1、微专题 14 电磁感应中的动力学和能量问题电磁感应中的动力学问题1题型简述：感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)2两种状态及处理方法状态 特征 处理方法平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析3动态分析的基本思路解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件具体思路如下：.电磁感应中的平衡问题(2016全
2、国甲卷)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为 ，上沿相连两细金属棒 ab(仅标出 a 端)和 cd(仅标出 c 端)长度均为 L，质量分别为 2m 和 m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路 abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于斜面向上已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为 R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 g.已知金属棒 ab 匀速下滑求(1)作用在金属棒 ab 上的安培力的大小；(2)金属棒运动速度的大小解析：(1)设导线的张力的大小为 T，右斜面对 ab 棒的支持
3、力的大小为 N1，作用在 ab棒上的安培力的大小为 F，左斜面对 cd 棒的支持力大小为 N2 对于 ab 棒，由力的平衡条件得 2mgsin N 1 T F N12 mgcos 对于 cd 棒，同理有 mgsin N 2 T N2 mgcos 联立式得 F mg(sin 3 cos ) (2)由安培力公式得 F BIL 这里 I 是回路 abdca 中的感应电流， ab 棒上的感应电动势为 E BLv 式中， v 是 ab 棒下滑速度的大小由欧姆定律得 I ER联立式得 v(sin 3 cos ) mgRB2L2答案：(1) mg(sin 3 cos )(2)(sin 3 cos )mgRB
4、2L2对金属棒正确进行受力分析和运动过程分析是解题的关键如图，两个倾角均为 37的绝缘斜面，顶端相同，斜面上分别固定着一个光滑的不计电阻的 U 型导轨，导轨宽度都是 L10 m，底边分别与开关 S1、S 2连接，导轨上分别放置一根和底边平行的金属棒 a 和 b， a 的电阻 R1100 、质量 m120 kg， b 的电阻 R280 、质量 m210 kg.U 型导轨所在空间分别存在着垂直斜面向上的匀强磁场，大小分别为 B110 T， B220 T，轻细绝缘线绕过斜面顶端很小的光滑定滑轮连接两金属棒的中点，细线与斜面平行，两导轨足够长，sin 370.6，cos 370.8， g100 m/s
5、2 开始时，开关 S1、S 2都断开，轻细绝缘线绷紧，金属棒 a 和 b 在外力作用下处于静止状态求：(1)撤去外力，两金属棒的加速度多大？(2)同时闭合开关 S1、 S2，求金属棒 a、 b 运动过程中达到的最大速度？解析：(1)设撤去外力，线拉力为 T，两金属棒的加速度大小相等，设为 a，则 m1gsin T m1aT m2gsin m2a解得 a2 m/s 2(2)a、 b 达到速度最大时，速度相等，设为 v，此时线拉力为 T1， a 中感应电动势为E1，电流为 I1， b 中感应电动势为 E2，电流为 I2，则E1 B1lv， I1 ； E2 B2lv， I2 ，E1R1 E2R2又
6、m1gsin T1 B1I1l0T1 m2gsin B2I2l0联立解得 v10 m/s答案：(1)2 m/s 2 (2)10 m/s.电磁感应中的非平衡问题如图所示，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为 l，左侧接一阻值为 R 的电阻区域 cdef 内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为 s.一质量为 m、有效电阻为 r 的金属棒 MN 置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F0.5 v0.4(N)( v 为金属棒速度)的水平外力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大(已知： l1 m， m 1 kg， R0.3 ， r0.2 ， s1 m)
7、(1)判断该金属棒在磁场中是否做匀加速直线运动？简要说明理由；(2)求加速度的大小和磁感应强度 B 的大小；(3)若撤去外力后棒的速度 v 随位移 x 的变化规律满足 v v0 x，且棒在运B2l2m R r动到 ef 处时恰好静止，则外力 F 作用的时间为多少？解析：(1)是R 两端电压 U I E v， U 随时间均匀增大，即 v 随时间均匀增大，所以加速度为恒量(2) E Blv I F 安 BIlER rF F 安 ma，将 F0.5 v0.4 代入，得：v0.4 a(0.5B2l2R r)因为加速度为恒量，与 v 无关，所以 a0.4 m/s 205 0，代入数据得： B0.5 T.
