1、第 1 页 共 10 页导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 32()fx在区间 1,上的最大值是 2 2已知函数 )()2xcxfy、处有极大值，则常数 c 6 ；3函数 31有极小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线34yx在点 ,处的切线方程是 2yx 2若曲线 f)(在 P 点处的切线平行于直线 03，则 P 点的坐标为 （1，0） 3若曲线4yx的一条切线 l与直线 48x
2、y垂直，则 l的方程为 430xy 4求下列直线的方程：（1）曲线 123xy在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 2xy过点 P(3,5)的切线；解：（1） 13|k 23 1),( /3 、 xyxyP所以切线方程为 0（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ),(0yxA，则 20x又函数的导数为xy/，所以过 ),(0yA点的切线的斜率为 0/2|xyk，又切线过 ),(0yxA、P(3,5)点，所以有3520x，由联立方程组得， 5 1y、，即切点为（1，1）时，切线斜率为;1k；当切点为（5，25）时，切线斜率为 02xk；所以所求的切线有两条，方程分别为 2 )
3、5(102)( xyxyy 、题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数 )1(,)(,)(23 fPxfycbxaxf 上 的 点过 曲 线 的切线方程为第 2 页 共 10 页y=3x+1 （）若函数 2)(xf在 处有极值，求 )(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数 y在3，1上的最大值；（）若函数 )(xfy在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 .2)(,3 axxfcbaf 求 导 数 得过 )1(,)(Pxy上 点 的切线方程为： ).1(3()1, xbcyf即而过 .)()( yfxy的 切 线 方 程 为上故 30232cabcab即
4、 124,)(,)( bafxfy故时 有 极 值在 由得 a=2，b=4，c=5 .53xxf （2） ).2(343)(2 xxf当;0(,;0)(, xff时当时 13).13fxfx极 大时当又 )(,4)xff在3，1上最大值是 13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又 2(bax 由知 2a+b=0。 依题意 )(xf在2，1上恒有 )xf0，即 .03 当6,1()(,16minbffb时；当fxfx ,02)()(,2in时；当.6,1)(,16min bbfb则时综上所述，参数 b 的取值范围是 ),02已知三次函数32()fxabxc在 1和 x时取极值，且 (2)
5、4f第 3 页 共 10 页(1) 求函数 ()yfx的表达式；(2) 求函数 f的单调区间和极值；(3) 若函数 ()4(0)gxfm在区间 3,mn上的值域为 4,16，试求 m、 n应满足的条件解：(1) 2()3fab，由题意得， 1,是 0x的两个根，解得， 0,3ab再由 (2)4f可得 2c3()2fx(2) 3(1)fxx，当 1时， )0f；当 时， ()0fx；当 x时， (fx；当 1时， f；当 1时， )0f函数 ()fx在区间 (,1上是增函数；在区间 ,、上是减函数；在区间 1,上是增函数函数 ()fx的极大值是 ()0f，极小值是 ()4f(3) 函数 g的图象
6、是由 fx的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数 ()fx在区间 3,n上的值域为 4,16（ 0） 而 (320f， 420m，即 于是，函数 ()fx在区间 3,n上的值域为 20,令 ()0f得 1或 2由 ()fx的单调性知， 142n，即 36n综上所述， m、 n应满足的条件是： 4m，且 363设函数 ()(fxaxb（1）若 的图象与直线 580y相切，切点横坐标为，且 ()fx在 1处取极值，求实数 ,ab 的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 ()fx总有两个不同的极值点 第 4 页 共 10 页解：（1）2()3().fx
7、abx由题意 5,10，代入上式，解之得： a=1，b=1 （2）当 b=1 时， ()fx、23(1)0.xax因 ,(42a故方程有两个不同实根 2, 不妨设 21x，由 )()(21 xf可判断 )(xf的符号如下：当 时 ，；当 时 ，xf；当 时 ，2)(xf因此 1x是极大值点， 2是极小值点 ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数 总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是 f（x）的导函数， )(/xf的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函数、143xy( A )xyo4-4 2 4-42-2-2xyo
8、4-4 2 4-42-2-2 xyy4o-4 2 4-42-2-26 66 6 yx-4-2o 42243方程 、)2,0(7623x ( B )A、0 B、1 C、2 D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10,3231)(2abxaxf第 5 页 共 10 页（1）求函数 )(xf的单调区间、极值.（2）若当 2,1a时，恒有 axf|)(|，试确定 a 的取值范围.解：（1）2()43fxx= )，令 ()0fx得 12,3ax 列表如下：x （-，a） a （a，3a） 3a （3a，+）()f- 0 + 0 -xA极小 A极大 A ()f在（a，3a）上单
9、调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减x时，34()fxba极 小， x时， ()fxb极 小 （2）22f 01，对称轴 21a， ()x在a+1，a+2上单调递减 2214()3Maxfaa，22min()4()34f a依题 |()|Mxf， min|f 即 |1|,|a解得415a，又 0 a 的取值范围是,)52已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2 ，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由 f（ 3）24a0
