1、教学角度解决分式方程“验根”问题姓 名 谭雪 学 号 2150402119 年 级 2015 级 专 业 学科教学（数学）完成时间 2015.7.6 目录一、问题的提出 .31. 研究背景 .32. 研究问题 .3二、文献综述 .31、与分式方程有关的的数学知识 .32、与分式方程验根问题的相关研究 .41.1 增根的由来 .41.2 分式方程的解法 .61.3 增根与无根的辨析 .81.4 验根问题 .10三、研究设计 .121. 研究对象 .122. 研究方法 .123. 研究工具 .12四、研究结果 分式方程教学设计 .13附录一：调查问卷（教师版） .19关于教师对中学学生“验根问题”
2、错因的调查 .19参考文献 .20一、问题的提出1. 研究背景随着素质教育的推进，新课程改革如火如荼的进行着，数学学科的改革也随之在迸发出新生概念，在这样一个素质为主的教育环境下，培养学生的数学思维和数学素质逐渐走进了数学教学，走上了数学讲台。无论是在课上，还是在课下校园中处处都透露着对学生思想的积极影响因素，这其中教材、教学当是对学生影响最大的两个因素。本文以分式方程为例，以目前教材、教学中对求解分式方程所存在的问题为载体，意在提供一种新的求解分式方程的解题思路，从而从根本上解决“验根”问题。2. 研究问题在初中教学成果测验中，分式方程“验根”是大部分初中生存在的问题：学生由于没有验根导致求
3、解分式方程错误，将增根作为方程的解。本文针对这个问题对目前教材在分式方程问题的处理、教师的教学设计、学生的学习习惯等方面进行研究，找到问题出现的最根本原因，以期能够从教学角度在根本上解决“验根”问题。二、文献综述1、与分式方程有关的的数学知识1.1 分式：一般地，如果 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子,ABB叫做分式. 1B1.2 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2。1.3 增根（北师大版）：求解分式方程 后，对增根这样描述：12x在这里， 不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它2x为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为
4、零的整式 3。1.4 无解：方程本身就是一个矛盾的等式，无论未知数取何值，都无法使得这个方程两边的值相等 4。2、与分式方程验根问题的相关研究1.1 增根的由来分式方程在中国最早出现在测圆海镜 ，由数学家李治编写的，其中七卷二题有这样的式子： 2 2653046840xx作者把上述方程左右两边同时乘以 ，得到2x42860534650x如今看这上下两个方程，可以得到它们是同解的，并没有出现增根的问题。但事实上，这个方法就是将分式方程转化为整式方程求解的雏形，只是无法考究在转化之后李治先生是否有验根的过程，或者他在这个时候是否意识到了分母不能为 0 这一基本事实。这个文献是李治完成于 1248
5、年，比西方国家对分式方程的研究早了 600 年。600 年以后的西方国家在，有人认为初等代数中根本不包含分式方程。直到英国著名盲人数学家、剑桥大学第四任卢卡斯数学教授桑德森给出了分式方程的这样一种解法：4235x4235()()8xx紧接着，他还给出了以上解法的逆过程： 75642310()(2)4352xx于是原方程的根为 8但是在桑德森的解法中，正向的过程包含了方程两边同时除以 ，但这时x就涉及到了 是否为 0 的问题。如果 ，那么步骤是成立的。但如果 ，x0x0对方程做两边同除 的处理是没有意义的。同理可得，在桑德森逆向的过程中x包含了方程两边同时除以 ，如果 或 ，那么这一步骤也是(2
6、)3x2x3没有意义的。由这一解法我们可以认为桑德森在此时是没有增根和丢根意识的。这与当时的数学发展背景有关，直到 1880 年， “零能否作除数”被分析的严密化运动牵扯出来，并在很多国家中被当做一个“重要问题”讨论。德国数学家李普西斯（R.Lipachitz） 、哈克奈尔（A.Hamack） 、奥地利数学家斯托尔茨（O.Stolz，1842-1905）相继指出零不能作除数。这个命题与分式方程的求解有着极其密切的关系。这个问题的讨论引起了一些数学家的重视，他们开始把分式方程作为一个专门的课题来研究，可以说这次运动也在一定程度当促进了分式方程求解的发展。直到 1882 年，美国康乃尔大学 3 位