8、B2l2R r(3)设外力 F 作用时间为 t，则x1 at2 v0 at12x2 v0 x1 x2 s，m R rB2l2代入数据得 0.2t20.8 t10解方程得 t1 s 或 t5 s(舍去)答案：(1)是 (2)0.4 m/s 2 0.5 T (3)1 s如图，足够长的光滑导轨固定在水平面内，间距 L1 m，电阻不计，定值电阻 R15 .质量 m0.25 kg、长度 L1 m、电阻 r0.5 的导体棒 AB 静置在导轨上现对导体棒施加一个平行于导轨、大小为 F125 N 的恒力，使得导体棒由静止开始运动当棒运动到虚线位置时速度达到 v02 m/s.虚线右侧有一非匀强磁场，导体棒在里面
9、运动时，所到位置的速度 v(单位 m/s)与该处磁感应强度 B(单位 T)在数值上恰好满足关系 v ，重力加速度 g 取 10 m/s212B2(1)求导体棒刚进入磁场时，流经导体棒的电流大小和方向；(2)导体棒在磁场中是否做匀加速直线运动？若是，给出证明并求出加速度大小；若不是，请说明理由；(3)求导体棒在磁场中运动了 t1 s 的时间内，定值电阻 R 上产生的焦耳热解析：(1)当 v02 m/s 时， B00.5 T感应电动势 E0 B0Lv01 V感应电流 I0 0.5 AE0R r方向由 B 向 A(2)速度为 v 时，磁感应强度为 B感应电动势 E BLv，感应电流 I ，安培力 F
10、A BILER r得到 FAB2L2vR r由题， B2v0.5 T2m/s，则安培力 FA0.25 N，导体棒所受合力 F 合 F FA1 N，为恒力，所以做匀加速直线运动由 F 合 ma，可得 a4 m/s 2(3)t1 s 时，导体棒的速度 v v0 at6 m/st1 s 内，导体棒的位移 s v0t at24 m12由动能定理， Fs W 克安 mv2 mv12 12 20由功能关系， W 克安 Q定值电阻 R 上的焦耳热 QR QRR r代入数据， QR0.75 J答案：(1)0.5 A 由 B 到 A (2)是 4 m/s 2 (3)0.75 J1(多选)如图所示，在磁感应强度为
11、 B、方向竖直向下的匀强磁场中，有一水平放置的 U 形导轨，导轨左端连接一阻值为 R 的电阻，导轨电阻不计导轨间距离为 L，在导轨上垂直放置一根金属棒 MN，与导轨接触良好，电阻为 r，用外力拉着金属棒向右以速度 v做匀速运动则金属棒运动过程中( )A金属棒中的电流方向为由 N 到 MB电阻 R 两端的电压为 BLvC金属棒受到的安培力大小为B2L2vr RD电阻 R 产生焦耳热的功率为B2L2vR解析：选 AC 由右手定则判断得知金属棒 MN 中的电流方向为由 N 到 M，故 A 正确； MN产生的感应电动势为 E BLv，回路中的感应电流大小为 I ，则电阻 R 两端的Er R BLvR
12、r电压为 U IR ，故 B 错误；金属棒 MN 受到的安培力大小为 F BIL ，故 C 正BLvRR r B2L2vR r确；电阻 R 产生焦耳热的功率为 P I2R 2R ，故 D 错误(BLvR r) B2L2v2R R r 22如图 1 所示，两相距 L0.5 m 的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与阻值R2 的电阻连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场质量 m0.2 kg 的金属杆垂直置于导轨上，与导轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，并始终与导轨垂直，其 v t 图象如图 2 所示在 15 s末时撤去拉力，同时使磁场随时间变
13、化，从而保持回路磁通量不变，杆中电流为零求：(1)金属杆所受拉力的大小 F；(2)015 s 内匀强磁场的磁感应强度大小；(3)撤去恒定拉力之后，磁感应强度随时间的变化规律解析：(1)10 s 内金属杆未进入磁场，所以有 F mg ma1由图可知 a10.4 m/s 215 s20 s 内仅在摩擦力作用下运动，由图可知 a20.8 m/s 2，解得 F0.24 N(2)在 10 s15 s 时间段杆在磁场中做匀速运动因此有 F mg B20L2vR以 F0.24 N， mg 0.16 N 代入解得 B00.4 T.(3)撤去恒定拉力之后通过回路的磁通量不变，设杆在磁场中匀速运动距离为 d，撤去
14、外力后杆运动的距离为 x，BL(d x) B0Ld，其中 d20 m， x4 t0.4 t2由此可得 B T.2050 10t t2答案：(1)0.24 N (2)0.4 T(3)B T2050 10t t23(2016全国甲卷)如图，水平面(纸面)内间距为 l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为 m、长度为 l 的金属杆置于导轨上 t0 时，金属杆在水平向右、大小为 F 的恒定拉力作用下由静止开始运动 t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为 .重力加速度
15、大小为 g.求：(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值解析：(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得 ma F mg 设金属杆到达磁场左边界时的速度为 v，由运动学公式有 v at0当金属杆以速度 v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律可知，杆中的电动势E Blv联立式可得 E Blt0( g )Fm(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为 I，根据欧姆定律 I ER式中 R 为电阻的阻值，金属杆所受的安培力为 f BIl因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得 F mg f0联立式得 R .B2l2t0m答案：(1) Blt0( g )
