1、1同济大学 2009-2010 学年第一学期高等数学 B(上) 期终试卷一. 填空题( )4161. 设函数 具有二阶导数, 且 , 则 .fx10,dxyy23“xy2. 设函数 为可导函数, 且 , 由参数方程 所确定的函数的()fu()f 3(sin)1tfe导数 .032tdyx3. 极限 .11lim()ln2n4. 微分方程 的特解形式为(不需确定系数)2“56sixye.2)cosin2xxABeCDxE二 选择题( )4165. 设函数 在 内连续, 且 , 则常数 满足: .sin)bxfae()lim()0xf,ab; ; ; (0,A0BbCab()0,D6. 曲线 ,
2、1ln()xye没有水平渐近线但有铅直渐近线; 没有铅直渐近线但有水平渐近线;() ()B没有水平和铅直渐近线; 有水平和铅直渐近线CD7. 将 时的无穷小量 排列起来, 使0x2000sin,tan,(1)xxxttdded得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: C; ; ; (),A(),B(),C(),D8. 设函数 在点 的某个邻域内有定义, 且 , 则在该点处fx020limxff: ()不可导; 可导且 ; 取得极大值 ; 取得极小值.A()B()0f()C()D2三. 解答题( )74289. 求极限 , 30sin(silmxx 30sin1lm6tt10. 计算
3、定积分 240taecd22440011(tan)(sec)842xxd11. 计算反常积分 21rtn()x 22121 013(arctarctn()arctnln4dxdxx 12. 试求微分方程 的通解2(1)yxy 221()1(ln)xxcyy四. ( )求曲线 上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小 .8lnyx 3 12 21()()210 (,ln)xRxRK五. ( )设不定积分 ,8 2nnId(1)计算 ; (2)利用变换 , 建立 的递推公式01, sixt(2,34)nI(1) ; (2) 21arcsin,II122nnIxc六. ( )设函数 在 上连续, 且
4、在 上 , 证明至少存在一点8(),fxgb,ab()0gx, 使 . ab()()abfxdf minmax()bafxgdf f七. ( )过坐标原点作曲线 的切线, 记该切线与此曲线及 轴所围成的平8 21(0)yxy面图形为 , 试求:D(1)平面图形 的面积; (2)平面图形 绕直线 旋转一周所成的旋转体的体积,D1x 12,32yxSV八. ( )已知 是某个二阶常系数线性非齐8 2 21 3,xxxxyeyeye次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. 21,“2(1)xx xcye 3同济大学 2010-2011 学年第一学期高等数学 B(上) 期终试卷一
5、. 填空题( )4161. 已知极限 存在, 且函数 满足: , 则lim(xef()fxln1()im()exxeff.2li()1xef2. 设函数 , 则 .2()ln3)fx()12()!()5nnnf3. 不定积分 .1ta1(talt)sidxC4. 定积分 .in2scos034x二. 选择题( )4165. 曲线 的斜渐近线方程为 32()1txyt A; ; ; .:Ax:1Byx:1Cyx:1Dyx6. 曲线 上点 处曲率 26y(2,0)PKB; ; ; .:0:6:16:47. 设 为 内连续的偶函数, , 则原函数 ()fx)()Fxf()FxC均为奇函数; 均为偶函
6、数;:A:B中只一个奇函数; 既非奇函数也非偶函数.CD8. 设 为曲线 上相应于 的一段弧长, 为椭圆 的周长, 1ssinyx02x2s2xy则 D; ; ; .12:A12:Bs12:C12:s三. 解答题( )4789. 求极限 . 30co(limxx2cosln3300(cos)imli6xxxe410. 设 是 内的连续的奇函数, 且 , 证明 在 处可导, ()fx)0()lim2xf()fx0并求 . 0 0(0),li2()xxf f 11. 求定积分 , 其中 表示不超过 的最大整数.21ma,xed 01210xIeddxe12. 判定反常积分 的收敛性, 如果收敛,
7、求出其值.2lnex 2ln1(ln)(eeIxx四. ( )设 是 内的连续函数, 且 , 试求极限 .8(fx)(0)f0()limxtfdt 000()()()()1limlimli2xx xx xfudfufudf五. ( )设可积函数 在 内满足关系式: , 且当8()fx,)()sinf时 , 试求 .0,x3(fxd 2322sin)()Ixddx六. ( )设 为正整数, 函数 , 求曲线 与直线8n2lim0()10nxfxe()yf所围平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积.2xy 122020 1() ()()83,1xxf Vdx七. ( )求微分方程 的通解. 8
