1、 高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 1 平面向量 题型 1.基本概念判断正误： 向量有关概念 ： （ 1） 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。 如 已知 A（ 1,2）， B（ 4,2），则把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 _（答： （ 3,0） ） （ 2） 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意 零向 量的方向是任意的 ； （ 3） 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB 共线的单位向量是|ABA
2、B)； （ 4） 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量， 相等向量有传递性 ； （ 5） 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行 。 提醒 ： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行 包含两个向量共线 , 但两条直线平行 不包含两条直线重合 ； 平行向量无传递性 ！（因为有 0 )； 三点 A B C、 共线 AB AC、 共线； （ 6） 相反向量 ： 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是 a 。 例 1、 下
3、列命题：（ 1）若 ab ，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形。（ 4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。（ 5）若 ,a b b c，则 ac 。（ 6）若 / , /a bb c ，则 /ac。其中正确的是 _ 练习 1、下列命题正确的有 _ （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （ 3）与已知 向量共线的单位向量是唯一的。 （ 4）若 AB CD ，则 A、 B、 C、 D 四点构成平行四边形。 （ 5）直角坐标平面上的 x 轴
4、、 y 轴都是向量。 （ 6） 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； （ 7）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。 （ 8）若 ma mb ，则 ab 。 （ 9）若 ma na ，则 mn 。 （ 10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。 （ 11）若 | | | |a b a b ，则 /ab。 （ 12）若 a 与 b 均为非零向量， | | | |a b a b ，则 ab 。 2.给出命题 （ 1）零向量的长度为零，方向是任意的 . （ 2）若 a ， b 都是单位向量，则 a b . （ 3）向量 AB 与向量 BA 相等
5、. （ 4）若非零向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A ， B ， C ， D 四点共线 . 以上命题中，正确命题序号是 A.（ 1） B.（ 2） C.（ 1）和（ 3） D.（ 1）和（ 4） 3、（福建理 4 文 8）对于向量， a 、 b、 c 和实数 错误 !未找到引用源。 ，下列命题中真命题是 A 若 错误 !未找到引用源。 ，则 a 0 或 b 0 B 若 错误 !未找到引用源。 ，则 0 或 a 0 C 若 错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 ，则 a b 或 a b D 若 错误 !未找到引用源。 ，则 b c 4、 （浙江理 7）若非零向量 ，ab满足 a
6、b b ，则（ ） 2 a a b 22a a b 2 b a b 22b a b 5.（陕西卷 15）关于平面向量 ， ，a b c 有下列三个命题： 若 ab=ac ，则 bc若 (1 ) ( 2 6 )k ， ， ，ab， ab，则 3k 非零向量 a 和 b 满足 | | | | | | a b a b，则 a 与 ab的夹角为 60 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 题型 2.向量的线性运算 向量加法： 利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ,AB a BC b，那么向量 AC 叫做 a 与 b
7、 的和，即a b A B B C A C ； 向量的减法： 用“三角形法则”：设 ,A B a A C b a b A B A C C A 那 么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 例 2 （ 1） 化简 ： AB BC CD _； AB AD DC _； ( ) ( )A B C D A C B D _ （ 2） 若正方形 ABCD 的边长为 1， ,A B a B C b A C c，则 |abc _ （ 3） 若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 2O B O C O B O C O A ，则 ABC 的形状为 _ （ 4） 若 D 为 AB
