二次函数各种题型汇总.doc

1、二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题（一）用对称比较大小例 1、已知二次函数 y=x2-3x-4，若 x2-3/23/2-x 10，比较 y1 与 y2 的大小解：抛物线的对称轴为 x=3/2，且 3/2-x10，x 2-3/20，所以 x1 在对称轴的左侧，x 2 在对称轴的右侧，由已知条件 x2-3/23/2-x 10，得：x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离，所以y2y 1（二）用对称求解析式例 1、已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（ 1，4），与 x 轴两交点间的距离为 6，求此抛物线的解析式。解：因为顶点坐标为（1，4），所以对称轴为 x=1，又因为抛

2、物线与 x 轴两交点的距离为 6，所以两交点的横坐标分别为： x1=1 3= 4，x 2=1+3=2 则两交点的坐标为（4，0）、（2，0）；设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1 ）+4，把（2，0）代入得 a=4/9 。所以抛物线的解析式为 y=4/9（x+1 ） 2+4（三）用对称性解题例 1：关于 x 的方程 x2+px+1=0（p0）的两根之差为 1，则 p 等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 35解：设方程 x2+px+1=0（p0）的两根为 x1、 x2，则抛物线 y=x2+px+1 与 x 轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为 x=p/2，所

3、以x1=p/2 1/2 ，x2= p/2+1/2，因为 x1x2=1。所以 (p/2 1/2)(p/2+1/2=1，p 2=5 因为p0，所以 p= 5例 2、如图，已知抛物线 y=x2 +bx+c 的对称轴为 x=2，点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x轴平行，其中点 A 的坐标为（0，3），则点 B 的坐标为（ ）A（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3）解：由点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行可知，点 A，B 关于 x=2 对称。设点 B 的横坐标为 xB， 点 A 的坐标为（0，3）， 所以，（0+x B）/2=2 ，x B=4 B 点坐标为（4，3）

4、例 2 （2010，山东日照）如图 2 是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x=1， 若其与 x 轴一交点为 A（3，0），则由图象可知， 不等式 ax2+bx+c0 的解集是多少 解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为（1，0），ax 2+bx+c0 的解集就是抛物线落在 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值，不等式 ax2+bx+c0 的解集是1x3 例 3、（2010，浙江金华）若二次函数 y=x 2+2x+k 的部分图象如图 3 所示，则关于 x 的一元二次方程 x 2+2x+k=0 的一个解 x1=3，另一个解 x2 是多少 ；解：依题意得二次

5、函数 y=-x2+2x+k 的对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点为（3，0），抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标为 1-（3-1）=-1，交点坐标为（-1，0）关于 x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0 的解为 x1=3 或 x2=1故填空答案：x 1=-1例 4：如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0） 的对称轴是直线 x=1，且经过点 P（3，0），则 ab+c 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 解法 1： 将 P 代入得：9a+3b+c=0由对称轴得：-b/2a=1, 得 b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0 即 a+2a+c=0 则 a-b+c=0解法

6、 2：由抛物线的对称轴:x=1，及点 P（3，0），可求出抛物线上点 P 关于对称轴 x=1 的对称点的坐标为 Q（-1，0），由于 Q 在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点 p，Q 在 x轴上所以 a-b+c=0，故选 A例 5、抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点的坐标是_解析：由点 A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知 A、B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为 x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标为（x 2,-8)，则有 2=（3+x 2）/2，从而得

7、 x2=1，故答案为(1,-8).例 6、已知抛物线 上有不同的两点 E(k+3，-k 2+1)和 F(-k-1，-k 2+1)求抛物线的解析式分析：关键是确定一次项系数 b观察抛物线上不同的两点 E(k+3，-k 2+1)和 F(-k-1，-k2+1)纵坐标相同，因此判断得点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称解： 的对称轴为 x=-b（-1/22）=b因为抛物线上不同的两点 E(k+3，-k 2+1)和 F(-k-1，-k 2+1)纵坐标相同，点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，则 b=（k+3)+(-k-1)2=1， 抛物线的解析式为 y=1/2x2+x+4 例 7（2010，山东聊

