1、第 1 页 共 22 页 第 2 页 共 22 页圆锥曲线易错题1已知双曲线 ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 ， 两)0,(12bayx MN点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）OONMA B C D323252251【答案】D【解析】试题分析：设双曲线右焦点为 ，交点 在 轴上方，则由双曲线对称性及已知可得，)0,(cFx为等腰直角三角形，设点 ，代入双曲线方程，可得 ，即 ，又MFO,mMabm2abMF2|，且 ，所以 ，即 ，由 ，得 ，两边同c| |Fabc2c222c2除以 ，得 ，解得 ，故选 D2ae151考点：双曲线离心率计算【思路点晴】本题主要考查的
2、是双曲线的离心率计算和几何图形的应用，属于难题本题利用及 轴，结合双曲线对称性可知 ， 均为等腰直角三角形，通过设ONMxMONF点坐标，代入方程可得 ，利用 ，得 ，两边同除以 ，得abF2|Fac22a，由此计算双曲线的离心率e122 “ ”是“方程 表示椭圆”的46k214xykA充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：方程 表示椭圆,则 ，解得 ，且 ；所以 C 正2164xyk604-k46k5确.考点：椭圆的定义、逻辑关系.3已知椭圆的一个焦点为 F(0，1)，离心率 ，则该椭圆的标准方程为12eA B C D214xy243x
3、y21xy21yx【答案】A【解析】试题分析：由题意得，椭圆的焦点在 轴上，标准方程为 ，且y )0(12baxy， ，即椭圆的标准方程为 .21,ace3,22cab 342考点：椭圆的标准方程.4已知椭圆 上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若12byx)0(，设 ，且 ，则该椭圆离心率 的取值范围为（ ） BFAA4,6eA、 B、 C、 D、13,2)1,223, 36,【答案】A【解析】试题分析：B 和 A 关于原点对称B 也在椭圆上设左焦点为 F根据椭圆定义： aF2|又 |AF|B|B是 的斜边中点，oRtcA|又 sin|c第 3 页 共 22 页 第 4 页
4、 共 22 页cos2|aBF代入 incos2a )4i(1s1即 )4sin(2e,6 ,125241)4sin(6所以 .13e考点：椭圆的性质5已知双曲线 (a0，b0)的一条渐近线与圆 相交于 A，B 两点，若2yxa 2(3)9xy|AB|=2，则该双曲线的离心率为( )A、8 B、2 C、3 D、 32【答案】C【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程为 ，因为圆心为(3，0)，半径为 3，由|AB|2，可知0bxay圆心到直线 AB 的距离为 ，于是 ，解得22328ba于是 23cab所以， ，选 Ce考点：圆的方程，双曲线的渐近线，直线与双曲线的位置关系，弦长，双曲线的离心
5、率.6已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,则该椭圆的离心率是( ）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为 ，所以椭圆中的 。所以 ，即。所以椭圆的离心率为 ，选 D7设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是（ QP,262yx102yxQP,）A. B. C. D.25476【答案】D【解析】试题分析：依题意 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半QP,径 .设 .圆心到椭圆的最大距离2(,)xy222(6)9146dxyy.所以 两点间的最大距离是 .故选 D.29503,考点：1.直线与圆的位置关系.2.数形结合的思想.8已知
6、中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1与双曲线 C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F 2，P 是 C1与 C2在第一象限的交点， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 e1e2的取值范围是( )(A)( ，+ ) (B)( ，+ ) (C)( ，+ ) (D)(0，+ )953【答案】C【解析】试题分析：解：椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，焦距为1a2ac第 5 页 共 22 页 第 6 页 共 22 页根据题意： ,2PFc12ac因为在等腰三角形 中, ,所以，21FP1242,4caca所以， ,13cea21所以，
