1、第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母X，Y，等表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(3)离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，
2、简称为X的分布列有时为了简单起见，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列(4)离散型随机变量的分布列的性质：pi0，i1，2，n；pi1.(5)常见的分布列：1两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率.X 0 1P 1p p两点分布又称01分布，伯努利分布分布：一般地，在 有 的 中， 取n ，其中 有X ，则X 的概率为P(X )， 0，1，2， ， X 0 1 P 其中 in ，n ， n ， ，n， ， .如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从 分布2二 分布及其应用(1) 概率：一般地， 两个 ， P
3、( ) 0，称P( )为在 的下， 的 概率P( ) 的 下 的概率(2) 概率的性质：0 P( ) 1； 的 概率为1，不可能 的 概率为0；如果 两个currency1 ，则P( )P( )“P( )(3) 的性： ， 为两个 ，如果P( )P( )P( )，则称 fi 如果 fi ，fl fi ， fi ， fi 也都(4)试验：一般地，在同 下的n 试验称为n 试验(5)二 分布：一般地，在n 试验中， 的 数为X，在每 试验中的概率为p，fl 在n 试验中， 的概率为P(X) p (1p)n ， 0，1，2，n. 时称随机变量X服从二 分布，X(n，p)，并称p为成功概率两点分布 n
4、1时的二 分布，二 分布可以成 两点分布的一般形式3离散型随机变量的”值fi(1)”值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn则称 (X)x1p1“x2p2“xipi“xnpn为随机变量X的”值数 ，了离散型随机变量取值的”2称(X) (xi (X)2pi为随机变量X的，为随机变量X的 (2)”值fi的性质：若YX“ ，其中， 常数，X 随机变量，则Y也 随机变量， (X“ ) (X)“ ，(X“ )2(X)(3)常见分布的”值 式：两点分布：若随机变量X服从数为p的两点分布，则”值 (X)p，(X)p(1p)二 分布：若随机变量X (n，p)
5、，则”值 (X)np，(X)np(1p)4分布(1) fi分布： ：我们 数 ， (x) ，x ( ，“ )(其中 ”值， )的 称为分布 ，简称 ， 形， 中 ，两分布：一般地，如果对 数， ( )，随机变量XP(X )， (x)x，则称随机变量X服从分布分布 数 ， 确定， 分布常 ( ， 2)(2) 的 点： x 上，fix 不 ； 单 的，关 x 对称； 在x 值； fix 的 为1.(3) 对 的 ： 一定时， 的 确定， 随着 的变化而沿x 移； 一定时， 的形状 确定， 越小， 越“瘦”，表示总体的分布越集中； 越大， 越“矮胖”，表示总体的分布越分散(4)分布的3 原则：若随机
6、变量X ( ， 2)，则P( X “ )0.6826，P( 2 X “2 )0.954 4，P( 3 X “3 )0.997 4.在 际应用中，通常认为服从 分布 ( ， 2)的随机变量X只取( 3 ， “3 ) 的值并简称为3 原则.3题型一 概率的求法求 概率的主要法：(1)利用 概率：P( ).(2)针对古典概型，缩减基 总数P( ).例1 坛子里放着7个大小形状同的鸭蛋，其中有4个 绿皮的，3个 白皮的如果不放回地依 拿出2个鸭蛋，求：(1)第1 拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1 第2 都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1 拿出绿皮鸭蛋的 下，第2 拿出绿皮鸭蛋的概率解 “第1 拿出绿皮鸭
7、蛋”为 ，“第2 拿出绿皮鸭蛋”为 ，则“第1 第2 都拿出绿皮鸭蛋”为 .(1)从7个鸭蛋中不放回地依 拿出2个的 数为n() 242.根据分步乘法计数原理，n( ) 1 124.P( ).(2) 为n( ) 212，所以P( ).(3)法一 (1)(2)可得，在第1 拿出绿皮鸭蛋的 下，第2 拿出绿皮鸭蛋的概率为P( ).法二 为n( )12，n( )24，所以P( ).跟踪演练1 一个盒子装有4只 ，其中有3只一等 1只二等 ，从中取 两 ，每 取一只，不放回抽 ， 为“第一 取的 一等 ”， 为“第二取的 一等 ”，试求 概率P( )解 将 编号1，2，3号为一等 ，4号为二等 ，以(