8、C 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足 0PA BP CP ，设高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 2 |APPD ，则 的值为 _ （ 5） 若点 O 是 ABC 的外心，且 0OA OB CO ，则 ABC 的内角 C 为 _ 练习： 1.设 a 表示“向东走 8km” , b 表示“向北走 6km” ,则 |ab 。 2.化简 ( ) ( )A B M B B O B C O M AB AC BC=_; AB AD DC=_； _ .N Q Q P M N M P _ 3.已知 | | 5OA , | | 3OB ,则 |AB 的最大值和最
9、小值分别为 、 。 4.已知 AC AB AD为 与 的和向量，且 ,AC a BD b，则 AB ， AD 。 5.已知点 C 在线段 AB 上，且 35AC AB ,则 AC BC ， AB BC 。 6已知向量 ba与 反向，下列等式中成立的是 （ ） A | baba B | baba C | baba D | baba 7 计算：（ 1） 3( ) 2( )a b a b （ 2） 2 ( 2 5 3 ) 3 ( 2 3 2 )a b c a b c 8.已知 ,24 ），（a 求与 a 垂 直的单位向量的坐标。 9与向量 a =（ 12， 5）平行的单位向量为 （ ） A 12 5
10、,13 13B 12 5,13 13C 12 5 12 5,13 13 13 13 或D 12 5 12 5,13 13 13 13 或10如图， D、 E、 F 分别是 ABC 边 AB、 BC、 CA 上的 中点，则下列等式中成立的有 _： FD DA AF 0 FD DE EF 0 DE DA BE 0 AD BE AF 0 11.(2009 山东 卷理 )设 P 是 ABC 所在平面内的一点， 2BC BA BP ，则（ ） A. 0PA PB B. 0PC PA C. 0PB PC D. 0PA PB PC 12.(05 年卷二 )已知点 ( 3,1)A ， (0,0)B ， ( 3
11、,0)C 设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ，那么有 BC CE ，其中 等于（ ） A.2 B.12 C.-3 D. 13 13.(2006 年山东卷）设向量 a=(1, 3),b=( 2,4),c=( 1, 2)，若表示向量 4a,4b 2c,2(a c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为 ( ) A.(2,6) B.( 2,6) C.(2, 6) D.( 2, 6) 14.（ 2009 湖南卷文）如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD x AB y AC，则 x 31 2 ， y 32 . 图 2 15、 已知 O 是 ABC 所在平面内
12、一点 D 为 BC 边中点 且 20OA OB OC 那么（ ） AO OD 2AO OD 3AO OD 2AO OD题型 3 平面向量基本定理 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a= 1 e1 2 e2。 性质： 向量 PA PB PC、 中三终点 A B C、 共线 存在实数 、 使得 PA PB PC且1. 例 3 （ 1） 若 (1,1),ab(1, 1), ( 1,2)c ，则 c _ （ 2） 下 列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0, 0), (1, 2)
13、ee B. 12( 1, 2), (5, 7 )ee C. 12(3, 5), (6,10)ee D. 12 13( 2 , 3 ), ( , )24ee （ 3） 已知 ,ADBE 分别是 ABC 的边 ,BCAC 上的中线 ,且 ,AD a BE b,则 BC 可用向量 ,ab表示为 （ 4） 已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 DBCD 2 ， ACsABrCD ，则 sr 的值是 _ F EDCBA高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 3 （ 5） 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 )1,3(A , )3,1(B ,若点 C 满足 OC OB
14、OA 21 ,其中 R21, 且 121 ,则点 C 的轨迹是 _ 练习 1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0, 0), (1, 2)ee B. 12( 1, 2), (5, 7 )ee C. 12(3, 5), (6,10)ee D. 12 13( 2 , 3 ), ( , )24ee 2.（ 2011 全国一 5）在 ABC 中， AB c ， AC b 若点 D 满足 2BD DC ，则 AD =（ ） A 2133bc B 5233cb C 2133bc D 1233bc 3如图所示， D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD （ ） . A BAB
15、C 21 B BABC 21 C BABC 21 D BABC 21 4.如图， ABCD 是梯形， AB/CD，且 CDAB 2 ， M、 N 分别是 DC 和 AB 的中点，已知 aAB ， bAD ，试用 a 和 b 表示 BC 和 MN D CBA NM5、 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 12 3A D D B C D C A C B ， 则 （ ） A 23 B 13 C 13 D 23 6、 在平面直角坐标系中， o 是坐标原点，两定点 ,AB满足 2,O A O B O A O B 则点集 1,/ OBOAOPP所表示的区域的面积是 （ A） 22 （ B）