7、12A故选 C.考点：1、椭圆定义与简单几何性质；2、双曲线的定义与简单几何性质.9已知点 在双曲线 上，直线 过坐标原点，且直线 、 的斜率之积为,PB12byaxABPAB，则双曲线的离心率为（ ）3A. B. C. D.23152210【答案】A【解析】试题分析：因为直线 过原点，且在双曲线上，所以 两点关于原点对称，则可设AB,AB，所以 ， ，由题意得112,AxyyPx21PAykx21Pykx，又由 ， ，相减得2121213PABykxx21ab2ab，即 ， ，所以 .故22110xyab213ybax2ba2243acabe正确答案为 A.考点：1.直线与双曲线；2.双曲线
8、的离心率.10若点 和点 分别为椭圆 的中心和右焦点，点 为椭圆上的任意一点，则OF21xyP的最小值为PA B C D1222【答案】B【解析】试题分析：设点 ，所以 ，由此可得yxP,yxPFyxO,1,yxPFO,1,， ，所以22x21122min考点：向量数量积以及二次函数最值11椭圆 的离心率为( )21036yA B. C D545341625【答案】B【解析】试题分析：由椭圆方程知 ， ，那么 ，210,a236,b2236,cabc可得椭圆离心率为 .45ce考点：椭圆的标准方程与几何意义.12设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 , 两点，则 （ F2:=3C
9、yxF30CABA）（A） （B） （C） （D）3061273【答案】C【解析】试题分析：由题意，得 又因为 ，故直线 AB 的方程为 ，3(,0)4F03ktan3y(x)4第 7 页 共 22 页 第 8 页 共 22 页与抛物线 联立，得 ，设 ，由抛物线定义得，2=3yx216890x12(x,y)(,)AB12ABp，选 C68考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义13已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 ，P 是 上一点，Q 是直线 PF 与 C 得一个焦点，若xy82ll，则 （ ）FQP4A. B. C. D. 27325【答案】B【解析】试题分析：如图所示，因为 ，
10、故 ，过点 作 ，垂足为 M，则FQP434PQl轴，所以 ，所以 ，由抛物线定义知， ，选 B/QMx3M3FQ xy 1234 123412341234OF【考点定位】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线14已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其F2yxABx2OAB中 为坐标原点） ，则 与 面积之和的最小值是（ ）OBOFA B C D23172810【答案】B【解析】试题分析：据题意得 ，设 ，则 ，1(,0)4F12(,)(,)AxyB221,xy或 ，因为 位于 轴两侧所以.所以 两面积之和为21212,yy212y1214Sx211
11、2148yy18.198y13【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.15已知直线 与椭圆 相交于 、 两点，若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，则线段 的长是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】 ,，则 .选 B16已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其F2yxAx2OAB中 为坐标原点） ，则 与 面积之和的最小值是（ ）OOFA B C D23172810【答案】B第 9 页 共 22 页 第 10 页 共 22 页【解析】试题分析：据题意得 ，设 ，则 ，1(,0)4F12(,)(,)AxyB221,xy或 ，因为 位于 轴两侧所以
12、.所以 两面积之和为21212,yy212y1214Sx2112148yy18.198y13【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.17已知椭圆： ，左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 A，B 两点，若 的最大值为 5，则 的值是 ( )A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由题意知 ，所以 因为 的最大值为 5，所以 的最小值为 3，当且仅当 轴时，取得最小值，此时 ，代入椭圆方程得 ，又 ，所以 ，即 ，所以，解得 ，所以 ，选 D.18已知抛物线方程为： ，其准线方程为 241yx【答案】 1x【解析】试题分析：将抛物线方程化为标准方程 ，知焦点在 轴正半轴，且
