1、 1 梅州市 2015 年中考数学试卷 一、选择题：每小题 3 分，共 21 分，每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的 . 1 21 的相反数是（ ） A 2 B 2 C 21 D 21 考点：相反数 . 分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答 解答：解： 的相反数是 故选 D 点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念 是解题的关键 2下图所示几何体的左视图为（ ） DCBA第 2 题图考点：简单组合体的三视图 . 分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 解答： 解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故选： A 点评：本题考查了简
2、单组合体的三视图，从左边看看得到的图形是左视图 3下列计算正确的是（ ） A 32 xxx B 632 xxx C 623)( xx D 339 xxx 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 . 专题： 计算题分析： A、原式不能合并，错误； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断 解答：解： A、原式不能合并，错误； B、原式 =x5，错误； C、原式 =x6，正确； D、原式 =x6，错误 故选 C 点评：此题考查了同底数幂
3、的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及 幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4下列说法正确的是（ ） A掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， 6 点朝上是必然事件 B甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 4.02 甲S ， 6.02 乙S ，则甲的射击成绩较稳定 2 C“明天降雨的概率为 21 ”，表示明天有半天都在降雨 D了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 考点：方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义 . 分析：利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断 解答：解： A、掷一枚均匀的骰子，骰子
4、停止转动后， 6 点朝上是可能事件，此选项错误； B、甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲 2=0.4， S 乙 2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确； C、 “明天降雨的概率为 ”，表示明天有可能降雨，此选项错误； D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误； 故选 B 点评：本题主要考查了方差、全面调查与抽样调查、随机事件以及概率的意义等 知识，解答本题的关键是熟练掌握方差性质、概率的意义以及抽样调查与普查的特点，此题难度不大 5下列命题正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B一组对边相等，另一组对边平等的四边形是
5、平行四边形 C对角线相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 考点：命题与定理 . 分析：根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案 解答：解： A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确 故选 D 点评：本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大 6如图， AB是
6、O 的弦， AC 是 Or 切线， A为切点， BC 经过圆心 .若 B=20，则 C 的大小等于（ ） A 20 B 25 C 40 D 50 考点：切线的性质 . 分析：连接 OA，根据切线的性质，即可求得 C的度数 解答：解：如图，连接 OA， AC 是 O 的切线， OAC=90， OA=OB， B= OAB=20， AOC=40， C=50 ACB O3 故选： D 点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键 7对于二次函数 xxy 22 .有下列四个结论：它的对称轴是直线 1x ；设 1211 2xxy ，2222 2
7、xxy ，则当 12 xx 时，有 12 yy ；它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0）；当 20 x 时， 0y .其中正确的结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点：二次函数的性质 . 分析：利用配方法求出二次函数对称 轴，再求出图象与 x 轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案 解答：解： y= x2+2x=（ x 1） 2+1，故 它的对称轴是直线 x=1，正确； 直线 x=1 两旁部分增减性不一样， 设 y1= x12+2x1， y2= x22+2x2，则当 x2 x1 时，有 y2 y1，错误； 当 y=0，则 x（ x+2） =0，解得：
8、x1=0， x2=2， 故它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0），正确； a= 1 0， 抛物线开口向下， 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0）， 当 0 x 2 时， y 0，正确 故选： C 点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键 二、填空题：每小题 3 分，共 24 分 8函数 1 xy 的自变量 x 的取值范围是 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件 . 分析：根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解 解答：解：根据题意，得 x0 故答案为： x0 点评：函数自
9、变量的范围一般从三个方面考虑： （ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 9分解因式： mm3 考点：提公因式法与公式法的综合运用 . 专题：压轴题 分析：先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解答：解： m3 m， =m（ m2 1）， =m（ m+1）（ m 1） 点评：本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式 10据统计， 2014 年我市常住人口约为 4320000 人，这个数用科学计数法表示为 考点：科学记