10、9 ，f（1）32ab 0 得 a12，b2f（x）3x2x2（3x2） （x1） ，函数 f（x）的单调区间如下表：x（， ） 2（ ，1）1 （1，）第 6 页 共 10 页f（x） 0 0 f（x） 极大值 极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（，23）与（1， ） ，递减区间是（23，1）（2）f（x）x312x22xc，x1，2 ，当 x23时，f（x） 7c为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量 a=( 3,1). b=( 21,3).（
11、1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 x=a+(t23) b， y=-ka+tb， x y，试求函数关系式 k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1) x y， =0 即+(t2-3) (-k+t )=0. 整理后得-k2a+t-k(t2-3) ab+ (t2-3)2=0 b=0，2=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k= 41t(t2-3)(2)讨论方程 41t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线 f(t)= t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数. 于是 f(t)= 3(t2-1)= (t+1)(t
12、-1). 令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f(t) + 0 - 0 +F(t) 极大值 极小值 当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值= 21.第 7 页 共 10 页当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值= 21函数 f(t)= 41t(t2-3)的图象如图 1321 所示，可观察出：(1)当 k 2或 k 时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=1或 k= 时,方程 f(t)k=0 有两解；(3) 当 2k 时,方程 f(t)k=0 有三
13、解. 题型七：导数与不等式的综合 1设 axfa3)(,0函 数在 ),1上是单调函数.（1）求实数 的取值范围；（2）设 0x1， )(f1，且 0)(xf，求证： 0)(xf.解：（1） ,32ay若 在 ,1上是单调递减函数，则须,3,2xay即这样的实数 a 不存在.故 )(xf在 上不可能是单调递减函数.若 )(f在 上是单调递增函数，则 2，由于 ,12xx故.从而 0a3.（2）方法 1、可知 )(f在 ,1上只能为单调增函数. 若 1 )(0xf，则()00矛 盾xfxf若 1 ),()(,)( 000xffxf 即则 矛盾，故只有 成立.方法 2：设 00)(,)(xufxf
14、则 ， ,0303xaux两式相减得30(aux022)1)(1,u1，3,22 a又， 0ux第 8 页 共 10 页2已知 a为实数，函数23()(fxxa（1）若函数 ()f的图象上有与 轴平行的切线，求 的取值范围（2）若 0， （）求函数 ()fx的单调区间（）证明对任意的 12(,0)x、，不等式 125|()|6fxf恒成立解：33()fa，23(fa函数 fx的图象有与 x轴平行的切线， )0fx有实数解2340a，29a，所以 a的取值范围是32、(1)0f， 4，291()3()fxxx由 ,fx或12x；由1()0,f()f的单调递增区间是(,；单调减区间为(,)2易知
15、fx的最大值为51)8f， ()fx的极小值为149)6f，又7(08f()f在 0、上的最大值27M，最小值m对任意 12,(,)x，恒有 1227495|()|816fxf题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1 为 xm，则 41x由题设可得正六棱锥底面边长为：2228)(3xx， （单位： m）故底面正六边形的面积为： 462)=)(32， （单位： 2）第 9 页 共 10 页帐篷的体积为：)(V282
16、3xx、 1)(3)126(33x（单位：3m）求导得)312( xx）（。令 0V）（ ，解得 （不合题意，舍去） ， 2x，当 1时， 0）（ ， ）（V为增函数；当 42x时， ）（ x， ）（ x为减函数。当 时， ）（ 最大。答：当 OO1 为 m时，帐篷的体积最大，最大体积为 316m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：38(012).1280yxx已知甲、乙两地相距 100 千米。（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地
17、到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当 40x时，汽车从甲地到乙地行驶了102.54小时，要耗没31(408)2.5728（升） 。（II）当速度为 x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了10x小时，设耗油量为 ()hx升，依题意得3 211085()8). (012),280 4hxx322()().6464xx令 0,h得 8.当 ()x时， ()0,()hx是减函数；当 ,12时， 是增函数。第 10 页 共 10 页当 80x时， ()hx取到极小值 (80)1.25h因为 ()在 ,12上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗
18、油 17.5 升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。题型九：导数与向量的结合1设平面向量313(),().22ab， ，若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k，使，且 yxtsybktx,)(2（1）求函数关系式 ()Sf；（2）若函数 t在 ，1上是单调函数，求 k 的取值范围。解：（1）).23,(),23(ba 10ab，2222 3,000xytkbstsaskabttftt又 ， 得（ ） （ ） ，即 （ ） -（ ） 。（ ） ， 故 （ ） 。（2） 上 是 单 调 函 数 ，） 在（且）（ 132f则在 ,1上有 0)(）（或 tftf由 3)3(0)( min222 ktkktf；由 3tt。因为在 t ,1上 2是增函数，所以不存在 k，使 2t在 ,1上恒成立。故 k 的取值范围是 k。
