1、1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。解：已知理想气体的物态方程为 ,pVnRT（1）由此易得 11,p（2）,VnRT（3）2111.TTTpp（4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量 ,T的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：lnTV=dp如果 1,Tp，试求物态方程。解：以 ,为自变量，物质的物态方程为 ,VTp其全微分为 .pTdd（1）全式除以 V，有 11.pTdVddpT根据体胀系数 和等温压缩系数 T的定义，可将上式改写为 .dVdp（2）上式是以 ,Tp为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ln.T（
2、3）若 1,Tp，式（3）可表为 1ln.VdTp（4）选择图示的积分路线，从 0(,)积分到 0,，再积分到（ ,Tp） ，相应地体积由 0V最终变到 ，有 00ln=ln,VTp即 0pCT（常量） ，或.pV （5）式（5）就是由所给 1,Tp求得的物态方程。 确定常量 C 需要进一步的实验数据。1.3 在 0C和 1 n下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 5714.8K.80.npT和 T和 可近似看作常量，今使铜块加热至 。问：（a）压强要增加多少 n才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加 100 np，铜块的体积改变多少？解：（a）根据 1.2 题式（2） ，有 .T
3、dVdp（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差 dV，温度差 dT和压强差 dp之间的关系。如果系统的体积不变， 与 T的关系为.Tdp（2）在 和 T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 2121.Tp（3）将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3） 。 但是应当强调，只要初态 1,VT和终态 2,V是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3） 。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可
4、以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3） 。将所给数据代入，可得 52174.80162.npp因此，将铜块由 0C加热到 ，要使铜块体积保持不变，压强要增强 62np（b）1.2 题式（4）可改写为 21211 .TVp（4）将所给数据代入，有 5714.80.807.V因此，将铜块由 0C加热至 ，压强由 1np增加 n，铜块体积将增加原体积的 4.1倍。1.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数 T数值都很小，在一定温度范围内可以把 和 T看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为 00(,),1.TVTpp解:
5、 以 ,为状态参量，物质的物态方程为 ,.VTp根据习题 1.2 式（2） ，有 .Tdd（1）将上式沿习题 1.2 图所示的路线求线积分，在 和 T可以看作常量的情形下，有 000ln,TVp（2）或 000,.TpVTpe（3）考虑到 和 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 T的线性项，有 000,1.TTpp（4）如果取 0，即有00,1.TVTpp （5）1.5 描述金属丝的几何参量是长度 L，力学参量是张力 J，物态方程是 ,0fJT实验通常在 1 np下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为 1JLT等温杨氏模量定义为 TYAL其中 A是金属丝的截面积，一般来说， 和 Y是
6、T 的函数，对 J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 1降至 2时，其张力的增加为 21JYAT解：由物态方程 ,0fL（1）知偏导数间存在以下关系： 1.JLTT（2）所以，有 .LJTAY（3）积分得 21.JYAT（4）与 1.3 题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差 21,JLTJ就满足式（4） ，与经历的过程无关。1.6 一理想弹性线的物态方程为 20,LJbT其中 L是长度， 0是张力 J 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数，b是常量. 试证明：（a）等温扬氏
7、模量为 20.bTYAL在张力为零时， 03.其中 A 是弹性线的截面面积。（b）线胀系数为 3031,2LT其中 001.dLT（c）上述物态方程适用于橡皮带，设 313K,1.0NK,Tb6240m5A，试计算当 0L分别为 .5,10.和 2.时的,JY值，并画出 ,JY对 0的曲线.解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为 20,LJbT（1）由此可得等温杨氏模量为 22001.TLLLJbTYbAA（2）张力为零时， 03,.L（b）线胀系数的定义为 1.JLT由链式关系知 1,LTJ（3）而 2002203,1,LT LdJbbT所以 2 30020330 111.12LLdL
8、bbTT（4）（c）根据题给的数据，,JY对 0L的曲线分别如图 1-2（a） ， （b） ， （c）所示。1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强 0p时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 U与原来在大气中的内能 0U之差为0UV，其中 0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能 与其原来在大气中的内能 0由式（1.5.3）UWQ（1）确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换， 0.Q过程中外界对系统所做的功可以分为 1和 2W两部分来考虑。一方
9、面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由 0V变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强 p可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的） 。过程中大气对系统所做的功为 100.WpV另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则 2.因此式（1）可表为 0.UpV（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10） ，有0,pVnRT（3）0 0()()1UC（4）式中 n是系统所含物质的量。代入式（2）即有 0.T（5）活门是在系统的压强达到 p时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作 0p，其物态方程为 00.Vn
10、R（6）与式（3）比较，知 0.（7）1.8 满足 npVC的过程称为多方过程，其中常数 n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量 nC为1nV解：根据式（1.6.1） ，多方过程中的热容量0lim.nTnnnQUCpT（1）对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函数， ,VnC所以 .nVnCpT（2）将多方过程的过程方程式 与理想气体的物态方程联立，消去压强 p可得 1nTV（常量） 。 （3）将上式微分，有 12()0,nndVTd所以.(1)nVT （4）代入式（2） ，即得 ,(1)nVVpCCn（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9） 。1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 n如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数 npVC。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有 .dUQW（1）对于准静态过程有 ,pdV对理想气体有 ,VCT气体在过程中吸收的热量为 ,nQd因此式（1）可表为 ().nVCTp（2）用理想气体的物态方程 pvR除上式，并注意 ,pVCvR可得()().nVpVdd（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有 .Tp（4）式（3）与式（4）联立，消去 d，有()()0.nVnpVCC（5）