13、 ，所以准线方程xy42x42p为 12px考点：抛物线标准方程、准线方程19若方程 表示椭圆，则 的取值范围是_. 1322myxm【答案】(1,2)(2,3)【解析】试题分析：因为，方程 表示椭圆，1322yx所以， ，解得， 的取值范围是(1,2)(2,3)。103mm考点：椭圆的标准方程及其几何性质点评：简单题，利用椭圆的几何性质，建立 m 的不等式组。20椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的方程是 .214xyAB1(,)2PAB【答案】 .0【解析】试题分析：设 ， ，利用点差法将两点的坐标分别代入椭圆方程中得 ，),(1yxA),(2B 14221yx两式相减得 ，即 ，再由
14、弦 的中点为 得042121y)(42112yxxyAB(1,)P， 代入可得 ，最后由直线的点斜式方程即可求出 所在直线的方程.21x21yABk考点：直线与椭圆的综合应用；直线的方程.21已知 F1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，点 P 为双曲线 右支上的一点，21(0,)xyab满足 ，且 ，则该双曲线离心率为 120P12|3|PF【答案】 .3【解析】试题分析： ，在 中，设 ，21F21Rt321PF第 11 页 共 22 页 第 12 页 共 22 页则 ， .21Fc 132ace考点：双曲线的离心率.22设 是椭圆 的下焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，则 的最大值为121
15、4yxOP1FPO.【答案】 23【解析】设 ，则(cos,in)P1(0,3)(,FO2 21 2sisin1)FO所以 的最大值为()4故答案为 423考点：椭圆中的最值；椭圆的参数方程.23已知椭圆 C： ，左焦点 ，且离心率 )0(12bayx )0,3(F23e（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 ： （ ）与椭圆 交于不同的两点 ， （ ， 不是左、右顶点）lmkxyCMN，且以 为直径的圆经过椭圆 的右顶点 求证：直线 过定点，并求出定点的坐标MNAl【答案】 （1） ；（2）证明见解析，定点的坐标为 142 )0,56(【解析】试题分析：（1）由焦点坐标及离心率求出 ，得出方程；
16、（2）设 ， 的坐标，联立直线cba, MN和椭圆的方程，消去 ，化简得关于 的一元二次方程，由韦达定理可得 ， 的值，利lyx 21x1用 得出 与 的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标0ANMmk试题解析：（1）由题意可知 ，223cbae解得 ， 2a1b所以椭圆的方程为 42yx（2）由方程组 得 ，12yxmk 048)4(22mkx， 整理得 ， 0)(4)8(22kk 12设 ， ，则 ， ,1yxM,2yN22148kx214kx由已知， ，即 ，又椭圆的右顶点为 ，所以A0M)0,(A，)2(211yx ， 2121)()( mxkxmky ， 04)(21xk即 1
17、8)2(422 kk整理得 ， 解得 或 均满足 0165mm56k0142m当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，与题意矛盾，舍去；k2lkxy2)0,(当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，5)56(故直线 过定点，且定点的坐标为 l 0,考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、直线过定点问题【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，属于难题解题时联立方程组时一定要运算仔细，且注意 的潜在要求，否则很容易出现错误凡是涉及直线与圆锥曲线相交的问题，通常会联立两者的方程，设交点坐标，结合韦达定理得出关系式，本题在解答过程中第 13 页 共 22 页 第 1
18、4 页 共 22 页也运用了圆的直径所对圆周角为直角，得出两线垂直，考察学生对基础知识点的应用能力24 已知椭圆 E： 的离心率 ，并且经过定点21 0,xyabb3 2e1 (3,)2P（1 ）求椭圆 E 的方程；（2 ）问是否存在直线 y=-x+m，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足 ,若存在求 m 值，若OAB不存在说明理由【答案】 （1） ;（2） 214xy105m【解析】试题分析：（1）利用椭圆 E： 的离心率 ，并且经过定点21 0,xyabb3 2e，建立方程，求出 a，b，即可求椭圆 E 的方程；（2）直线 y=-x+m 代入椭圆方程，利用韦 (3,)2P达定理，结合 O
