1、 2012 个性化辅导 教案 1 老师 姓名 学生姓名 学管师 学科 名称 年级 上课时间 月 日 _ _ :00- _ :00 课题 名称 解直角三角形复习讲义 教学 重点 教 学 过 程 【知识要点】： 一、 直角三角形的元素（边与角）的对应关系。 Eg：在 Rt ABC 中， C=90 得：直角边： AC BC 斜边： AB 图形： .b a c 锐角： B A 直角： C 二、 直角三角形的相关性质：如图（ 1）：在 Rt ABC 中， C=90 1、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。 A+ B=90 2、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两 直角边 的平方和等于 斜边 的平方
2、。 BC2+ AC2 =AB2 或（ a2+b2=c2）变形式子： BC2 =AB2- AC2， AC2 =AB2 -BC2等的应用。 勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条 较短边 的平方和等于 较长边 的平方，那么这个三角形是直角三角形。 若： BC2+ AC2 =AB2 或（ a2+b2=c2），则： ABC 是直角三角形，且 C=90 3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4、 直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。 5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。 若：在 Rt ABC 中， C=90， CD AB 于点 D 则： ACD CBD
3、 ABC 对应边成比例 6、射影定理： ACD ABC AC2=AD AB CBD ABC BC2=BD AB ACD CBD CD2=AD DB C A b c B a 图 (1) 2012 个性化辅导 教案 2 7、边角关系：锐角三角函数 （ 1）锐角 A、 B（ A+ B=90）的三角函数： 互余两角的 三角函数关系 取值范围 全称 简写 锐角 A 的正弦 sinA=斜边的对边A=cosB 0 sinA 1 Sine sin 锐角 A 的余弦 cosA=斜边的邻边A=sinB 0 cosA 1 Cosine cos 锐角 A 的正切 tanA=的邻边的对边AA=cotB tanA 0 T
4、angent tan(或 tg) 锐角 A 的余切 cotA=的对边的邻边AA=tanB cotA 0 Cotangent cot(或 ctg、 ctn) 注：对于锐角 A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。 （ 2）同角三角函数的关系： 平方关系： sin2A+cos2A =1 商数关系： tanA= AAcossin ， cotA= AAsincos 倒数关系： tanA = Acot1 ， tanA cotA=1 推广： 同（锐）角三角函数之间的关系（ 正余交换 ）： sinA=cos（ 90 A） cosA=sin（ 90 A） tanA=cot（ 90 A） co
5、tA= tan（ 90 A） （ 3）三角函数中常用的特殊函数值。 函数名 0 30 45 60 90 sin 0 1 cos 1 0 2012 个性化辅导 教案 3 tan 0 1 无穷大 cot 无穷大 1 0 锐角三角函数的变化情况：在 0 90之间，锐角 A 的正弦值随着角度的增大而增大。 在 0 90之间，锐角 A 的余弦值随着角度的增大而减小。 在 0 90之间，锐角 A 的正切值随着角度的增大而增大。 在 0 90之间，锐角 A 的余切值随着角度的增大而减小。 三、 解直角三角形的类型与解法： 已知条件 解法步骤 Rt ABC， C=90 计算边的口诀： 有斜求对乘正弦 有斜求邻
6、乘余弦 无斜求对乘正切 无斜求邻乘余切 两 边 两直角边（ a， b） 1、由 tanA =ba 求 A 2、 B 90 A 3、 c 22 ba 斜边 c,直角边 a 1、由 sinA =ca 求 A 2、 B 90 A 3、 b 22 ac 一边一角 直角边、 一锐角 锐角 A、 锐角 A 的邻边 b 1、 B 90 A 2、由 tanA =ba a b tanA 3、由 cosA =cb c=cosAb 锐角 A、 锐角 A 的对边 a 1、 B 90 A 2、由 cotA =ab b a cotA 3、由 sinA =ca c=sinAa 斜边 c、锐角 A 1、 B 90 A 2、由