10、数法 表示较大的数 . 分析：科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当4 原数的绝对值小于 1 时， n 是负数确定 a10n（ 1|a| 10， n 为整数）中 n 的值，由于 4320000 有 7 位，所以可以确定 n=7 1=6 解答：解： 4320000=4.32106， 故答案为： 4.32106 点 评：本题主要考查了科学计数法：熟记规律：（ 1）当 |a|1 时， n 的值为 a 的整数位数减 1；（ 2
11、）当 |a| 1时， n 的值是第一个不是 0 的数字前 0 的个数，包括整数位上的 0 是解题的关键 11一个学习兴趣小组有 4 名女生， 6 名男生，现要从这 10 名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 考点：概率公式 . 分析：随机事件 A的概率 P（ A） =事件 A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可 解答： 解：女生当选组长的概 率是： 410= 故答案为： 点评：此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（ 1）随机事件 A的概率P（ A） =事件 A可能出现的结
12、果数 所有可能出现的结果数（ 2） P（必然事件） =1（ 3） P（不可能事件）=0 12已知： ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，若以 A， E， F 为顶点的三角形与 ABC相似，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可） 考点：相似三角形的判定 . 专题：开放型 分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对 应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论 解答：解：分两种情况： AEF ABC， AE： AB=AF： AC， 即 1： 2=AF： AC， AF= AC； AFE ACB， AFE= ABC 要使以 A、 E、 F 为顶点的
13、三角形与 ABC 相似，则 AF= AC 或 AFE= ABC 故答案为： AF= AC 或 AFE= ABC 5 点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边 13如图，在 ABCD 中， BE 平分 ABC， BC=6， DE=2，则 ABCD 的周长等于 考点：平行四边形的性质 . 分析：根据四边形 ABCD 为平行四边形可得 AE BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出 ABE= AEB，继而可得 AB=AE，然后根据已知可求得结果 解答：解： 四边形 ABCD 为平行四边形， AE BC， AD=BC， AD=BC， AEB= EBC， BE 平
14、分 ABC， ABE= EBC， ABE= AEB， AB=AE， AE+DE=AD=BC=6， AE+2=6， AE=4， AB=CD=4， ABCD 的周长 =4+4+6+6=20， 故答案为： 20 点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出 ABE= AEB 14如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A与点 C 重合，折痕为 EF，若 AB=4， BC=2，那么线段 EF 的长为 考点：翻折变换（折叠问题） . 分析：如图， AC 交 EF 于点 O，由勾股定理先求出 AC 的长度，根据折叠的性质可判断出 RT EOC RT ABC，从而利
15、用相似三角形的对应边成比例可求出 OE，再由 EF=2OE 可得 出 EF 的长度 解答：解：如图所示， AC 交 EF 于点 O， 由勾股定理知 AC=2 ， 又 折叠矩形使 C 与 A重合时有 EF AC， 则 Rt AOE Rt ABC， ， OE= 故 EF=2OE= 故答案为： 第 13 题图E DCBA第 14题图EF CDBA6 点评：此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答本题的关键是判断出 RT AOE RT ABC，利用相似三角形的性质得出 OE 的长 15若1212)12)(12( 1 nbnann，对任意自然数 n 都成立，则 a ， b ；计算： 21
16、19 175 153 131 1 m 考点：分式的加减法 . 专题：计算题 分析：已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出 a 与 b 的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出 m 的值 解答：解： = + = ， 可得 2n（ a+b） +a b=1，即 ， 解得： a= ， b= ； m= （ 1 + + ） = （ 1 ） = ， 故答案为： ； ； 点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 三、解答下列各 题：本大题有 9 小题，共 75 分，解答应写文字说明、推理过程或演算步骤 . 16（ 7 分）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里
17、 40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图 .请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果） （ 1）这次调查获取的样本数据的众数是 ； （ 2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ； （ 3）若该校共有学生 1000 人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有 人 考点：条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数 . 分析：（ 1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断； （ 2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断； （ 3）求得调查的总人数，然后利用 1000 乘以本学期计划购买课外书花费 50 元的学生所占的比例即可求解 解答：
18、解：（ 1）众数是： 30 元，故答案是： 30 元； （ 2）中位数是： 50 元，故答案是： 50 元； （ 3）调查的总人数是： 6+12+10+8+4=40（人）， 12108642010080503020人数费用 /元7 则估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有： 1000 =250（人） 故答案是： 250 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运 用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 17（ 7 分）计算： 01 )22015()31(3228 . 考点：实数
