1、 1初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题( 含解析)定点题型 定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为 0 得方程组，解方程方程组求出定点坐标. 解题思路： 这类问题通常有两种处理方法：第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值。一、直线过定点
2、问题：解法 1：取特殊值法 给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于 x，y 的两个方程，从中解出 x，y 即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。 例 1：求直线（m+1 ）x+ （m-1 ）y-2=0 所通过的定点 P 的坐标。 解：令 m=-1，可得 y=-1；令 m=1，可得 x=1。将（1 ，-1）点代入原方程得：（m+1） 1+（m-1）（-1）-20 成立，所以该定点 P 为（1，-1 ）。 解法 2：由“y-y 0=k（x-x 0）”求定点把含有参数的直线方程改写成 y-y0=k（x-x 0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x 0，y 0）。 例 2
3、：已知（ k+1）x-（k-1） y-2k=0 为直线 l 的方程，求证不论 k 取任何实数值时，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标。 证明：由已知直线 l 的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k， （k+1 ）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k 取任何实数值时，直线 l 必过定点 M（1，-1）。 解法 3：方程思想 若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为 0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。 例 3：若 2a-3b=1（a，bR），求证：直线 axby=5 必过定点。 解：由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-
4、10）+b（y-15）=0 无论 a，b 为何值上式均成立，所以a，b 的系数同时为 0，所以过定点（10，15）。 解法 4：直线系观点 过定点的直线系 A1xB 1yC 1（A 2xB 2yC 2）=0 表示通过两直线 l1A 1xB 1yC 1=0 与l2A 2xB 2yC 20 交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。 例 4：求证对任意的实数 m，直线（m-1 ）x2（m-1）ym-5 必过定点。解：原式可整理为（x2y-1）m-（xy-5）0 1直线 l：kxy+2k+1=0 必过定点 22直线 y=mx+2m+14 过定点 3直线 kx+3y+k9=0 过定点 4设 a+b
5、=3，则直线 ax+by=1 恒过定点 5当 a+b+c=0 时，直线 ax+by+c=0 必过定点 6直线（m1）x+y+2m+1=0 过定点 7直线（2a1 ）x+2ay+3=0 恒过的定点是 8对于任意实数 mn，直线（m +n）x+12my2n=0 恒过定点的坐标是 9若 p，q 满足条件 3p2q=1，直线 px+3y+q=0 必过定点 10直线（m1）x+（2m+3）y（m 2）=0 恒过定点 11不论实数 k 为何值，直线（ 2k+1）x +（1k）y+7k=0 恒经过的定点坐标是 二、抛物线过定点问题：第一步：对含有变系数的项集中； 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个
6、只含系数和常数的因式与一个只含 x 和常数的因式之积的形式； 第三步：令后一因式等于 0，得到一个关于自变量 x 的方程(这时系数如何变化，都“失效”了) ； 第四步：解此方程，得到 x 的值 x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式) ，即得到一个 y的值 y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x 0，y 0)； 第五步：验算回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤1已知抛物线 y=2x2（m 2+1）x+2m 21，不论 m 取何值，抛物线恒过某定点 P，则 P 点的坐标为（ ）A（2，5 ） B（2，5） C（2 ，5） D不能确定2某数学兴趣小组研究二次函数 y=
