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1、近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1.剩余类加群 Z12有_个生成元.2、设群 G 的元 a 的阶是 n，则 ak的阶是_.3. 6 阶循环群有_个子群.4、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为。menmn5. 模 8 的剩余类环 Z8的子环有_个.6.整数环 Z 的理想有_个. 7、n 次对称群 Sn 的阶是。8、9-置换 分解为互不相交的循环之积是。72816934595219.剩余类环 Z6的子环 S=0,2,4，则 S 的单位元是_.10. 中的所有可逆元是：_.2411、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_同构。12. 设 为循环群，那么

2、（1）若 的阶为无限，则 同构于_， （2）若()GaaG的阶为 n，则 同构于_ 。13. 在整数环 中， =_； Z2314、n 次对称群 Sn的阶是_.15. 设 为群 的子群，则 是群 的子群的充分必要条件为_。12,AG21AG16、除环的理想共有_个。17. 剩余类环 Z5的零因子个数等于_.18、在整数环 Z 中，由2，3生成的理想是_.19. 剩余类环 Z7的可逆元有_个.20、设 Z11是整数模 11 的剩余类环，则 Z11的特征是_.21. 整环 I=所有复数 a+bi(a,b 是整数)，则 I 的单位是_.22. 剩余类环 Zn是域 n 是_.23、设 Z7 =0，1，2

3、，3，4，5，6是整数模 7 的剩余类环，在 Z7 x中, (5x-4)(3x+2)=_.24. 设 为群， ，若 ，则 _。Ga128a25、设群 G=e，a 1，a 2，a n-1 ，运算为乘法，e 为 G 的单位元，则 a1n =_.26. 设 A=a,b,c，则 A 到 A 的一一映射共有_个.27、整数环 Z 的商域是_.28. 整数加群 Z 有_个生成元.29、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么 是一个域当且仅当 是。RIRRII30. 已知 为 上的元素，则 _。12345S131. 每一个有限群都与一个_群同构。32、设 I 是唯一分解环，则 Ix与唯一分解环的

4、关系是。二、基本概念的理解与掌握。（二）选择题1.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中含有（ ）个元素。A.2 B.5 C.7 D.102.设 ABR(实数集)，如果 A 到 B 的映射：xx2， xR，则 是从 A 到 B 的（ ）A.满射而非单射 B.单射而非满射C.一一映射 D.既非单射也非满射3.设 Z15是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。A.2 B.4C.6 D.84、G 是 12 阶的有限群，H 是 G 的子群，则 H 的阶可能是( ) A 5； B 6； C 7； D 9.5、下面的集合与

5、运算构成群的是 ( )A 0，1，运算为普通的乘法；B 0，1，运算为普通的加法;C -1，1，运算为普通的乘法； D -1，1，运算为普通的加法;6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立;C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )A 在环的同态满射下，理想的象是理想;B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身.8.整数环 Z 中，可逆元的个数是( )。A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.无限个9. 设 M2(R)= a,b

6、,c,dR，R 为实数域 按矩阵的加法和dcba 乘法构成 R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环10. 设 Z 是整数集，(a)= ， ，则 是 R 的( ).为 奇 数 时当 为 偶 数 时当 a,21ZaA. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是 R 的变换11、设 A=所有实数 x，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集 的同态满射的是( ).A、x10x B、x2xC、x|x| D、x-x .12、设 是正整数集 上的二元运算，其中 （即取

7、 与 中的最大者） ，Zmax,bab那么 在 中（ ）A、不适合交换律 B、不适合结合律C、存在单位元 D、每个元都有逆元.13.设 =（1） ， （1 2） ， （1 3） ， （2 3） ， （1 2 3） ， （1 3 2），则 中与元（1 2 3）3S S不能交换的元的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4.14、设 为群，其中 G 是实数集，而乘法 ，这里 为 中固定的, :abkG常数。那么群 中的单位元 和元 的逆元分别是（ ）,exA、0 和 ； B、1 和 0； C、 和 ； D、 和xk2(2)x15、设 是有限群 的子群，且 有左陪集分类 。如果 6,那H,Habc