8、3()dyxx22231() ()xCyy八. ( )令 , 化简微分方程 , 并求其通解.sint2arcsin(1)xydex 2231sin,coscodyydtxtt2arcsinarcsinarcsin12txxxCe5同济大学 2011-2012 学年第一学期高等数学 B(上) 期终试卷一. 填空选择题( )38241. 极限 .31lim)xxe2. 若极限 , 则 .00()lihff03()2fx3. 积分 .23216(4)3xxd4. 积分 .2cos 2cosinxxeeC5. 微分方程 的通解为 .4“0y121()xyce6. 记 , , , . 则这 项积41si
9、nIxd22sinIxd23Id21sinId4分的大小关系为 B; ; ; .()A2134II()B3214I()C132II()D1243II7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 A; ; ; 21()dx()ln2edxx()sinxd10()dx8. 若函数 在 连续, 则常数 23ln,1()fax D; ; ; .()A23a()B()C13a()13a二. 解答题( )6501. 计算由曲线 与直线 所围平面图形的面积.2yx340xy 2141()36Axdx2. 若函数 与 具有 阶导数, 试写出 计算 阶导数的莱布尼茨公式, ()uxvn()uxvn计算 的 阶导数. 2
10、xe10()()2(10)20;()nkkxxvCee 63. 求函数 的单调区间以及函数的极大与极小值. 2()5)xfxe 4maxmin41(,41);4,;()7;(1)3fefe:4. 计算反常积分 . 21ln)xd l2I5. 求微分方程 的解.“3,(0),()73yy 33121xxycee三. ( )在长度单位为米的坐标中, 由方程 与直线 围成的薄片铅直8 2x0的浸入水中, 其中 轴平行于水面且在水下 米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力.x1 2()1)4Pgydyg四. ( )求积分 , 1010ln()d 8ln39I五. ( )1. 试求常数 , 使得函数在=
11、 在区间 上可导;ab201,xyab0,22. 若由该曲线段绕 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量 向容器均匀y 0v的注水, 试求该容器在水溢出前水深为 时水面的上升速度.h ; 2,1ab 02200 2,1()()()4,3()h hVxydvVxhv六. ( )要建一个容积为 , 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知10 4顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的 倍, 试求该仓库的底圆半径, 3使得该仓库的造价最省. , 23frh3 2381414(),()0,rhfrrfr 七. ( )函数 在 上具有二阶导数, 并且 , 对于任意 , 由
12、拉格8()fx0)“fx0x朗日中值定理, 存在 , 使得 . 证明 定义了x0()()f上的一个单调增加函数.0()x 递减 唯一确定( 函数); 又可证 , 可得 递增f)x0()fx:()x7同济大学 2012-2013 学年第一学期高等数学 B(上) 期终试卷一. 填空选择题( )381. 函数 的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为)xfe 2341()()6fxxo2. 在 所对应点的曲率2(1)xy1025K3. 极限 lim(1ln)xaa4. 由方程 所确定的函数 在 点的导数2yx()yx1,0(1,0)32dyx5. 函数 在 上连续, 则数列极限 存在是函数极限 存在的什(
13、)f0)limnflimxf么条件? B充分条件; 必要条件; 充分必要条件 ; 无关条件.()A()B()C()D6. 在区间 上, 函数 连续的充分条件是: abfx存在; 可导; 具有原函数; 有界.()afxd()()fx()fx7. 如果作换元 , 则定积分 等于 2sint224fd C; ; 40()co)Afttd 24()cos)Bfttd; .42()s)Cftt 04()Dft8. 可导函数 在区间 上单调增加的充分条件是在该区间上 (fx0,1 D; ; 2()()Aeox10()Bfxd; .“Cfx 4()()Dfxo二. ( )431. 如图是函数 的图像,()y