16、23 （ C） 42 （ D） 43 题型 4 向量的坐标运算 例 4 （ 1） 已知点 (2,3), (5,4)AB， (7,10)C ，若 ()A P A B A C R ，则当 _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 （ 2） 已知 1( 2 , 3 ) , (1 , 4) , ( sin , c os )2A B A B x y且， , ( , )22xy ，则 xy （ 3） 已知作用在点 (1,1)A 的三个力 1 2 3( 3 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 ,1 )F F F ，则合力 1 2 3F F F F 的终点坐标是 （ 4） 设 (2,3), ( 1
17、,5)AB ，且 13AC AB， 3AD AB ，则 C、 D 的坐标分别是 _ 练习 1.已知 (4,5)AB ， (2,3)A ，则点 B 的坐标是 。 2.（ 2011 四川卷 3）设平面向量 3, 5 , 2,1ab ，则 2ab( ) （） 7,3 （） 7,7 （） 1,7 （） 1,3 3.【 2012 高考广东文 3】 若向量 (1,2)AB ， (3,4)BC ，则 AC A. (4,6) B. ( 4, 6) C. ( 2, 2) D. (2,2) 4【 2012 高考广东理 3】 若向量 BA =（ 2,3）， CA =（ 4,7），则 BC = A（ -2,-4） B
18、 (3,4) C (6,10) D (-6,-10) 5.已知 (1,2), (3,2)AB,向量 ( 2, 3 2 )a x x y 与 AB 相等，求 ,xy的值。 6.已知 O 是坐标原点， (2, 1), ( 4,8)AB，且 30AB BC，求 OC 的坐标。 7.已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 ( 1,2)A ， (3,4)B ， (2,1)D ，且 /AB DC ， 2AB CD ，求点 C的坐标。 题型 5.求数量积 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | | |cosab 叫做 a 与 b 的数量积（或内积 或点积），记作：
19、a b ，即 a b cosab 。规定：零向量与任一向量的数量积是0， 注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。 高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 4 平面向量数量积 坐标表示 ： 1 2 1 2a b x x y y a b 的几何意义 ：数量积 a b 等于 a 的模 |a 与 b 在 a 上的投影的积。 向量数量 积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为 ，则： 0a b a b ； 当 a ， b 同向时， a b ab，特别地， 222,a a a a a a ；当 a 与 b 反向时， a b ab；当 为锐角时， a b 0， 且 ab、 不
20、同向， 0ab 是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时， a b 0， 且 ab、 不反向， 0ab 是 为钝角的必要非充分条件 ； 例 5 （ 1） ABC 中， 3| AB ， 4| AC ， 5| BC ，则 BCAB _ （ 2） 已知 11(1 , ) , ( 0 , ) , ,22a b c a k b d a b ， c 与 d 的夹角为4，则 k 等于 _ （ 3） 已知 2 , 5, 3a b a b ，则 ab 等于 _； （ 4） 已知 ,ab是两个非零向量，且 a b a b ，则 与a a b 的夹 角为 _ （ 5） 已知向量 a （ sinx， cosx） ,
21、 b （ sinx， sinx） , c （ 1， 0）。（ 1）若 x 3 ，求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 4,83 ，函数 baxf )( 的最大值为 21 ，求 的值 （ 6） 下列命题中： cabacba )( ； cbacba )()( ； 2()ab 2|a 22 | | | | | |a b b ； 若 0ba ，则 0a 或 0b ； 若 ,a b c b 则 ac ； 2 2aa ；2a b baa ； 222()a b a b ； 222( ) 2a b a a b b 。其中正确的是 _ 练习 1.已知 | | 3,| | 4ab，且 a 与 b 的夹角为
22、60 ，求（ 1） ab ，（ 2） ()a a b ， （ 3） 2)( ba ，（ 4） (2 ) ( 3 )a b a b 。 2.已知 ( 2 , 6 ), ( 8 ,1 0 )ab ，求（ 1） | |,| |ab，（ 2） ab ， 3.【 2012 高考辽宁文 1】 已知向量 a = (1, 1)， b = (2,x).若 a b = 1,则 x = (A) 1 (B) 12 (C) 12 (D)1 4.（ 2011 北京卷 11）已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ，且 4ab ，那么 ba 的值为 5. ABC 中， 60,3,2 BBCAB ,则 _ _ _ _ _ _
23、 _ _ BCAB 6、 设 a 、 b 、 c 是单 位向量 且 a b 0 则 a c b c 的最小值为 ( ) （ A） 2 （ B） 22 （ C） 1 (D)12 7、 设 ABC 的三个内角 ,ABC 向量 ( 3 sin , sin )ABm (cos , 3 cos )BAn 若 1 co s( )AB mn 则 C =（ ） A 6 B 3 C 23 D 56 题型 6 求向量的夹角 非零向量 a ， b 夹角 的计算公式： cos abab ； | | | | |a b a b 例 6 （ 1） 已知 )2,( a ， )2,3( b ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则
