1、1概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题（含答案）1.设 A，B 是两个事件， ，求 。61)|(,31)(BAPAP)|(BAP解： 127)()(1)(|( P2.有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为 0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。解：设事件 A,B,C 分别表示甲、乙、丙火炮命中目标（1） 72.05.801)()(1)(1)( CPBACBPBAP（2） 4.)()()()()( C3.盒中有 10 个合格品，3 个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回盒中，以 X 表示直到取到第一
2、件合格品为止所需检验次数，求：（1） X 的分布律；（2） 求概率 。P解：X 的全部可能取值为 1，2，3，4(1) ， ， ，01201023XP4XX 的分布律为:X 1 2 3 4kp30651452861(2) XPP4.某汽车加油站的油库每周需油量 X(kg)服从 N（500，50 2）分布.为使该站无油可售的概率小于 0.01，这个站的油库容量起码应多大？（注： ）9.0)35(解：设这个站油库容量为 h（ kg）时能满足题目要求，则 01.)(hXP即 ，由已知得： ，则9.0)5()(XP 325.2.61kgh25.从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取 6 个产品,测得蓄电池
3、的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂 135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的 95%置信区间。（ ）281.)0(,1.7,5.,.138,5.402522_ tSYX注 ：解 091由已知可得 可得3.72,1.7,.,.138,5.4 1221_ SS，两工厂生产的蓄电池的容量均值差的 0.95 的置信区间为7.2S=47.327.281.513.4061)26(025._ StYX-1.47，5.476.某卷烟厂生产甲、
4、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,得子样观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27。假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平 =0.05， ）？（注 ）28.)10(,3.;74.225.1 ts解： 0: H检验统计量为 ， 的拒绝域为21nsYXtw0H)2(|12ntW由已知得： .3,67.5,;74.,5.,6 221 synxn于是.09761049.3.251)()(2221nsyxt sssww3.,28.097. .28)10()2(10,
5、5 5.121 异尼 古 丁 含 量 没 有 显 著 差即 可 以 认 为 两 种 香 烟 的所 以 不 拒 绝因 为 由 已 知 得自 由 度对 Ht tntnaa 7.某公司所属 8 个企业的产品销售资料如下表：企业编号 产品销售额（万元） 销售利润（万元）1234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0要求：计算产品销售额与利润额之间的相关系数。确定利润额对产品销售额的直线回归方程。确定产品销售额为 1200 万元时利润额的估计值。解答：（1）r=0.9934（2）b=0.0742， a=-7.273（3）x
6、=1200 时，y=-7.273+0.07421200=81.77 （万元）8.在其他条件不变的情况下，某种商品的需求量（y）与该商品的价格（x）有关，现对给定时期内的价格与需求量进行观察，得到下表所示的一组数据。价格 x（元） 10 6 8 9 12 11 9 10 12 7需求量 y（吨） 60 72 70 56 55 57 57 53 54 70要求：计算价格与需求量之间的简单相关系数。拟合需求量对价格的回归直线。确定当价格为 15 元时，需求量的估计值解答：（1）r=-0.8538（2）b=-3.1209 a=89.74（3）x=15 时，y=89.74-3.120915=42.93（
7、吨）9.若机床使用年限和维修费用有关，有如下资料： 机床使用年限（年） 2 2 3 4 5 5维修费用（元） 40 54 52 64 60 80计算相关系数，并判断其相关程度。解： 81.0352168360)()( 22222 ynxnyr说明使用年限与维修费用间存在高度相关。410.设 A、B 为两个事件且 P(A)=0.6，P(B)=0.7.问：（1）在什么条件下 P(AB)取最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P(AB)取最小值，最小值是多少？解：（1） ，1)S(PAB()P()BA(P)7.0 即： ，所以（1）当 时， 最大，且 ，6.(P3.6.0)A(（2）当 时， 最
8、小，且 。SBA)( .3)P(-)()( P11.袋中有 3 个白球和一个红球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第 3 次摸球时摸到红球的概率？解:设 第 次摸球时摸到红球:i ),21(i12 233313123()()()4456PAPAAP12.从大批彩色显像管中随机抽取 100 只,其平均寿命为 10000 小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布.已知均方差 小时,在置信度 0.95 下求出这批显像管平均寿命的置X0信区间。 （注： =1.96）025.z解：这批显像管平均寿命的置信区间为 )84.107,6.92()46.1
9、0()141()( 025.2/ znz13.为检验两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计了一个试验，用两架仪器同时对一组 10 只热炽灯丝作观察，得数据如下：X（） 1050 825 918 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550Y（） 1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545其中 X 和 Y 分别表示用第一架和第二架高温计观察的结果，假设 X 和 Y 都从正态分布，且方差相同，试根据这些数据来确定这两只高温计所确定得温度读数之间有无显著差异（=0.05）?（注： ）.1092)8(05.t 3.