8、城）如图 5，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0）、C（0，3）两点，与 x 轴交于另一点 B （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴 x1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求此时点 M 的坐标； 分析：（1）由点 C（0，3）知 c3，只需求得 a、b 两个未知的系数，根据点A（1,0）和对称轴 x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线 x=1 是 AB的垂直平分线，因此 MAMB，要使得 MA+MC 最小，只要 MC+MB 最小，所以点 M 就是直线 BC 与抛物

9、线对称轴的交点解：（1）抛物线经过点 C（0，3）c3 ，yax2+bx-3 。又抛物线经过点 A（1，0），对称轴为 x=1，所以 a-b-3=0 b/2a=1 解得 a=1 b=-2抛物线的函数关系式为 yx22x-3由 B（ 3，0），C （0，3），解得 y=x-3, 由 x=1, 解得 y=-2. 当点 M（1，-2）时，M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小（2）点 A（1,0），对称轴为 x=1，点 B（3，0）连接 BC,交对称轴 x=1 于点 M.点 M 在对称轴上，MA=MB , 直线 BC 与对称轴 x=1 的交点即为所求的 M 点. 设直线 BC 的函数关系式为

10、 y=kx+b， 由 B（ 3，0），C （0，3），解得 y=x-3, 由 x=1, 解得 y=-2. 当点 M（1，-2）时，M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小例 8、二次函数图像经过 A（-3，1）、B（1，1）、 C（-1 ，3）三点，求二次函数的解析式。分析：由观察可知点 A（-3，1）、B（1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论 2，可知直线 是此抛物线的对称轴，所以点 C（-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式x1为 （顶点式），所以 。从而可确定二次函数的解析式为ya()32122aa()，。yx1232()例 9. 已知抛物线 经过点 A（-3，-5），且

11、 。试求抛物线经过yaxbc20() ba2除 A 点以外的另一定点的坐标。分析：按照常规思维写出解析式 ，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到yaxbc2，从而可知对称轴为 。根据结论 3，A （-3，-5）关于对称轴 的对称点 A一ba2x1 x1定在抛物线上，A点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。例 10、已知，抛物线 （ 、 是常数且不等于零）的顶点是 A，如图所示，抛物2)(ttayat线 的顶点是 B。2xy（1）判断点 A 是否在抛物线 上，为什么？12xy（2）如果抛物线 经过点 B，求 的值；这条抛物线与 轴)(ttxaax的两个交点和它的顶点 A 能否构

12、成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线 的顶点 A（ ， ），而 当时，2)1(ttxy1t21tx ，所以点 A 在抛物线 上。22)1(xy y（2）顶点 B（1，0）， ， ， ；设抛物线0)(2ttata与 轴的另一交点为 C，B （1， 0），C（ ，0），由抛物线的对称性可知，2)(ttxayx 12tABC 为等腰直角三角形，过 A 作 AD 轴于 D，则 ADBD。当点 C 在点 B 的左边时， ，解x )1(2tt得 或 （舍）；当点 C 在点 B 的右边时， ，解得 或 （舍）。故 。1t0t )(2tt 例 11. 如图 2 所示，圆 O

13、的直径为 2，AB、EF 为互相垂直的两条直径，以 AB 所在直线为y 轴，过点 A 作 x 轴，建立直角坐标系。（1）写出 E、F 的坐标；（2）经过 E、F 两点的抛物线从左至右交 x 轴于 C、 D 两点，若 ，试判定抛物线的顶点是否在圆|3内。（3）若经过 E、F 两点的抛物线的顶点恰好在圆 O 上，试求抛物线的解析式。yx问 题 图 O BxyAOEFCDB分析：（1）E 点的坐标为（-1，1），F 点的坐标为（1，1）；（2）根据结论 2 可知，E、F 关于对称轴对称，从而可知对称轴为 。C 、D 是抛物线与 x 轴的两个x0交点，根据结论 1，易知 C 点坐标为 。设解析式为 ，