8、H么 的阶 （ ）GA、6 B、24 C、10 D、1216.整数环 Z 中，可逆元的个数是( ).A、1 个 B、2 个 C、4 个 D、无限个。17、设 是环同态满射， ，那么下列错误的结论为（ ）:fR()fabA、若 是零元，则 是零元 abB、若 是单位元，则 是单位元C、若 不是零因子，则 不是零因子 D、若 是不交换的，则 不交换2R1R18、下列正确的命题是（ ）A、欧氏环一定是唯一分解环 B、主理想环必是欧氏环C、唯一分解环必是主理想环 D、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集 A 的代数运算( ).A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b= baC

9、. A=Q, a b= D. A=R, a b=a+b+abb20. 设 A=所有非零实数 x,A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集 的同态满射的是( ).AA. x-x B. x x1C. x D. x5xx121. 在 3 次对称群 S3中，阶为 3 的元有( ).A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个22剩余类环 Z6的子环有( ).A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个23、设 和 都是群 中的元素且 ，那么 （ ）cba,xGxacbcax,12 A. ； B. ； C. ； D. 。11c b124、设 是一个群同态映射，

10、那么下列错误的命题是（ ）21:fA. 的同态核是 的不变子群;f1GB. 的不变子群的象是 的不变子群。12C. 的子群的象是 的子群；D. 的不变子群的逆象是 的不变子群；2G1G25、设 是群 的子群，且 有左陪集分类 。如果 6，那么 的HcHba, G阶 （ ）A.6； B.24； C.10； D.12。（三）判断题（每小题 2 分，共 12 分）1、设 、 、 都是非空集合，则 到 的每个映射都叫作二元运算。 （ ）ABDBAD2、除环中的每一个元都有逆元。 （ ）3、如果循环群 中生成元 的阶是无限的，则 与整数加群同构。 （ ）aGG4、如果群 的子群 是循环群，那么 也是循环

11、群。 （ ）H5、域是交换的除环。 （ ）6、唯一分解环 的两个元 和 不一定会有最大公因子。 （ ）Iab7、设 f： 是群 到群 的同态满射，a ，则 a 与 f (a)的阶相同。 （ ）GG8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。 （ ）9、循环群的子群也是循环群。 （ ）10、整环 I 中的两个元素 a，b 满足 a 整除 b 且 b 整除 a，则 ab。 （ ）11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。 （ ）12、只要 是 到 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 。 （ ）fA1f13、如果环 的阶 ，那么 的单位元 。 （ ）R2R1014、指数为 2 的子群不是不变子群

12、。 （ ）15、在整数环 中，只有1 才是单位，因此在整数环 中两个整数相伴当且仅当这ZZ两数相等或只相差一个符号。 （ ）16、两个单位 和 的乘积 也是一个单位。 （ ）17、环 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。 （ ）K18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。 （ ）19、整环必是唯一分解环。 （ ）20、在唯一分解环 中， 是 中的素元当且仅当 是 中的不可约元。 （ ）pKpK21、设 是唯一分解环，则 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最K大公因子相伴。 （ ）22、整数环 和环 都是主理想环。 （ ）ZQx23、 是主理想环

13、当且仅当 是唯一分解环。 （ ）KK24、整数环 、数域 上的一元多项式环 和 Gauss 整环 都是欧氏环。 （ PPxZi）25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。 （ ）26、欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整环。 （ ）27、设环 的加法群是循环群,那么环 R 必是交换环. （ ）R28、对于环 R,若 是 的左零因子,则 必同时是 的右零因子. （ ）aa29、剩余类 是无零因子环的充分必要条件是 为素数. （ ）mZm30、整数环是无零因子环，但它不是除环。 （ ）31、 是 的子域. （ ）CS02 M232、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。 （ ）3