7、mx22mx +3（m0）的图象发现，随着 m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： 33已知抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 恒过定点，请直接写出定点坐标 4抛物线 y=x2+ax+a2 过定点 A，直线 l：y=x +m 也过点 A，则直线 l 的函数解析式为 5抛物线 y=x2+mx2m 通过一个定点，则这个定点的坐标是 6已知实数 a、b、c 满足不等式： |a|b c|，|b|a+c|，|c |a b|，抛物线y=ax2+bx+c 恒过定点 M，则定点 M 的坐标为 7在平面直角坐标系 xOy 中，直线
8、y=kx2k+6 经过定点 Q（1）直接写出点 Q 的坐标 ；（2）点 M 在第一象限内，QOM=45，若点 M 的横坐标与点 Q 的纵坐标相等（如图 1），求直线 QM 的解析式；（3）在（ 2）条件下，过点 M 作 MAx 轴于点 A，过点 Q 作 QBy 轴于点 B，点 E 为第一象限内的一动点，AEO=45，点 C 为 OB 的中点（如图 2），求线段 CE 长度的最大值8已知函数 y=ax24bx+3，（1）求证：无论 a、b 为何值，函数图象经过 y 轴上一个定点；（2）当 a、b 满足什么条件时，图象与直线 y=1 有交点；4（3）若 1x0，a=1 ，当函数值 y 恒大于 1
9、时，求 b 的取值范围9已知函数 y=x2（m 2+4）x 2m212（1）当 m 取何值时，此函数有最小值 ，求出此时 x 的值；（2）求证：不论 m 取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标10已知抛物线 y=mx2+（12m）x +13m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B（1）求 m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标；（3）当 m8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 m 值11已知二次函数的顶点坐标为（ ， ） ，与 y 轴的交点为（0，nm） ，其顶点恰好在直线 y=
10、x+ （1m ）上（其中 m、n 为正数） （1）求证：此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由参考答案1（2010 秋扬州校级期末）直线 l：kxy+2k+1=0 必过定点 （2 ，1） 【解答】解：直线 l：kxy +2k+1=0 即 k（x +2） y+1=0，过直线 x+2=0 和直线y+1=0 的交点（2，1 ），故答案为：（2，1）2直线 y=mx+2m+14 过定点 （ 2，14 ） 【解答】解：y=mx+2m +14=m（x+2）+14，当
11、x+2=0，即 x=2 时，y=14 ，直线 y=mx+2m+14 过定点（2，14）故答案为：（2 ，14）3（2014 秋温州校级期中）直线 kx+3y+k9=0 过定点 （1，3） 【解答】解：kx+3y+k 9=0，k（x+1）+3y9=0，5 ，解得 ，直线 kx+3y+k9=0 过定点（ 1，3）故答案为：（ 1，3）4设 a+b=3，则直线 ax+by=1 恒过定点 （ ， ） 【解答】解：a+b=3 ，a +b =1，直线 ax+by=1 恒过定点（ ， ）故答案为：（ ， ）5（2012 秋广陵区校级期中）当 a+b+c=0 时，直线 ax+by+c=0 必过定点 （1，1）
12、 【解答】解：由于 a+b+c=0，故点（1，1）满足直线方程 ax+by+c=0，即点（1，1）在直线 ax+by+c=0上，即直线 ax+by+c=0 必过定点（1，1 ），故答案为 （1，1）6（2013 春启东市校级月考）直线（m 1）x +y+2m+1=0 过定点 （ 2，3 ） 【解答】解：直线（m1）x+y+2m+1=0 可化为x +y+1+m（x+2）=0，可得 ，解得 ，直线（m1）x+y+2m+1=0 过定点（2， 3）故答案为：（2， 3）7（2012 秋柯城区校级期中）直线（2a1）x+2ay+3=0 恒过的定点是 （3，3 ） 【解答】解：取 a= ，得方程为 y+3
13、=0，此时对应的直线设为 l1； 再取 a=0，得方程为 x+3=0 此时对应的直线设为 l2联解 得 x=3 且 y=3，所以直线 l1 与 l2 交于点 A（3，3 ）A 点即为所求直线（2a1）x+ 2ay+3=0 恒过的定点故答案为：（3，3）8（2010定西模拟）对于任意实数 mn，直线（m+n）x+12my 2n=0 恒过定点的坐标是 【解答】解：方程（m+n ）x+12my 2n=0 可化为（x+12y）m+（x2 ）n=0对于任意实数 mn ，直线（m+n）x+12my 2n=0 恒过定点 故定点坐标是9（2014 春海陵区校级期中）若 p，q 满足条件 3p2q=1，直线 p