14、f试在下列空格中填入恰当的符号: ; 或 .08; ; ; .4()0fxd4()0fxd4“()0fxd4“()0fxd2. 求极限 120lim(xtx 120lim2xxe3. 计算不定积分 )lndx 21()ln()()24c三. ( )631. 求曲线 的凹凸区间与拐点的坐标.21xye ; 拐点: 2(3),“4():(,2;:,)xye4(2,)e2. 计算反常积分 . 21(ln)edx 1ln1l3ex3. 一个由曲线段 绕 轴旋转形成的容器内装满了比重为 的均匀液体, 240yy如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. 408()3yWd四. ( )试用适当的换元
15、法求微分方程 的通解.82()1dyx 22 2arctnuyxuxcd五. ( )试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上 , 像集是闭区间8的函数未必连续. 最值定理; 介值定理; 反例略六. ( )计算由曲线 , 该曲线经过坐标原点的切线以及 轴所围成图形的面积, 并10 2xyey求该图形绕 轴旋转所得旋转体的体积.x切线: ;切点: ; 121 122 20 03();()41x xxeeAedVed七. ( )试求微分方程 的通解.10 2“cosy 2 2123;*in;cosincos6iyxBCDxEyCxxx 八. ( ) 是以 为周期的连续函数, 若
16、, 求极限 .(fT0()TftdA01lm()xftd 00() (0) ()limlimliTnnTn nT T fttdft AnT 9同济大学 2013-2014 学年第一学期高等数学 B(上) 期终试卷一. 选择与填空题( )38241. 极限 6lim)1nne2. 利用定积分的几何意义，积分 4228xd93. 微分方程 的通解为“10y4312xxyCe4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线 ，我()yfx方拦截导弹的阵地位于 轴正向 公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度x20的两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射
17、，并且我方导弹的运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为 ，则该点满足的方程为0(,)xy22001()()fdxfx5. 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 0x【 】A充分条件; 必要条件; 充分必要条件 ; 无关条件.()()B()C()D6. 是连续函数, 曲线段 的弧长 的计算公式为 ()fx )xaftdxbs【 】C; ; 2()()baAsfdx 2()()baBsfd; 无关条件.1 1Dx7. 函数 具有三阶连续导数，如果 ，则下列四项积分中，积分值()fx“()0,fxb确定为正数的积分为 【 】A; ;()()baIffxd ()()baBIfxd; .C
18、“D8. 利用换元 , 积分 等于 ln(1)xt20()xfed【 】D10; ; ; .20(1)ftAd210()()eBftd20(1)eftCd210()()eftDd二. 计算下列各题( )631. 试计算由 所确定的曲线在 点的切线方程.2lnxy(,) 213 470(3)xyxy2. 求由参数方程 所确定函数 的导数 .txey)2;dyx 2232();t ttdeedx3. 求不定积分 1xd 32(1)c4. 曲线段 的弧长为 , 是 平面上与 距离不超过 的点集,3:()LyasnDxoyLn即 , 的面积为 ,求极限 .22,)()nDxynA2limn 22()s
19、三. ( )计算反常积分 . 8 31arctnxd 121arctarct2xx四. ( ) 具有二阶导数, 如果极限 , 求 .fx 20()limxff(0),“(0)ff (1 6f五. ( )可导函数 满足方程 , 求函数 .8()fx 40()()xftfd()fx 2321,213xxe六. ( )求函数 的单调区间与极值, 并求出该函数在区间 上的最值.10 231xye , 231()(,1,);2xe极小 ,极大 ; 41y)ye1minmax(),(2yyee七. ( )计算由曲线 , 直线 以及 轴所围图形的面积 ; 并求出由该图10 2xe41e形绕 轴旋转所得旋转体的体积. y