14、3、理想必是子环,但子环未必是理想. （ ）34、群 的一个子群 元素个数与 的每一个左陪集 的个数相等. （ ）GHaH35、有限群 中每个元素 的阶都整除群 的阶。 （ ）aG三、基本方法与技能掌握。（四）计算题1设 为整数加群, ,求 ?:Z解 在 Z 中的陪集有:, , , , 所以, .5:H2、找出 的所有子群。3S解：S 3显然有以下子群：本身；（1） ）=（1）；（12） ）=（12） ， （1）；（13） ）=（13） ， （1）；（23） ）=（23） ， （1）；（123） ）=（123） ， （132） ， （1） 若 S3的一个子群 H 包含着两个循环置换，那么 H

15、含有（12） ， （13）这两个 2-循环置换，那么 H 含有（12） （13）=（123） ， （123） （12）=（23） ，因而 H=S3。同理，若是 S3的一个子群含有两个循环置换（21） ， （23）或（31） ， （32） 。这个子群也必然是 S3。 用完全类似的方法，可以算出，若是 S3的一个子群含有一个 2-循环置换和一个 3-循环置换，那么这个子群也必然是 S3。3求 的所有子群。18Z解 的子群有;.4 将 表为对换的乘积.解 .容易验证: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5 设按顺序排列的 13 张红心纸牌A, 2, 3, 4, 5, 6,

16、 7, 8, 9, 10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为则 3 次同样方式的洗牌所对应的置换为6 在 中 , 计算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .6Z解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) .7试求高斯整环 的单位。解 设 ( ) 为 的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是 的单位. 所

17、以 恰有四个单位: 8 试求 中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素.12Z解 由定理可知:(1) 为 的全部零因子.12Z(2) 为 的全部可逆元. 直接计算可知 , 相应的逆元为, , , .9、找出模 6 的剩余类环 的所有理想。6Z解：R=0，1，2，3，4，5。 若 I 是 R 的一个理想，那么 I 一定是加群 R 的一个子群。但加群 R 是循环群，所以它的子群一定也是循环群，我们有G1=（0）=0 G2=（1）=（5）=R G3=（2）=（4）=0，2，4 G4=（3）=0，3 易见，G 1，G 2，G 3，G 4都是 R 的理想，因而是 R 的所有理想。10 在 中,

18、 解下列线性方程组:Z解: 916325161253yx即 , .11求 的所有子环.18Z解 设 为 的任一子环, 则 是 的子加群, 而 为有限阶循环群, 从18Z18Z而 也是循环群, 且存在 , , 使得 . 的可能取值为 1, 2, 3, 6, 9, 12。相应的子加群为,.直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 的子环. 18Z于是 恰有 6 个子环: 18Z12. 试求 的所有理想.解 设 为 的任意理想, 则 为 的子环， 则, , 且 .对任意的 , , 有, 从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域 上的多项式

19、环 的理想 是怎样的一个主理想。Fx253(1,)x解 由于 ，所以 ，于是得53321x253,1x。21, Fx14、在 中, 求 的全部根.解 共有 16 个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列 4 个元素, , , 为 的根.15试举例说明，环 中的 m 次与 n 次多项式的乘积可能不是一个xRm+n 次多项式.解 例如，环 中多项式Z6与 532)(3xxf 13)(2xg的乘积 就不是 3+2 次多项式.424g16.求出域 上的所有 2 次不可约多项式.3解 经验算得知， 上的 2 次不可约多项式有三个，它们是：3Z.1,1,122 xxx17、指出下列哪些元素

20、是给定的环的零因子.(1) 在 中.设 .)(2FM 240-B,0 CA(2) 在 中,它的全部零因子是哪些.12Z(3) 中有零因子吗 ?解 (1) 是零因子,但 不是.CA0|B(2) 中的零因子为12Z10,986432(3) 中没有零因子 .18.求二阶方阵环 的中心.)(2RM解 高等代数已经证明，n 阶方阵 A 与任何 n 阶方阵可交换 A 是纯量矩阵.因此的中心 )(2R.10kC19举例说明，非零因子的象可能会是零因子.解：设 是环同态满射,其中: .则显然 是整环， 所以 中没6:ZnZZ有零因子。但在 中, 和 、 都是零因子.即 2 显然不是 中的零因子,但234却是 中的零因子 .这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.2620.设 R 为偶数环.证明：.4RrN问： 是否成立？ N 是由哪个偶数生成的主理想？