开关处于状态在时刻nX又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是 1/2；而现在关着时，经过单位时间后，他仍然关着的概率是 1/3，开着的概率为 2/3。 （ 1） 试写出马氏链 0, nXn 的一步转移矩阵； （ 2） 设开始时开关处于状态 1，求经过二步转移开关仍处于状态 1 的概率。 8 设马氏链的状态空间为 3,2,1I ,其进一步转移矩阵为 32310313131021211P试研究各状态间的关系。 9 设马氏链 0, nXn 的状态空间 2,1,0I ,其一步转移矩阵为 32310414121021211P试研究各状态间的关系
11、，并画出状态传递图。 10 设马氏链 0, nXn 的状态空间 3,2,1,0I ,其一步转移矩阵为 1000818141210021210021211P试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。 11 设马氏链 0, nXn 的状态空间 2,1,0I ,其一步转移矩阵为 0212121021212101P 试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。 12 天气预报问题 若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为 ，今日无雨、明日也有雨的概率为 。试求：（ 1）一步转移矩阵；（ 2）今日有雨且第 4 日仍有雨的概率（设 ).4.0,7.0 。 13 考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字 0 和 1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为 0.75.且记第 n 阶段接受的数 nX ，试求进入第 1 阶段的数字是 0，而且第 5 阶段被接受到的也是 0 的概率。