8、i，j)表示第一 ，第二 分别取第i号第j号 ，则试验的 空 为 (1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) (1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4) (1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2) P( ).题型二 currency1 的概率求概率先转化为currency1 概率的 ，再运用 的概率式求解例2 国家射击队为备战2016年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练 目 成后，4教练总会 计安排一些放松娱乐性恢活动在一 速射“飞碟
9、”的游戏活动中，教练制定如下规则：每 飞碟飞行过程中只允许射击三 ，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远 命中的概率为.(1)如果队员甲一共加了三 射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三 游戏中第一 至 有一 击中的概率；(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远 的飞碟，如果第一 命中，则进行第二 射击，同时第二 射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二 命中，则进行第三 射击，第三 射击时飞碟飞行距离变为150米( 后飞碟不在射程内) ，命中的概率fi飞碟飞行距离的成 ，求队员甲在一 游戏中命中飞碟的概率解 (1)“队员甲在三 游戏中，第一 至 有一 命中”为 .P( )1P( ).(2)
10、“在一 游戏中，第i 击中飞碟”为 i(i1，2，3)P( 1)，P( 2)()2，P( 3)()2.又 i ，P( )P( 1)“P( 1 2)“P( 1 2 3)P( 1)“P( 1) P( 2)“P( 1) P( 2) P( 3)“.跟踪演练2 甲 两队进行一 排 ，根据以 验，单 甲队 队的概率为0.6. 用 三 制， 先 三 的队 ， 结 有，求 三 甲队 先的概率解 单 甲队 队的概率为0.6， 队 甲队的概率为10.60.4，“甲队 三 ”为 ，“甲队 二 ”为 ，则：P( )0.630.216；P( )20.620.40.432.三 甲队 先的概率为P( )“P( )0.648
11、.题型三 离散型随机变量的分布列fi离散型随机变量的分布列 随机变量的 的基 ，利用分布列 可以求随机变量在 个 内取值的概率例3 (2013 理)甲 两 排 队进行 ，约定先 3 得 的 利， 随 结 ，第 甲队 的概率 ，其每 甲队 的概率都 ， 结果(1)分别求甲队以30，31，32 利的概率；5(2)若 结果为3031，则 利得3分，对得0分；若 结果为32，则 利得2分对得1分求 队得分X的分布列及数 解 (1)“甲队以30 利”为 1，“甲队以31 利”为 2，“甲队以32利”为 3， 题， 结果，currency1P( 1)()3，P( 2)2()2(1)，P( 3)2()2(1
12、)2所以，甲队以30，31，32 利的概率分别 ，；(2) “ 队以32 利”为 4， 题， 结果，所以P( 4)2(1)2()2(1)题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据 的currency1性得P(X0)P( 1“ 2)P( 1)“P( 2)，P(X1)P( 3)，P(X2)P( 4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)currency1X的分布列为X 0 1 2 3P所以 (X)0“1“2“3跟踪演练3 “里装有大小同的8张，其中3张 有数字1，3张 有数字2，2张有数字3.第一 从“里 抽取一张，放回“后，第二 再 抽取一张，第一fi第二 取上数字 为.求的解
13、依题，随机变量的取值 2，3，4，5，6.P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).的分布列 2 3 4 5 6P()2“3“4“5“6.题型 分布的应用求解分布的fi题，要根据 的对称性， 要结fl3 原则， fix6 的 为1.例4 地数 试的成X服从分布， 数 如 所示，成X (52，68 的概率为 解 成X ( ， 2)，则分布的 数， (x) ， 可 ， 60， 8.P(52X 68)P(608x 60“8)P( X “ )0.682 6.跟踪演练4 地”年”服从分布，其 数 如 所示(1) 出 地”年”的概率 数式；(2)求 地”年”在8 0008 500 的 数分 解 ”年” ( ， 2)，结fl 可 8 000， 500.(1) 地”年”的分布 数表 式为P(x) ，x ( ，“ )(2)P(7 500 8 500)P(8 000500 8 000“500)0.682 6.P(8 000 8 500)P(7 500 8 500)0.341 3.”年”在8 0008 500 的 数总体的34.13.7