19、AOB ，即可求 m 值0OAB（试题解析：解（1）由题意： 且 ，又32cea214b22cab解得： ，即：椭圆 E 的方程为24,1ab2xy（2 ）设 12(,)(,)AxyB（*）222224()058404mxxmyx所以21218,5522 212112184()()5mymxmx245由 0OAB得22121244210(,), ,55xyxy又方程（*）要有两个不等实根， 22(8)45()0,5mmm 的值符合上面条件，所以 105考点：直线与圆锥曲线的综合问题25设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的 2 倍又点 P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程【答案
20、】 1 或 1205xy 2465xy【解析】设该椭圆的方程为 1 或 1(ab0)，依题意，2a2(2b) a2b.由于2ab 2xya点 P(4，1)在椭圆上，所以 1 或 1.解得 b25 或 ，这样 a220 或 65，故24 24 64该椭圆的方程为 1 或 1.205xy 265xy26已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,且过点（03F.（2,D（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点 ，若 是椭圆上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程. （1APPAM【答案】(1) . (2) . 42yx 14212（yx【解析】试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴 ，半焦
21、距 ，则半短轴 . 3 分a3c1b又椭圆的焦点在 轴上, 椭圆的标准方程为 . 5 分x 142yx(2)设线段 的中点为 ,点 的坐标是 ，PA（yMP（0,第 15 页 共 22 页 第 16 页 共 22 页由 ，得 ， 9 分2100yx210yx由点 在椭圆上,得 , 11 分P42（x线段 中点 的轨迹方程是 . 12 分AM14122（y考点：本题考查了椭圆的标准方程及轨迹方程的求法点评：若动点 P(x，y) 随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且 x0、y0 可用 x、y 表示，则将 Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代
22、换法)27椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过 的2:1()xyCab31,2A1212,F1直线交椭圆于 两点,AB（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 的面积为 时，求直线的方程.2F127【答案】 （1） ；（2）直线方程为： 或 .43xy10xy10xy【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点 A，将 A 点坐标代入得到 a 和 b 的关系式，再利用椭圆的离心率得到 a 与 c 的关系式，从而求出 a 和 b，得到椭圆的标
23、准方程；第二问，过 的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为1F时，先讨论，再讨论斜率不不为 的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到22和 ，代入到三角形面积公式中，解出 k 的值，从而得到直线方程.1x12试题解析：（1）因为椭圆 过点 ，所以 ，又因为离2:1(0)xyCab3(1,)2A2914ab心率为 ，所以 ，所以 ，解得 .21ca234b24,所以椭圆的方程为： （4 分）2143xy（2）当直线的倾斜角为 时， , 3(,)(1)2AB，不适合题意。 （6 分）21237ABFS当直线的倾斜角不为 时，设直线方程 ，:(1)lykx代入 得： （7 分）2143xy2
24、2(43)840kx设 ，则 , ,12(,)(,)AB212k213kx2 2221212111841()4()()31437ABF kSyFk ，22801k所以直线方程为： 或 （12 分）xy0xy考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.28已知椭圆 C： 1(ab0)过点 P(1，1)，c 为椭圆的半焦距，且 c b过点2a 2P 作两条互相垂直的直线 l1，l 2与椭圆 C 分别交于另两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l1的斜率为1，求PMN 的面积；（3）若线段 MN 的中点在 x 轴上，求直线 MN 的方程【答案】
