1、例题21 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵证明 选体心立方点阵的初基矢量如图 18 所示，12axyz3axyz其中 a 是立方晶胞边长， 是平行于立方体边的正交的单位矢量。,xyz初基晶胞体积 312cVaa根据式(2 1)计算倒易点阵矢量1233112,cccbbbV2123cxyzVaabxy2231cxyzVaabyz2312cxyzVaabx于是有： 1232,bxybyzbzxaaa显然 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是23,面心立方点阵，立方晶胞边长是 4同理，对面心立方点阵
2、写出初基矢量 12axyz3ax如图 1.10 所示。初基晶胞体积 。3124cVaa根据式(2 1)计算倒易点阵矢量1232 2, ,bxyzbxyzbxyza显然， 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵23,为体心立方点阵，其立方晶胞边长是 4a22 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是 ，这里 是晶体点阵32/cVc初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明(a) 倒易点阵初基晶胞体积为 ，现计算 由式(2 1)123b123b知， 1233112,cccbabaaVV此处 123c而2 2233123121312c cbaaaaVV这里引用了公式：
3、 。ABCDABCABD由于 ，故有310a2233121cbaV而 312ca故有 2231cbV23312311232cc cabaVV或写成 312312ba倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的 倍。32(b) 现要证明晶体点阵初基矢量 满足关系123,a233121212 3, ,bbbaa有前面知： 2231cbaV令 2231 123cbaVb 又知 ，代入上式得：3123c311132ccVa同理 12223ba1332c可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身23 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl) ，(a) 证明倒易点阵矢量 垂直于这组平面(hkl
4、) ；(b) 证明两个相邻的点123Ghklbl阵平面间的距离 d(hkl)为：klhl(c) 证明对初基矢量 互相正交的晶体点阵，有123,a213dhklklaa(d) 证明对简单立方点阵有22dhklkl证明(a) 参看图 23，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面 ABC 在三个晶轴上的截距分别是 现要证明 G(hkl)垂直于 ABC，只需证明123,ahklG(hkl)垂直于平面 ABC 上的两个矢量 CA 和 CB 即可，31aCAhl32aBkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(22)，立即可得3311123 0aGklblhbll同理， 0hlCB故 G(hkl
5、)垂直于点阵平面(hkl) (b) 点阵平面 (hkl)的面间距 d(hkl)为1231GhklbklaadhklOAnhGhkl(c) 如果晶体点阵的初基矢量 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也123,必然彼此正交设 123,bxybz由倒易点阵基矢的定义 123231312,cccaaaVVV及 得1231233,baba 2222221231313hklhklGhklklaaa于是面间距为 222132dhklGlhklaa(d) 对立方晶系中的简单立方点阵， ，用(c)的结果可得123a22dhklkl24 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长 AB4，AC=3，夹角BAC 的平行四边形
6、 ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量3解 解法之一参看图 24，晶体点阵初基矢量为1ax23y用正交关系式(22) 求出倒易点阵初基矢量 。设12,b1122,xyxybb由 12,0,aab得到下面四个方程式(1)142xyb(2)1302xyxyb(3)24xy(4)23xyb由式(1)得： 114,xx由式(2)得： ，即11302xyb1302yb解得： 1y由式(3)得： 240,xxb代入式(4)得： 2234,3yyb于是得出倒易点阵基矢 124,23bxyb解法之二选取 为 方向的单位矢量，即令3az于是初基晶胞体积 为cV12334632cVaxyz倒易点阵基矢为 1
7、232263cbaxyzxyV2314c312cbazV对二维点阵，仅取 两个方向，于是得,xy124,23bxb25 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为12 33, ,2aaaxyxycz(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为 2c和 ，并且相对于正点阵转动了 30角；43(b)当比率 c a 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的 ca 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积解(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图 25 所示1233,aaxyxycz初基晶胞体积为231
8、23cVaac倒易点阵初基矢量为 1232230ccxyzabaxyVac2312230ccxyzbacxyVaa312320ccxyzabaVc或写为 12 34342, ,xxbybybzcaa同正点阵初基矢量 1233, ,2yyxxcz比较看出， 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为 和123,b 2c，并相对于正点阵绕 转动了 30角(见图 26)。43ac(b)设倒易点阵的点阵常数比为 ，出(a)可知ca3242acac若 ，则有 3,0.912ca故当正点阵的 值为 时，倒易点阵的 和正点阵的 有相同值。cacaca若正点阵 c a ，则倒易点阵的 为83ca0.52故当正点阵的 ca 为理想值时，倒易点阵的这个比值为 0.53(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的 WS 晶胞显然为一六角正棱柱( 如图 27)，其体积为33216cVa即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为