7、 sinA =ca a=c sinA 3、由 cosA =cb b=c cosA 有斜用弦 （条件或求解中有斜边时，用正弦 sin 或余弦 cos） 已 知 与 解 法 三 角 形 类 型 2012 个性化辅导 教案 4 60 AO南西北东CBA D 60 45 aa + xxCBA D30 60 axxxa45 30 DABC无斜用切 （条件或求解中没有斜边时，用正切 tan 或余切 cot） 取原避中 （尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差） 宁乘勿除 （能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度） 四、 有关名词、术语的意义 1、 铅垂线：重力线方向的直线。 2、 水平
8、线：垂直于铅垂线的一条直线。 3、 仰角与俯角： 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线 与水平线的夹角叫做俯角。 4、 坡面的坡度（或坡比）： 坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（ l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。 记作 i,即 i=lh . 5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 a，有 i lh =tan a 6、方向角： 如右图， OA表示北偏东 60方向 注意：东北方向表示北偏东 45 五、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。 1、利用平行的太阳光线 2、利用标杆与量角仪 3、利用物理的光学知识与平面镜 六、直
9、角三角形在尺规作图中的完美体现 （ 1）在数轴上表示无理数 （ 2）黄金分割 七、解直角三角形的几种基本图形 图形 1 2012 个性化辅导 教案 5 xa45 60 DABCxa - xa - x xCBA D30 45 axxaaEDABC60 30 x30 60 CBADEa axxa + xxaaEDABC45 30 cot30 = 3xxa ， ABD= A， BD=AD=a， x xa60tan xax 3 ， 2360sin ax xax 3 aax 2 1313 . ax 23 aax 2 1313 图形 2 cot30 = 3xxa ， tan60 = 3xax xax 3
10、， xax 33 aax 2 1313 . aax 2 33133 图形 3 DE=AC=CD=a+x AC=BE=DE=x 可证 BAD= BDA=30 cot30 = 3xxa tan60 = 3xxa AB=BD=a， aax 2 1313 aax 2 1313 aBDx 2121 例 、在 ABC 中，若 |sinA 1| ( 23 cosB)2 0，则 C . 例 2、 如图，在 ABC 中， C 90o， AD 是角平分线，且 BAC 60o， AD 10，求 AB 的长 2012 个性化辅导 教案 6 例 3、 如图， D 是 ABC 的边 AB 上的一点，且 BD 2AD， C
11、D 6， cos BCD 23 ,那么 BC边上的高 AE . 例 4 已知 ABC 中， B 45o， C 30o， BC 3 3 3 ，那么 AB . 例 5、 如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽 2 米，坡度由原来的 1:2 改为 1:2.5，已知坝高 6米，坝长 50 米 (1)求加宽部分横断面 AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少方土？ 例 6 在正方形 ABCD 中， F 是 CD 上一点， AE AF,AE 交 CB 的延长线于点 E，连结 EF 交 AB 于点G. (1)求证： DF FC BG EC； (2)已知：当 t DAF 31 时， AEF 的面积为 10
12、cm2， AB D CACDEFBAB CDEFGH2 米6米1:21:2.5A DB CFE G2012 个性化辅导 教案 7 问当 tg DAF 32 时， AEF 的面积是多少？ 解直角三角形测试题 一 :选择题 1、 ABCRt 中， C=90， AC=4， BC=3， Bcos 的值为 ( ) A、 51 B、 53 C、 34 D、 43 2、已知 A + B = 90，且 Acos =51 ，则 Bcos 的值为 ( ) A、 51 B、 54 C、 562 D、 52 3、在菱形 ABCD 中， ABC=60 ， AC=4，则 BD 的长是 ( ) A、 38 B、 34 C、