14、建立方程组()320， yabc21032abca()可得解析式为 。易知顶点在线段 AB 上。因为 ，故知抛物线顶点在圆内。yx4592 952（3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为 B 点或 A 点，现分两种情况讨论。（1）当 B 点为顶点时，设解析式为 （顶点式），所以 。解得 ，所以解析yax212a()a1式为 。（2）当 A 点为顶点时，设解析式为 ，所以 。解得 ，所以解析式yxyx2为 。2注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的坐标来列方程。二、二次函数 a、b、c 之间的关系题型及字母求值的题型1、二

15、次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，给出下列结论： b24ac0； 2a+b0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以 b=-2a,c=-3a,所以 abc = -123.解答：选 D2、如图为二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象，则下列说法中正确的个数为（ ）a0 2a+b=0 a+b+c0 当 1x3 时，y0A1 B2 C3 D解：图象开口向下，能得到 a0； 对称轴在 y 轴右侧，x= =1，则有 =1，即2a+b=0；当 x=1 时，y0，则 a+b+c0； 由图可知，当1x3 时，y0 故选 C3、已知:M、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 上，

16、点 N 在直线 y=x+3 上，设点12yxM 的坐标为（a,b），则二次函数 y= abx2+(a+b)xA. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为99C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 22【解析】M (a,b)，则 N(a,b)，M 在双曲线上， ab= ；N 在直线上，b= a+3,即1a+b=3；二次函数 y= abx2+(a+b)x= x2+3x= (x3)2+ ，有最大值，最大值为 ，【答案】B19924、在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左（右）平移了 个单位，6y m使平移后的抛物线恰好经过原点，则 的最小值为（ B）mA1 B2 C3 D

17、6【解析】因为是左或右平移，所以由 求出抛物线与 轴有两个交点)2(32xxy x（3,0），（-2,0）将抛物线向右平移 2 个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小5、二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0）图象的对称轴是直线 x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：abc0其中正确的是_(把正确说法的序号都填上)【解析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断抛物线的开口向下，a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，c0，对称轴为 x= =1

18、，得 2a=b，a、b 异号，即 b0，b又c 0，abc 0 ，故正确；抛物线与 x 轴的交点可以看出，当 x=1 时，y0，ab+c0，故正确；当 x=1 时，y0，而此时 ab+c =3a+c，即 3a+c0，可知 x=-1 时 ，函数值 y0，所以方程两个根分别位于-1 两侧,显然这两个根不相等。9、已知二次函数 y=ax2+bx+c，且 a0，a-b+c0，则一定有（ A ）A 、b 2-4ac0 B 、b 2-4ac=0 C 、b 2-4ac0 D 、b 2-4ac0解：a 0 抛物线的开口向下a-b+c0 当 x=-1 时，y=a-b+c 0 抛物线与 x 轴有两个交点 b2-4

19、ac 010、 已知： abc，且 a+b+c=0，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（ ）A B C DA、由图知 a0，-b/2a=1，c0，即 b0，已知 abc ，故本选项错误；B、由图知 a0，而已知 abc ，且 a+b+c=0，必须 a0，故本选项错误；C、图 C 中条件满足 abc，且 a+b+c=0，故本选项正确； D、a+b+c=0 ，即当 x=1 时 a+b+c=0，与图中与 x 轴的交点不符，故本选项错误故选 C11、二次函数 的图像如图所示，那么 、 、 、 ，a+b+c，xy2 abc42bac24a-b+c 这几个代数式中，值为正的有（ A

20、） A、6 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个解：由图知 a0,对称轴 x=-b/2a0,知 b0,抛物线与 y 轴交于负半轴，c0, 所以 abc0,因为图像与 x 轴有两个交点，所以 b-4ac0, yx例 1图 -1 1O由对称轴 x=-b/2a1.a0 知-b2a,即 2a+b0由图知当 x=1 时,y=a+b+c0.由图知当 x=-1 时,y=a-b+c0.由图知当 x=-2 时,y=4a-2b+c012、二次函数 的图像如图所示，OAOC，则下列结论：cbxay2 0； ； ； ；abc41a02ba ； 。其中正确的有（ ）OBA 02cA、2 个 B、3 个 C、4 个 D