16、 (2)Fm B2l2t0m电磁感应中能量问题1题型简述：电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程2解题的一般步骤(1)确定研究对象(导体棒或回路)；(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解3求解电能应分清两类情况(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及 W UIt 或 Q I2Rt 直接进行计算(2)若电流变化，则利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；利用
17、能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能.动能定理和能量守恒定律在电磁感应中的应用如图所示，一个“U”形金属导轨靠绝缘的墙壁水平放置，导轨长 L14 m，宽 d0.2 m一对长 L1 0.4 m 的等宽金属导轨靠墙倾斜放置，与水平导轨成 角平滑连接， 角可在 060调节后固定水平导轨的左端长 L20.4 m 的平面区域内有匀强磁场，方向水平向左，磁感应强度大小 B02 T水平导轨的右端长 L30.5 m 的区域有竖直向下的匀强磁场 B，磁感应强度大小随时间以 10 T/s 均匀变大一根质量 B tm0.04 kg 的金属杆 MN 从斜轨的最上端静止释放，金属杆与斜轨
18、间的动摩擦因数 10.125，与水平导轨间的动摩擦因数 20.5金属杆电阻 R0.08 ，导轨电阻不计(1)求金属杆 MN 上的电流大小，并判断方向；(2)金属杆 MN 从斜轨滑下后停在水平导轨上，求 角多大时金属杆所停位置与墙面的距离最大，并求此最大距离 xm.解析：(1)由法拉第电磁感应定律，则有： E dL3 t B t由闭合电路欧姆定律得： IER由上式，可得 MN 棒上的电流大小： I125 A根据右手定则，则 MN 棒上的电流方向： N M；(2)设导体棒滑出水平磁场后继续滑行 x 后停下，由动能定理得： mgL1sin 1mgL1cos 2(mg B0Id)(L2 L1cos )
19、 2mgx0代入数据得：016sin 0.16cos 0.180.2 x当 45时， x 最大，解得： x0.8 0.90.23 m2则有： xm L2 x0.63 m.答案：(1)1 25 N 由 N M (2)45 0.63 m能量转化问题的分析程序：先电后力再能量如图所示，倾角 30的光滑倾斜导体轨道(足够长)与光滑水平导体轨道连接，轨道宽度均为 L1 m，电阻忽略不计匀强磁场 仅分布在水平轨道平面所在区域，方向水平向右，大小 B11 T；匀强磁场仅分布在倾斜轨道平面所在区域，方向垂直于倾斜轨道平面向下，大小 B21 T现将两质量均为 m 0.2 kg，电阻均为 R0.5 的相同导体棒
20、ab 和 cd，垂直于轨道分别置于水平轨道上和倾斜轨道上，并同时由静止释放取 g10 m/s 2(1)求导体棒 cd 沿斜轨道下滑的最大速度的大小；(2)若已知从开始运动到 cd 棒达到最大速度的过程中， ab 棒产生的焦耳热 Q0.45 J，求该过程中通过 cd 棒横截面的电荷量；(3)若已知 cd 棒开始运动时距水平轨道高度 h10 m， cd 棒由静止释放后，为使 cd 棒中无感应电流，可让磁场的磁感应强度随时间变化，将 cd 棒开始运动的时刻记为t0，此时磁场的磁感应强度为 B01 T，试求 cd 棒在倾斜轨道上下滑的这段时间内，磁场的磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系式解析：(1
21、) cd 棒匀速运动时速度最大，设为 vm，棒中感应电动势为 E，电流为 I，感应电动势： E BLvm，电流： I ，E2R由平衡条件得： mgsin BIL，代入数据解得： vm1 m/s；(2)设 cd 从开始运动到达最大速度的过程中经过的时间为 t，通过的距离为 x， cd 棒中平均感应电动势 E1，平均电流为 I1，通过 cd 棒横截面的电荷量为 q，由能量守恒定律得： mgxsin mv 2 Q，12 2m电动势： E1 ，电流： I1 ，电荷量： q I1t，BLxt E12R代入数据解得： q1 C；(3)设 cd 棒开始运动时穿过回路的磁通量为 0， cd 棒在倾斜轨道上下滑
22、的过程中，设加速度大小为 a，经过时间 t 通过的距离为 x1，穿过回路的磁通量为 ， cd 棒在倾斜轨道上下滑时间为 t0，则： 0 B0L ，hsin 加速度： a gsin ，位移： x1 at2， BL ， at .12 ( hsin x1) hsin 12 20解得： t0 s，8为使 cd 棒中无感应电流，必须有： 0 ，解得： B (t s)88 t2 8答案：(1)1 m/s (2)1 C (3) B (t s)88 t2 8.动量定理和动量守恒定律在电磁感应中的应用(2018江西师大附中试卷)如图所示，两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如图所示放置，间距为 d1 m，在左端
23、斜轨道部分高 h125 m 处放置一金属杆 a，斜轨道与平直轨道区域以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆 b，杆 a、 b 电阻Ra2 、 Rb5 ，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度 B2 T现杆 b以初速度 v05 m/s 开始向左滑动，同时由静止释放杆 a，杆 a 由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆 b 的平均电流为 0.3 A；从 a 下滑到水平轨道时开始计时， a、 b 杆运动速度时间图象如图所示(以 a 运动方向为正)，其中 ma2 kg， mb1 kg， g10 m/s 2，求：(1)杆 a 在斜轨道上运动的时间；(2)杆 a 在水平轨道上运动过程中通过其截面的电量；(3)在整个运动过程中杆 b 产生的焦耳热解析：(1)对 b 棒运用动量定理，有：Bd t mb(v0 vb0)I 其中 vb02 m/s