14、x+3y+q=0 必过定点 （ ， ） 【解答】解：由于 3p2q=1，故直线 px+3y+q=0，即 px+3y+ =0，即 p（2x+3 ）+6y1=0，6由 ，求得 ，故直线经过定点（ ， ），故答案为：（ ， ）10直线（m1 ）x +（2m +3）y （m 2）=0 恒过定点 【解答】解：直线（m1）x+（2m+3）y（m2）=0 化为 m（x+2y1 ）（x3y 2）=0，联立 ，解得 直线（m 1）x+（2m+3）y（m2）=0 恒过定点 故答案为： 2（2014涪城区校级自主招生）不论实数 k 为何值，直线（2k+1 ）x +（1 k）y+7k=0 恒经过的定点坐标是 （2，5
15、） 【解答】解：特殊值法：设 k1=2，k 2=0，代入函数关系式得： 解得： 分离参数法：由（2k+1）x+（1k）y+7k=0，化简得 k（2xy 1）+x +y+7=0，无论 k 取何值，只要 成立，则肯定符合直线方程；解得： 故直线经过的定点坐标是（2，5）1（2015秦皇岛校级模拟）已知抛物线 y=2x2（m 2+1）x+2m 21，不论 m 取何值，抛物线恒过某定点P，则 P 点的坐标为（ ）A（2，5） B（2 ，5） C（2，5） D不能确定【解答】解：不论 m 取何值，抛物线恒过某定点 P，令 m=0，则 y=2x2x1，令 m=1，则 y=2x22x+1，解 得 P 的坐标
16、为（2，5），故选 B1 （2012鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数 y=mx22mx +3（m0）的图象发现，随着 m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： （0， 3） ， （2，3 ） 【解答】解：原函数化为 y=mx（x 2）+3 的形式，当 x=0 或 x2=0 时函数值与 m 值无关，当 x=0 时， y=3；当 x=2 时，y=3，两定点坐标为：（0，3） ， （2，3 ） 故答案为：（0，3） ， （2，3） 3已知抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 恒过定点，请直接写出定点坐标 （0，2）、（
17、 2，0） 【解答】解：依题意得 kx2+（2k +1）x+2y=0 恒成立，即 k（x 2+2x）+x y+2=0 恒成立，7则 ，解得 或 所以该抛物线恒过定点（0，2 ）、（ 2，0）故答案为（0，2）、（ 2，0）4抛物线 y=x2+ax+a2 过定点 A，直线 l：y=x+m 也过点 A，则直线 l 的函数解析式为 y=x 【解答】解：y=x 2+ax+a2，（x+1）a=y+2x 2，当 x+1=0 且 y+2x2=0 时，即 x=1，y=1，a 为任意实数，抛物线 y=x2+ax+a2 过定点 A（1，1），把 A（1 ， 1）代入 y=x+m 得1+m= 1，解得 m=0，直线
18、 l 的解析式为 y=x故答案为 y=x5抛物线 y=x2+mx2m 通过一个定点，则这个定点的坐标是 （2，4） 【解答】解：y=x 2+mx2m 可化为 y=x2+m（x 2），当 x=2 时，y=4；且与 m 的取值无关；定点（2，4），故答案为（2，4）6已知实数 a、b、c 满足不等式：|a|bc|，|b |a+c|，|c|a b|，抛物线 y=ax2+bx+c 恒过定点M，则定点 M 的坐标为 （1 ，0） 【解答】解：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，平方得：a 2（bc） 2，b 2 （a +c） 2，c 2（ab） 2，三式相加得：a 2+b2+c2（bc ） 2+
19、（a +c） 2+（ab） 2，展开得：a 2+b2+c22a 2+2b2+2c22bc+2ac2ab，即 0a 2+b2+c22bc+2ac2ab，（a b+c） 20，a b+c=0，当 x=1 时 y=ab+c=0，定点 M 的坐标为 （1，0 ）故答案为：（1，0）7（2014 春武昌区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx2k+6 经过定点 Q（1）直接写出点 Q 的坐标 （2 ，6） ；（2）点 M 在第一象限内， QOM=45，若点 M 的横坐标与点 Q 的纵坐标相等（如图 1），求直线 QM的解析式；（3）在（ 2）条件下，过点 M 作 MAx 轴于点 A，过点 Q
20、 作 QBy 轴于点 B，点 E 为第一象限内的一动点，AEO=45 ，点 C 为 OB 的中点（如图 2），求线段 CE 长度的最大值8【解答】解：（1）y=kx 2k+6=k（x2）+6，则当 x2=0，即 x=2 时，y 的值与 k 无关，则 G 的坐标是（2 ，6）；（ 2）延长 BQ，AM 交于点 F连接 OF，作 QGOF 于点 G则四边形 AOBF 是正方形，QFG 是等腰直角三角形，且 OA=OB=BF=AF=6，BQ=2 ，则 QF=4，QG=QF =4 =2 ，在直角OBQ 中，OQ= = =2 ，直角OQG 中，OG= = =4 正方形 AOBF 中，AOB=90，AOF