7、数学教授奥里佛（J.E.Oliver）、威特（L.A.Wait）和琼斯（G.W.Jones）在他们合著的代数中讨论了分式方程的解法.他证明了下面的定理：定理：方程两边乘以同一个数，若这个数既不是未知的函数，也不是 0 或，则方程的根不变。这个定理与现代的方程同解定理有着异曲同工之妙：在解方程组中，必须对方程（组）进行数学变形，使之转变为最简单的方程（组） ，然后，求得方程（组）的解集。在变形和运算过程中，有时会改变原方程（组）的定义域，使求得的解集 与原方程的解集 不相同，当 真MM包含 时， 中含有某些解不是原方程的解，称这些解为原方程的增根，反M之称为失根。在分式方程的变形中，变形后的定义
8、域范围扩大，所以必须对分式方程进行验根 5。三位数学家已经有了解分式方程的办法，但是可以看到这个方法依然是存在缺陷的。他们认为在方程的两边同时乘以分母的最小公倍式，得到的多项式方程与原方程的解是相同的。但是这个结论已经被证明是错误的。如 ，两边同时乘以分母的最小公倍式 得到2310xx21x，解得 ，显然 是这个方程的增根。因此用“两2x123x1x边乘以分母最小公倍式”这种方法不能避免增根，要保证结果正确仍然要把所得结果带入原方程进行检验。到了这个阶段，数学家们已经可以认识到“增根和失根”的问题。为了避免在解方程的过程中增加或丢失方程的结果，在宾夕法尼亚大学的任教的数学教授费舍（G.E.Fi
9、sher）和施瓦特（I.J.Schwatt）在代数课本 （Text-Book of Algebra）中给出了另外一种解法：将分式方程进行整理，移项通分，写成的形式，其中 ，此时这个方程的解与 的解相同。()0PxQ(),1PxQ()0Px这种解法就解决了“增根和失根”的问题，并且不需要进行检验。如上题2310xx通分得 ，解得22210310xx13x费舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）给出的解法为求解分式方程画上了完美的句号。至今为止，基础教育求解分式方程仍然沿用以上两种方法，但“乘公倍式，带方程检验”的方法居多。纵观分式方程解法的发展历史，增根的由来可以将“零能否
10、作为除数”作为一个里程碑和转折点。在数学家们开始重视“零能否作为除数”这一命题之前，人们求解分式方程时，没有意识到“方程两边同时乘以一个数，方程的解不变”这一命题中的致命缺陷。而直到人们意识到这个数如果为零，将会改变方程的解时， “增根”这一由于错误的解法而出现的“附属品”才进入人们的视线。1.2 分式方程的解法傅种孙 6老先生认为，“解分式方程之道：第一，先移项通分；第二，不必约分；第三，不可去母；第四，将方程写为下列形状（ 皆不同；1 1()()()()0mll mk nk nxxx ,皆 ）,klmn0第五，每 皆为原方程之一根，当 时，可认为一根（但须改良解释） ；iilk当 时， 非
11、根，遵此而行，可以无大过矣。iili傅先生解分式方程的方法在第三步特别强调了“不可去母” ，也就是说不能去分母。贺军 7认为，分式方程可以由四种换元策略求解。第一类：直接换元例 1. 2()()1501x解： 设 ，则原方程可化为 .解得 .1xy2150y1235y当 时， ，解得33x3;4x当 时， ，解得5y51x5.经检验， 是原方程的根。13,42第二类：配方换元例 2. 解方程 21()3()xx解：原方程配方，得 2()()50设 ，则原方程可化为 解得1xy23.y125y当 时， ，即 ，无解。 1x210x当 时， ，即 ，解得52y5212,.x经检验， 是原方程的根。