21、、5 个 解：由函数图象可以得到以下信息：a0，b0，c0 ，则abc0,错误；（开口朝上，a0 ，对称轴在 y 轴右侧，x=-b/2a0，b0，抛物线与 y 轴交于负半轴， c0）抛物线与 x 轴有两个交点 ,b2-4ac0,正确；OA=OC, A 点横坐标等于 c, 则 ac2+bc+c=0, 则 ac+b+1=0, ac+b=-1，故 ac-b=-1,不正确；对称轴 x=-b/2a1,2a+b0,正确；OAOB=|xAxB|=- c/a,故正确；当 x=-2 时,4a-2b+c0,错误；故选 B13、若抛物线 的最低点在 轴上，则 的值为 2 。23)1(2mxy xm解：根据题型，函数

22、抛物线的顶点在 x 轴上，且开口朝上，m-1 0，再根据顶点的 y 坐标为零即可求得。三、二次函数的平移1、抛物线 y=（x+2） 2-3 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）A. 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位C. 先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D. 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位解析：抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y=（x+2） 2，抛物线 y=（x+2 ） 2，再向下平移 3 个单位即可得到抛物线 y=（x+2 ） 2-3故平移过程为：

23、先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位故选 B答案：B2、已知下列函数：y=x 2， y= -x2， y=(x-1) 2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3 的图像有 .解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：.3、已知 ， 0，把抛物线 向下平移 1 个单位，再向左平移 5cbaacbxay2个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0 ），求原抛物线的解析式。分析：由 可知：原抛物线的图像经过点（1 ，0）；新抛物线向右平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为 ，则原抛物线的解析式为 。2)(x

24、ay 1)2(xay又因为 ，易知原抛物线过点（ 1，0）0cba第 1题 图 yx-2 1C BAO ，解得 原抛物线的解析式为：1)52(0a41a 1)3(42xy抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转 1800），此时顶点坐标不变，只是 反号；两抛物线关于 轴对称，此时顶点关于 轴对称， 反号；x a两抛物线关于 轴对称，此时顶点关于 轴对称；yy4、二次函数 的图像向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数图像的解析式为cbx2，则 与 分别等于（ c ）12xyA、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、145、已知二次函数的图像过点（0

25、，3），图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 轴，向下平移y1 个单位后与 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。x解：因为二次函数的图像经过点（0，3），说明这是该函数和 y 轴的交点，图象向左平移 2个单位后以 Y 轴为对称轴，说明该函数的对称轴为 X=2 的一条直线，图像向下平移 1 个单位后与 X 轴只有一个公共点，说明顶点是（2,1），设这个 二次函数图像的解析式为 y=a（x-2)2+1把点（0，3）代入得 a（ x-2)2+1=3 解得 a=1/2，所以 y=1/2（x-2）2+1=1/2x2-2x+3所以二次函数图像的解析式为 y=1/2x2-2x+36、已知二次函数的图象

26、过点（0，3），图象向左平移 2 个单位以后 y 轴为对称轴，图象向下平移 1 个单位后与 x 轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（ ）A. y=1/2x2-2x+1 B. y=1/2x2+1 C. y=1/2x2+2x+3 D. y=1/2x2-2x+3二次函数的图象过点（0，3），各选项中 c=3 的只有 C，D 两个选项向左平移 2 个单位以后 y 轴为对称轴，说明原函数解析式的对称轴在 y 轴的右边，而只有D 选项的对称轴在 y 轴的右边故选 D四、交点个数与字母的取值例 1、已知函数 y=(x-1)2-1(x3), y=(x-5)2-1(x3),则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,则k 的值为（ D ） A.0 B.1 C.2 D.3画出图像,易知当根据图象知道当 y=k=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，例 2、已知函数 y=|x2-2x|,若使 y=k 成立的 x 值恰好有两个，则 k 的值为( ) A. -1 B.0 C.1 D 以上均正确方法一，你把 A,B,C 的答案带进去。其实，A、D 答案可以首先排掉，因为 y=0.将 C 答案带进去 X 的值有 3 个。所以选 B。