21、=45，又QOM=45，QOG+FOM=FOM+AOM=45，QOG= AOM，又OGQ=AOMOQG OMA， ，即 ，AM=3，M 的坐标是（6，3）设直线 QM 的解析式是 y=kx+b，则 ，解得： ，则直线的解析式是：y= x+ ；（3） AEO=45，E 在以 OA 的斜边的等腰直角三角形直角顶点为圆心，以 OA 为弦的圆上，且弦OA 所对的圆心角是 90的圆上，设圆心是 N，则 N 的坐标是（3 ，3），圆的半径是 3 ，又点 C 为 OB 的中点，C 的坐标是（0，3），则 CNx 轴，则当 E 是 CN 的延长线与圆 N 的交点时，线段 CE 最长，则最大的长度是：3 +3
22、8（2014 秋长沙校级期中）已知函数 y=ax24bx+3，9（1）求证：无论 a、b 为何值，函数图象经过 y 轴上一个定点；（2）当 a、b 满足什么条件时，图象与直线 y=1 有交点；（3）若 1x 0，a=1 ，当函数值 y 恒大于 1 时，求 b 的取值范围【解答】证明：（1）当 x=0 时，y=ax 24bx+3=3，函数图象与 y 轴的交点坐标为（0，3 ），论 a、b 为何值，函数图象经过 y 轴上一个定点（0，3）；解：（2）象与直线 y=1 有交点，1=ax 24bx+3，ax 24bx+2=0，= （4b） 28a0 ，解得：a 2b 2（3） 1x 0，a=1 ，函数
23、值 y 恒大于 1，1+4b1，解得：b0 9已知函数 y=x2（m 2+4）x 2m212（1）当 m 取何值时，此函数有最小值 ，求出此时 x 的值；（2）求证：不论 m 取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标【解答】（1）解： y 最小 = = = ，m4+16m217=0（m 21）（m 2+17）=0m 2+170，m=1，y=x 25x14x= = = ，当 m=1 时，此函数有最小值 ，此时 x= ；（2）证明： 此函数可以写成 y=（x+2）x（m 2+6），函数与 x 轴的交点为（ 2， 0），（m 2+6，0），不论 m 取任何实数，抛物线都过一定点，定点坐标是（2，
24、0 ）10 （ 2016广州）已知抛物线 y=mx2+（1 2m）x+1 3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B（1 ）求 m 的取值范围；（2 ）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标；（3 ）当 m8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 m 值【解答】 （1）解：当 m=0 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当 m0 时，抛物线 y=mx2+（1 2m）x+1 3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B，=（12m ） 24m（1 3m）=（14m） 20， 1 4m 0 ，m ，m 的取值范围为
25、m0 且 m ；（2 ）证明：抛物线 y=mx2+（1 2m）x+13m，y=m（x 22x3）+x+1 ，抛物线过定点说明在这一点 y 与 m 无关，显然当 x22x 3=0 时，y 与 m 无关，解得：x=3 或 x=1，当 x=3 时，y=4，定点坐标为（3，4） ；当 x=1 时，y=0 ，定点坐标为（1，0） ，P 不在坐标轴上， P （3，4） ；（3 ）解：|AB|=|xAx B|= = = = =| |=|104 |， m8， 4， 40 ，0 | 4| ，|AB|最大时，| |=，解得：m=8 ，或 m= （舍去） ，当 m=8 时，|AB|有最大值 ，此时ABP 的面积最大
26、，没有最小值，则面积最大为： |AB|yP= 4= 11已知二次函数的顶点坐标为（ ， ） ，与 y 轴的交点为（0，nm） ，其顶点恰好在直线y=x+ （1 m）上（其中 m、 n 为正数） （1 ）求证：此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点；（2 ）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由【解答】 （1）证明：把（ ， ）代入 y=x+ （1 m）得 + （1m）= ，整理得 m2mn +mn=0， （mn） （m+1 ）=0 ，m=n 或 m=1（舍去） ，二次函数的顶点坐标为（ ， ） ，与 y 轴的交点为（0 ，0） ，m 为正数，二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，抛物线开口向上，此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点；（2）解：存在抛物线的对称轴为直线 x= ，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（0，0） ，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） ，即不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过点（1，0）和（0 ，0）