19、的运算；零指数幂；负整数指数幂 . 专题：计算题 分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 解答：解：原式 =2 +3 2 3 1= 1 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解 本题的关键 18（ 7 分）已知 2ba ，求代数式 ababa 2)2()1( 2 的值 . 考点： 整式的混合运算 化简求值 . 专题：计算题 分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值 解答：解：原式 =a2 2a+1+2ab+b2+2a=（ a+b） 2+1， 把
20、a+b= 代入得：原式 =2+1=3 点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19（ 7 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a 2=0 （ 1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （ 2）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根 考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系 . 分析：（ 1）关于 x 的方程 x2 2x+a 2=0 有两个不相等的实数根，即判别式 =b2 4ac 0即可得到关于a 的不等式，从而求得 a 的范围 （ 2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根
21、解答：解：（ 1） b2 4ac=（ 2） 2 41（ a 2） =12 4a 0， 解得： a 3 a 的取值 范围是 a 3； （ 2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： ， 解得： ， 则 a 的值是 1，该方程的另一根为 3 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系： 8 （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 20（ 9 分）如图，已知 ABC按如下步骤作图：以 A为圆心， AB 长为半径画弧；以 C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点 D；连结 BD，与 AC 交
22、于点 E，连结 AD， CD （ 1）求证： ABC ADC； （ 2）若 BAC=30， BCA=45， AC=4，求 BE 的长 BDE CA考点：全等三角形的判定与性质；作图 复杂作图 . 分析：（ 1）利用 SSS 定理证得结论； （ 2）设 BE=x，利用特殊角的三角函数易得 AE 的长，由 BCA=45易得 CE=BE=x，解得 x，得 CE 的长 解答：（ 1）证明：在 ABC 与 ADC 中， ， ABC ADC（ SSS）； （ 2）解：设 BE=x， BAC=30， ABE=60， AE=tan60x= x， ABC ADC， CB=CD， BCA= DCA， BCA=45
23、， BCA= DCA=90， CBD= CDB=45， CE=BE=x， x+x=4， x=2 2， BE=2 2 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键 21（ 9 分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元 /件） 100 110 120 130 月销量（件） 200 180 160 140 已知该运动服的进价为每件 60 元，设售价为 x 元 （ 1）请用含 x 的式子表示：销售该运动服每件的利润是 元；月销量是 件；（直接写出结果） （ 2）设销售
24、该运动服的月利润为 y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 9 考点：二次函数的应用 . 分析：（ 1）根据利润 =售价进价求出利润，运用待定系数法求出月销量； （ 2）根据月利润 =每件的利润 月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润 解答：解：（ 1） 销售该运动服每件的利润是（ x 60）元 ； 设月销量 W 与 x 的关系式为 w=kx+b， 由题意得， ， 解得， ， W= 2x+400； （ 2）由题意得， y=（ x 60）（ 2x+400） = 2x2+520x 24000 = 2（ x 130） 2+9800， 售价为 130 元时，当月的利润
25、最大，最大利润是 9800 元 点评：本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键 22（ 9 分）如图，直线 l 经过点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3） （ 1）求直线 l 的函数表达式； （ 2）若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 y 轴上，当圆 M 与直线 l相切时，求点 M 的坐标 yxO考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式 . 分析：（ 1）把点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3）代入直线 l 的解析式 y=kx+b，即可求出结果 （ 2）先画出示意图，在 Rt ABM 中求出 sin BAM，然后在 Rt AMC
26、 中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点 M 的坐标 解答：解：（ 1） 直线 l 经过点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3）， 设直线 l 的解析式为： y=kx+b， 直线 l 的解析式为： y= x+3； （ 2） 直线 l 经过点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3）， 10 OA=4， OB=3， AB=5， 如图所示，此时 M 与此直线 l 相切，切点为 C， 连接 MC，则 MC AB， 在 Rt ABM 中， sin BAM= = ， 在 Rt AMC 中， sin MAC= ， AM= = =4， 点 M 的坐标为（ 0， 0） 此时 M与此直线 l 相切，切点为
27、C， 连接 MC，则 MC AB， M C B= MCB=90， 在 M C B与 CMB中， ， BM=BM=3， 点 M的坐标为（ 0， 6） 综上可得：当 M 与此直线 l 相切时点 M 的坐标是（ 0， 0），（ 0， 6） 点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般 23（ 10 分）在 Rt ABC 中， A=90， AC=AB=4， D， E 分别是 AB， AC 的中点若等腰 Rt ADE绕点 A逆时针旋转，得到等腰 Rt AD1E1，设旋转角为 （ 0 180），记直线 BD1与 CE1的交点为 P （ 1）如图 1，当 =90时，线段 BD1的长等于 ，线段 CE1的长等于 ；（直接填写结果） （ 2）如图 2，当 =135时，求证： BD1= CE1，且 BD1 CE1； （ 3）设 BC 的中点为 M，则线段 PM 的长为 ；点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为 （直接填写结果）