10、5017,2.5197,8,2.62xSSyx解：根据条件 里的问题归结为假设这且 .)(,21NY。检 验 问 题对 21210:,:H由于两个总体 X 和 Y 的方差未知，但根据条件 DX=DY，所以用 t 检验. 检验统计量为5.mnsYXtw1根据条件 由已知得.05,182,0, anv于是，由知假设 H0的否定域为.12)8()(05.2tvt .12tW由已知得 .37,.597,.6922YxSSyx)1()(22nmSyxw .4251618.0.09)10(42.51679nSYXtw由于 所以不能否定假设 H0.因此可以认为两架高温计所确定的温度读数之,.0.t间无显著差
11、异.14.设 ， 。在下列三种情况下求 的值：31)A(P2)B()AB(P（1） ；（2） ；（3） 。81)(解：（1）由 ，得 ，所以 。 ；A21)(（2）当 时， ；B 6)A(PB)(P)B(P)( （3） 。83)()(P15.设有甲乙两袋，甲袋中装有 3 只白球、2 只红球，乙袋中装有 2 只白球、3 只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：设事件 A=“从甲袋放入乙袋的是白球” ， 事件 B=“从乙袋中取出两白球” 。已知 15)|(,51)|(,5)( 26263CAPCABPP(B)= P( )P( )+ P( )=)( 7
12、316.从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都6是 ，求：31（1）以 X 表示途中遇到的红灯次数，求 X 的分布律；（2）以 Y 表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求 Y 的分布律；（3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。解：（1） )31,6(B6,.210,26kCkXPk（2） ， ，, 310Y3YP6)(;5,.2,)(pkk(3) 910)1XP17.产品的某一指标 ，已知 ， 未知.现从这批产品中抽取 只对),(2N04.n该指标进行测定,问 需要多大 ,才能以 95%的可靠性保证 的置信区间长度不大于n0.01?（ ）9
13、6.1z025.注 ：解： 的置信度为 0.95 的置信区间为：，)/04.961()04.()( 25.2/ nXnzXnzX则 ，即 。01./4.09612618.某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为 9.73 根，均方差为 1.60 根。现在把经纱上浆率降低 20%，抽取 200 台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为 9.89 根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平 =0.05）？（ ）96.1z025.注 ：解： ： ， ：H73.01H0检验统计量为 ， 的拒绝域为
14、 。nXU0z|2uW计算得 ，89.x 41.206.173.980xu对 ，由已知得 因为 ，所以不拒绝 H0，即可以认为上05.az2a 6.u7浆率降低后对断头率没有显著影响。19.将一枚骰子重复掷 n 次，试求掷出的最大点数为 5 的概率。 解：设 , n 次掷出的点数 5，有 种不同结果，而 n 次掷出的点数5最 大 点 数 为An4，有 种不同结果。所以 n 次掷出的最大点数为 5，有 种不同结果。故所求概n n4率为 。np64)(20.掷 3 颗骰子，若已知出现的点数没有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的概率。解：设 A:出现的点数没有两个相同,B:至少有一个出现一点 214
15、563)(|( APB21.某种疾病的发病率为 0.01,求下列概率的近似值。(1)100 个人中恰有一人发病的概率为多少？(2) 100 个人中至少有一人发病的概率为多少？解： 设 X-100 人中发病的人数，则 10.),01.(BX(1) 19.011eXP(2) 110.)()( 22.设 XN(0,1).求 使：（ 1）P|X|b=0.05 ； (3)PXb=0.05。 b（注： , ）52.0)6.(95.0)64.(解：（1）由 ，则 ，即P05.)(bXP, ，则 ,由已知得.)(b.1)(b2(065.b（2）由 ，则 ， ，由已知得：05X99.) 41（3）由 ，即 ，
