1、1绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件
2、 A， B 互斥，那么 如果事件 A，B 相互独立，那么P(AB )=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B)棱柱的体积公式 V=Sh. 球的体积公式 . 34VR其中 S 表示棱柱的底面面积， 其中 表示球的半径h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ，则1,26,4|15ABCxR()ABC（A） （B ） （C） （D ）126|x（2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy0,3xyzy2（A） （B）1（C） （ D）3232（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 24，则输出 的值为NN（
3、A）0 （B）1（C）2（D）3（4）设 ，则“ ”是“ ”的R|121sin2（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充要条件（ D）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和21(0,)xyabF2F两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(0,4)P（A） （B ） （C ） （D）21xy218xy2148xy214xy（6）已知奇函数 在 R 上是增函数， .若 ， ，()f ()gf2(log5.)a0.8(2)bg，则 a，b，c 的大小关系为(3)cg（A） （B） （C） （D）babcca（7）设函数 ， ，其中 ，
4、 .若 ，()2sin()fxx0|5()28f，且 的最小正周期大于 ，则()08ff 2（A） ， （B） ， （C） ， （D）3123113243，1324（8）已知函数 设 ，若关于 x 的不等式 在 R 上恒23,1().xfaR()|2xfa成立，则 a 的取值范围是（A） （B） （C） （D）47,2164739,1623,392,16第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9）已知 ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 .aRi2a（10）已知
5、一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .（11）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为4cos()1062sin_.（12）若 ， ，则 的最小值为_.,abR04ab（13）在 中， ， ， .若 ，ABC 6 3AB2CBDC，且 ，则 的值为 _.()E4DE（14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 .
6、已知 ， ， .ABC , ,abc5,6ac3sin5B（）求 和 的值；bsin4（）求 的值.sin(2)4A16.（本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 .1,24（）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期X X望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.（17） （本小题满分 13 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC， .点 D，E，N 分别为棱90BACPA，PC ，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC
7、=4 ， AB=2.（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的721长.18.（本小题满分 13 分）已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数列，且公比大na()nSNnb于 0， , ， .231b3412a4（）求 和 的通项公式；n5（）求数列 的前 n 项和 .21nab()N（19） （本小题满分 14 分）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线2(0)xyabFA12A的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .2)pl（I）求
8、椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ） ，直线lPQxAPBA与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.BxD 62（20） （本小题满分 14 分）设 ，已知定义在 R 上的函数 在区间 内有一个aZ432()26fxxa(1,2)零点 ， 为 的导函数.0x()gfx（）求 的单调区间；（）设 ，函数 ，求证：01,)(,2mx0()()(hxgmxf；0()h（）求证：存在大于 0 的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 A,pq01,)(,2x满足 .041|pxq6天津理数答案1-4BDCA 5-8BCAA 9.2；
9、10. ；9211.2；12.4 ；13. ；3114.1080 15.（）解：在 中，因为 ，故由 ，可得 .由已知及余弦ABC ab3sin5B4cos5B定理，有 ，所以 .22cos13ba1由正弦定理 ,得 .siniABiniab所以， 的值为 ， 的值为 .b13si31（）解：由（）及 ，得 ，所以 ，ac2osA12sin2icos3A.故 .25cos1sin13A7in()icoi444616.（）解：随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3.X，1(0)()(2PX，1 11)()()342342342，()(1.2PX所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3P142
10、4141247随机变量 的数学期望 .X113()02442EX（）解：设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求YZ事件的概率为 (1)(0,1)(,0)()1()0)PZZPYPYPYZ.4248所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .148（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13 分.如图，以 A 为原点，分别以 ， ， 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角ABCP坐标系.依题意可得A（0，0，0） ，B（2，0，0）
11、 ，C （0，4，0） ，P（0，0，4） ，D（0，0，2） ，E（0，2，2） ，M（0，0，1） ，N（1，2，0）.（）证明： =（0，2，0） ， =（2，0， ）.设 ，为平面 BDE 的法向DEDB(,)xyzn量，则 ，即 .不妨设 ，可得 .又 =（1，2， ） ，可得0Bn20yxz1z(1,0)MN.MN因为 平面 BDE，所以 MN/平面 BDE.（）解：易知 为平面 CEM 的一个法向量.设 为平面 EMN 的法向量，1(,0)n 2(,)xyzn8则 ，因为 ， ，所以 .不妨设 ，20EMNn(0,21)(,21)MN20yzx1y可得 .2(4,1)因此有 ，于
12、是 .12124cos,|n1205sin,所以，二面角 CEMN 的正弦值为 .052（）解：依题意，设 AH=h（ ） ，则 H（0，0，h） ，进而可得 ，4 (1,2)NHh.由已知，得 ，整理得(2,)BE 2|7|cos, 53NBE，解得 ，或 .21080h85h12所以，线段 AH 的长为 或 .18.【解析】 （I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .nadnbq由已知 ，得 ，而 ，所以 .231b21()bq12260又因为 ，解得 .所以， .0qn由 ，可得 .341a18da由 ，可得 ，1=Sb56联立，解得 ， ，由此可得 .1332na所以，数列
13、的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .nanb2nb（II）解：设数列 的前 项和为 ，21nbnT由 ， ，有 ，26n421(3)4na故 ，23458()nT，4 1()nn 上述两式相减，得 23 134(3)4nnT 91112(4)(3)438.nn得 .3nnT所以，数列 的前 项和为 .21nab 12843n19.（）解：设 的坐标为 .依题意， ， ， ，解得 ，F(,0)ccap12aca， ，于是 .12cp224所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 .213yx24yx（）解：设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点AP(0)ml1，故 .将 与 联立，消去
14、，整理得(1,)Pm(,)Qxy213xx，解得 ，或 .由点 异于点 ，可得点23460y264BA.由 ，可得直线 的方程为22(,)B2(1,)mQ，令 ，解得 ，故22634()034mxy y23mx.所以 .又因为 的面积为 ，故(,0)D226|13ADAPD 6，整理得 ，解得 ，所以21663|2|0m|3.m所以，直线 的方程为 ，或 .AP360xy360xy20.（）解：由 ，可得42()2f a，3()89gxfx进而可得 .令 ，解得 ，或 .2()416()0gx1x4当 x 变化时， 的变化情况如下表：,()xg10x (,1)1(,)41(,)4()g+ -
15、+ 所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .()x(,1)(,)41(,)4（）证明：由 ，得 ，0)hgxmf 0()hmgxfm.000()(xf令函数 ，则 .由（）知，当1)Hgxx10()()Hgx时， ，故当 时， ， 单调递减；当,2x(0,1时， ， 单调递增.因此，当 时，0(1)x1()x0,)(,2xx，可得 .10)(xf1,(mh即令函数 ，则 .由（）知，2()()Hgxfx20)Hxgx在 上单调递增，故当 时， ， 单调递增；当)gx,0,(2(时， ， 单调递减.因此，当 时，0(2()0x2()x01,),xx，可得 .20)x0,()mh即所以， .()hm（III）证明：对于任意的正整数 ， ，且 ，pq01)(,2x令 ，函数 .pq0()()(hgmxxf由（II）知，当 时， 在区间 内有零点；01,h0,)x当 时， 在区间 内有零点.0(,2mx()x0(),所以 在 内至少有一个零点，不妨设为 ，则)h 1x.110()(pgxfqx