12、12,x第三类：倒数换元例 3. 解方程22(1)3xx解： 设 ，则原方程可化为 .去分母整理，21y230y得 解得 230.12当 时， ，左右两边同时乘 ，得 ，解得1y2x21x1x12x当 时， ，左右两边同时乘 ，即 ，y21x21x20x解得 123,.经检验， 是原方程的根。123,1xx第四类：变形换元例 4. 解方程23()421x解：设 ，则左右两边同乘 ，得xy1x()13yx且原方程可变形为 ()42.xy有韦达定理知， 是方程 的两根，解得,130z1267z即 或67xy6xy1234,2,3经检验 都是原方程的根。2xxx姚永华 8认为解分式方程的基本思路是将
13、分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法.1.去分母方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：系数取最小公倍数出现的字母取最高次幂出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号.2.解整式方程移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1求出未知数的值；3.验根求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根.否则这个根就是原分式方程的根.若解出的根是增根，则原
14、方程无解.如果分式本身约分了，也要带进去检验.一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.（1）注意去分母时，不要漏乘整式项（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的解.（3）増根使最简分母等于0.1.3 增根与无根的辨析林燕 9以 4 道习题为例，辨析了分式方程的增根与无解：例 1. 关于 的方程 有增根，求 的值；x12mxm例 2. 关于 的方程 无解，求 的值.对比以上两道例题，分别对同一个分式方程规定“有增根”和“无解”两种情况，从而对比两道题目的解题过程。
15、例 1 解：方程左右两边同时乘以 ，得到 2x12mx3xm方程有增根 ，即0，解得(3)2m例 2 解：方程左右两边同时乘以 ，得到 xxx方程无解 ，即，解得()01可以发现，例 1 和例 2 的解题过程是完全一样的。难道分式方程的增根和无解是等价的吗？林燕的解释是因为上述分式方程中未知数的系数不含有字母，而是具体的数字。也就是说如果分式方程中的未知数的系数不含有未知参数，那么分式方程增根与无解的解答结果是一样的。例 3. 关于 的方程 有增根，求 的值；x12mxm例 4. 关于 的方程 无解，求 的值；x例 3 解：方程左右两边同时乘以 ，得到 212x(1)3mx方程有增根 有解，即
16、(1)3mx0m解得 ，且3x0，解得3201m12m例 4 解：方程左右两边同时乘以 ，得到 x2x(1)3mx方程无解 无解，即 ，解得(1)3x101 的解为增根，即 ，()m32xm，解得32011综上所述 或 时方程无解。m2对比例 3、例 4 两个例题可以发现，同一个分式方程无解和有增根的情况是不同的。在这里在对比例 1、例 2，林燕对两对例题解答过程的不同给出的解释是整式方程中的未知数 在例 3、例 4 中的系数带了参数，而例 1、例 2 则没有。x因此她总结出了这样的求解方法：1. 分式方程两边都乘以分母的最简公分母，得到整式方程；2. 整理整式方程化为 的形式；0ab3. 观
17、察未知数的系数，如果未知数的系数不含有参数，则分式方程有增根和无解的结果是一样的；如果未知数的系数含有参数，则对无解的解答需要分情况讨论：第一种情况是 无解，第二种情况是 有解，但是这x 0axb个解是分式方程的增根。综上，分式方程的无解与增根是不等价的。二者既有区别也有联系。增根是在将分式方程化为整式方程时，方程两边同时乘以了一个“可能为 0”的因式，从而有可能扩大了方程解的范围，解出的整式方程的根使得原分式方程分母为 0。而分式方程无解则包括两种情况，第一分式方程化为整式方程后无解；第二分式方程化为整式方程后有解，但解是原分式方程的增根。1.4 验根问题姜洋，孙朝仁 10强调解分式方程一定要验根。并从反方面提供了例证。一位学生期中考试的答卷上是这样解答分式方程的：例 1. 解方程 132xx