16、，由已知得 ，则.)(P05.)(50(b.64.1b23.生产一个零件所需时间(单位：秒) ,观察 25 个零件的生产时间得)(2NX, 。试求 和 的置信区间（ ） 。 5.x73.1s205.8（ ）06.2)5(,064.2)(,401.2)5(,64.39)2( .5.20.05. tt注 ：解： 的置信度为 0.95 的置信区间为： ).21,79.4()3.1.()73.(.()1(025.2/ tnstx的置信度为 0.95 的置信区间为 )792.,81()40.1273,65.3924(),)24()1(,)1( 975.0205.2/2/ Snsns24.由累积资料知道甲
17、、乙两煤矿的含灰率分别服从 及 。现从两矿),(21N),(2各抽几个试件，分析其含灰率为：甲矿：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4（%） ；乙矿：18.2，16.9，20.2，16.7（%） 。问甲、乙两矿所采煤的平均含灰率是否有显著差异（=0.05）？（ 61.S,74.2,603.)8(,536.2)7(,10.)3,4(,10.5)3,4(: 10.5.975.025. ttF注）解：首先检验两矿含灰率的方差是否相等。21210: H检验统计量为 ， 的拒绝域为：2SF0 )1,()1,( 2121 nFnW经计算： ;6.;74.21s ;896.7422s对 ：得第
18、二 自 由 度第 一 自 由 度 ,31,1,05. 2nna 102.),4(),(0.5)3,4()( 975.01025.212 FFFnF因为 0.10022.98615.10,所以不拒绝 H0，即可以认为 .21然后检验两矿的平均含灰率是否相等。21210: H检验统计量为 ， 的拒绝域为21nsYXtw0 )2(|12ntW9。536.2)7()2(,4,50. 05.1221 tntnaa由 已 知 得由经计算： 6,8;7.,.sysx.2451324.851.)()(221nsyxtnww。有 显 著 差 异认 为 两 矿 平 均 含 灰 率 没接 受因 为 ,364.25.
19、0Ht25.一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为 1、2、10 的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求：（1）最小号码为 5 的概率；（2）最大号码为 5 的概率；（3）一个号码为 5，另外两个号码一个大于 5，一个小于 5 的概率。解： ，2最 大 号 码 为A1最 小 号 码 为A， 5553 ， 一 个 小 于， 一 个 大 于一 个 号 码 为(1) 所求概率 ;（2）所求概率 ； （3）所求概1)(30251CAp 201)(342CAp率 6)(31045326.袋中装有 5 枚正品硬币、3 枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽） 。从袋中任取一枚硬币，将它投掷 3 次，
20、已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？解：设事件 A=“所取硬币为正品” ，事件 B =“所取硬币掷 3 次均出现国徽” 。所求概率为 P( A |B)= )(P)(PABP(A) = ，P( B |A) = ，P( ) = ，P( )=1。8532/18所以 P( A | B)= 。958231027.袋中装有编上号码 1,2,9 的九个性质相同的球，从袋中任取 5 个球，以 X 表示所取的 5 个球中偶数号球的个数，求：（1） X 的分布律；（2） 其中至少有两个偶数号球的概率。解：X 的全部可能取值为 0，1，2，3，4（1） ， ，, 59CP5941CXP 4,321
21、0,594kCkXP（2） 601594128.从大批彩色显像管中随机抽取 100 只,其平均寿命为 10000 小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布.已知均方差 小时,在置信度 0.95 下求出这批显像管平均寿命的置X4信区间。 （注： ）96.1250.z解：这批显像管平均寿命的置信区间为 )84.107,6.92()46.10()14()( 025.2/ znz29.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的均方差为 0.048。某日随机抽取 5 根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著水平 =0.1）？（注： ）0.82S,7.)4(,8.9)4(295.0205. 解： ： ， ：H11H检验统计量为 ，202)(n的拒绝域为: 0 )1()1( 22 nW计算得， ，8.S 507.3048.20Sn对 ，自由度 n-1=4，得,1.0a 7.)()1(,48.9)()( 295.0225.2 nn因为 ，所以拒绝 H0，即可以认为该日的方差与往常的方差有显.7.3著差异。