25、 （1） ;（2）2;（3） 或 2=4yyx 1=-2【解析】试题分析：（1）根据题意可得 ，且 ，加之 的关系，可求得 ; （2）21ab2cb ,ac,abc由于直线 的斜率已确定，则可由其与椭圆方程联立方程组，求出点 M 的坐标，因两直线垂直，故1l第 17 页 共 22 页 第 18 页 共 22 页当 时，用 代替 ，进而求出点 N 的坐标，得 ，再由两点间的距离公0k1k201MN（ ， ） ， （ ， ）式求出： ，即可求出 的面积;（3）观察本题条件可用设而不求的方法处PM=2, PA理此题，即设出点 ，两点均在椭圆上得： ，观察此两式的结12()()xyxy， ， ， 21
26、34xy构特征是一致的，则将两式相减得 ， 由题中条件线段121212123()0xy 的中点在 x 轴上，所以 ，从而可得 ，此式表明两点横坐标的关系：MN0y x 可能相等;可能互为相反数，分两种情况分类讨论：当 时，再利用 ，可转化为12 PMN，进一步确定出两点的坐标 或 ，即可求=0P ()()MN ， ， ， (1)(1)， ， ，出直线 的方程为 ;同理当 ，求出直线 的方程为 Nyx 120x x=-2试题解析：（1）由条件得 ，且 ，所以 ，解得 2=abcb 23ab 4,a3所以椭圆方程为： 3 分314xy（2）设 方程为 ，1l()k 联立 ,消去 得 234ykxy
27、2 2136(1)3()40xkxk 因为 ，解得 5 分1P（ ， ）22M(,)kk当 时，用 代替 ，得 7 分0kk22633N(,)将 代入，得 1 01（ ， ） ， （ ， ）因为 ，所以 ，P（ ， ） P=2,所以 的面积为 9 分MNA（3）设 ，则12()()xyxy， ， ，两式相减得 ， 2134xy12121212()3()0xyy 因为线段 的中点在 x 轴上，所以 ，从而可得 12 分MN120 1212()x 若 ，则 120x ()y ， 因为 ，所以 ，得 P=PN21xy 又因为 ，所以解得 ，所以 或 2134xy 1 ()(1)MN ， ， ， (1
28、)(1)MN， ， ，所以直线 的方程为 14 分MNx 若 ，则 ，120x 1y（ ， ）因为 ，所以 ，得 P=0PN221()yx 又因为 ，所以解得 ，2134xy x-或经检验： 满足条件， 不满足条件=- 综上，直线 的方程为 或 16 分MNyx 1=-2考点：1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系29已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的1C242C1C2C左、右顶点分别是 的左、右焦点1（1）求双曲线 的方程；2（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 （其中 为原点）:lykx2C2O，求实数 的范围【答案】 （1） ；（
29、2）1321,3,【解析】试题分析：（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出 的值；（2）解决直线和双曲线的综合,ba问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与双曲线的方程联第 19 页 共 22 页 第 20 页 共 22 页立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式 ：计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论试题解析：解：（1）设双曲线 的方程为 2C21,xyab则 ，再由 得243aabc故 的方程为 2C21xy（2）将 代
30、入k23得 2(13)690x由直线 与双曲线 C2交于不同的两点得：l且 2220(6)3(1)6()0kkk 213k2 设 ，则12(,)(,)AxyB121229,3xxkk121212()()k2121237()()1kx又 ，得 OAB12xy237k即 ，解得： 2390k,3 由、得： 21k故 的取值范围为 k1,3,考点：1、求双曲线的方程；2、直线与双曲线的综合问题30 （本小题满分 15 分）如图，已知抛物线 ： ，过焦点 斜率大于零的直线 交抛物线于C24yxFl、 两点，且与其准线交于点 ABDxFDyABO（）若线段 的长为 ，求直线 的方程；A5l（）在 上是否
31、存在点 ，使得对任意直线 ，直线 ， ， 的斜率始终成等差数列，CMlMADB若存在求点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）存在点 或 20xy(1,2)(,)【解析】试题分析：（1）设出直线的方程，与抛物线方程进行联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在 ，利用等差中项和恒成立判定是否有解.(,)Ma试题解析：（）焦点 (1,0)F直线 的斜率不为 ，所以设 ，l :1lxmy，1(,)Axy2(,)Bxy由 得 ，24m40， ，112，22()xy， 21246 ， 直线 的斜率 ，212| 5ABxm214l24k ， ， 0k直线 的方程为 l 0y（）设 ，2(,)Ma， 112214Aykyax