13、 32 D、 8 4、在 ABCRt 中， C=90 ， Atan =3， AC=10，则 S ABC 等于 ( ) A B、 00 C、 350 D、 1 0 、 一人乘雪橇沿坡度为 : 3 的斜坡滑下，滑下距离（米）与时间 t（秒）之间的关系为2210 tt ,若滑动时间为 4 秒，则他下降的垂直高度为 ( ) A、 72 米 B、 36 米 C、 336 米 D、 318 米 6、在 ABCRt 中， C=90， A、 B、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c 三边，则下列式子一定成立的是 ( ) A、 Bca sin B、 Bca cos C、 Bac tan D、 Aac sin
14、7、若 A 为锐角， 132tantan A ，则 A 等于 ( ) A、 32 B、 58 C、 )321( D、 )581( 8、如果把 ABCRt 的三边同时扩大 n 倍，则 Asin 的值 ( ) A、不变 B、扩大 n 倍 C、缩小 n 倍 D、不确定 9、 ABC 中， C=90， AC= 52 ， A 的角平分线交 BC 于 D，且 AD= 1534 ， 则 Atan 的值为 ( ) A、 1558 B、 3 C、 33 D、 31 2012 个性化辅导 教案 8 10、如图 ABC 中， A D 是 B C 上的高， C=30， BC= 32 ，21tan B，那么 AD 的长
15、度为 ( ) A、 21 B、 1 C、2321D、331二：填空题 (20 分 ) 11、如图 P 是 的边 OA 上一点 ,P 的坐标为 (3,4), 则 sin 。 12、等腰三角形的腰长为 10cm，顶角为 120 ，此三角形面积为 。 13、已知方程 01272 xx 两根为直角三角形的两直角边 ，则其最小角的余弦值为 。 14、如图甲、乙两楼之间的距离为 40 米，小华从甲楼顶测乙楼顶仰角为 =30， 观测乙楼的底部俯角为 =45，试用含 、 的三角函数式子表示乙楼的高 h 米。 15、在 ABCRt 中， C=90 ， CD 是 AB 边上的中线， BC=8， CD=5，则 AC
16、Dtan 。 三：计算 16、 计算 0)12(60t a n45t a n30c o s2 18、在 ABCRt 中， C=90 ，且 21sin A ， AB=3，求 BC， AC 及 B . 19、已知， 四边形 ABCD 中， ABC = ADB = 090 ， AB = 5， AD = 3， BC = 32 求，四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD. 2012 个性化辅导 教案 9 20、 (8 分 )如图， B、 C 是河岸边两点， A 是对岸边上的一点，测得 ABC = 300， ACB = 600， BC =40 米，求 A 到岸边 BC 的距离是多少米？ （结果精确
17、到 1 米） 21、 (8 分 )如图，甲楼每层高都是 3.1 米，乙楼高 40 米，从甲楼的第 6 层往外看乙楼楼顶，仰角为 300，两楼相距 AB 有多少米？ （结果精确到 0.1 米） 22、 (8 分 )如图， Rt ABC 是一防洪堤背水波的横截面图，斜坡 AB 的长为 13 米，它的坡角为 450，为了 提高防洪能力，现将背水坡改造成坡比 (AC:DC)为 1:1.5 的斜坡 AD，求 DB 的长（精确到 0.1 米） 23、 (8 分 )如图，气象大厦离小伟家 80 米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦 顶部的仰角是 450，而大厦底部的俯角是 300，求该大厦的高度（结果精
18、确到 0.1 米） ) ) 420 340 300 甲 乙 A B D B C A A B C 2012 个性化辅导 教案 10 24、 (10 分 )如图，在 300m 高的峭壁上测得塔顶与塔基的俯角分别为 30和 60，求塔高多少米？ 解直角三角形应用 1如图，上午 9 时，一条船从 A 处出发，以 20 节的速度向正北航行， 11 时到达 B 处，从 A， B 望灯塔C，测得 NAC 30， NBC 60，那么从 B 处到灯塔 C 的距离是多少海里？ 2如图，湖泊中央有一个建筑物 AB，某人在 地面 C 处测得其顶部 A 的仰角为 60，然后自 C 处沿 BC方向行 100m 至 D 点，又测得其顶部 A 的仰角为 30，求建筑物 AB 的高 (精确到 0.01m， 3 1.732) 300 600 300米 ( A B C D