24、 的取值范围是 _ （ 2） 已知 OFQ 的面积为 S ，且 1 FQOF ，若 2321 S ，则 FQOF, 夹角 的取值范围是_ （ 3） 已知 ( c o s , s in ) , ( c o s , s in ) ,a x x b y ya 与 b 之间有关系式 3 , 0k a b a k b k 其 中， 用 k 表示 ab ； 求 ab 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角 的大小 练习 1.已知 | | 8,| | 3ab， 12ab ，求 a 与 b 的夹角。 2.已知 ( 3 ,1), ( 2 3 , 2 )ab ，求 a 与 b 的夹角。 3.已知平面向量 ba,
25、满足 424)2.( bababa ，且）（ 且，则 ba与 的夹角为 5.已知 ( ,3)am ， (2, 1)b，（ 1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围； （ 2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围。 高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 5 6若 ,ab是非零向量且满足 ( 2 )a b a， ( 2 )b a b ，则 a 与 b 的夹角是（ ） A 6 B 3 C 32 D 65 7.向量 a 、 b 满足（ a b ）（ 2a +b ） = 4，且 |a |=2， |b |=4，则 a 与 b 夹角的余弦值等于 。 8.（ 2009 重
26、庆卷理） 已知 1, 6 , ( ) 2 a b a b a，则向量 a 与向量 b 的夹角是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 9.（ 全国卷文） 设非零向量 a 、 b 、 c 满足 cbacba |,| ，则 ba, （ A） 150 B） 120 （ C） 60 （ D） 30 10、（湖北文 9）设 a=(4,3),a 在 b 上的投影为 225 ,b 在 x 轴上的投影为 2,且 |b| 1,则 b 为 A.(2,14) B.(2,- 72 ) C.(-2, 72 ) D.(2,8) 11、 若向量 a 与 b 不共线 0ab 且 aac = a bab则向量 a 与 c 的夹
27、角为（ ） A 0 B 6 C 3 D 2 题型 7.求向量的模 向量的模 ： 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y 。 两点间的距离 ：若 1 1 2 2, , ,A x y B x y，则 222 1 2 1|A B x x y y 。 例 7、 已知 ,ab均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 | 3 |ab _； 1.已知 | | 3,| | 4ab，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（ 1） |ab ，（ 2） |2 3 |ab 。 2.【 2012 高考重庆文 6】 设 xR ，向量 ( ,1), (1, 2),a x b 且 ab ，则 |ab
28、（ A） 5 （ B） 10 （ C） 25 （ D） 10 3.（ 2011 上海卷 5）若向量 a ， b 满足 12ab， 且 a 与 b 的夹角为 3 ，则 ab 4. 已知 (2,3),A (4, 3)B ,点 P 在线段 AB 的延长线上 ,且 3| | | |2AP PB ,求点 P 的坐标 5已知 )1,2(a 与 )2,1(b ，要使 bta 最小，则实数 t 的值为 _。 6.已 知向量 (2,1)a ， 10ab ,| | 5 2ab ,则 b （ A） 5 (B) 10 (C) 5 (D) 25 7已知向量 (cos ,sin )a ，向量 ( 3, 1)b， 则 2a
29、b 的最大值是 8.（ 2009 辽宁卷文） 平面向量 a 与 b 的夹角为 060 ， a (2,0), | b | 1，则 | a 2b | （ A） 3 （ B） 2 3 （ C） 4 （ D） 12 9.（全国卷理） 设 a 、 b 、 c 是单位向量，且 a b 0，则 a c b c 的最小值为 ( D ) （ A） 2 （ B） 22 （ C） 1 (D)12 10.（江西卷） 已知向量 (1sin )a ， ， (1 cos )b ， ，则 ab 的最大值为 11.（全国 II） 已知向量 a (sin， 1)， b (1， cos)， 2 2 （）若 a b，求 ； （）求
30、a b的最大值 12、设 21,ee 为单位向量，非零向量 Ryxeyexb ,21 ，若 21,ee 的夹角为 6 ，则| |bx的最大值等于 13、 . 已知 ,ab是单位向量， 0ab .若向量 c 满足 1,c a b c 则 的 取 值 范 围 是 A 2-1, 2+1， B 2-1, 2+2， C 1, 2+1， D 1, 2+2， 高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 6 题型 8 投影问题 b 在 a 上的投影 为 | |cosb ，它是一个实数，但不一定大于 0。 例： 已知 3| a ， 5| b ，且 12ba ，则向量 a 在向量 b 上的投影为
31、_ 1 已知 ，4,5 ba ， ba与 的夹角 32 ，则向量 b 在向量 a 上的投影为 3关于 caba . 且 0a ，有下列几种说法： )( cba ； b c ； 0).( cba b 在 a 方向上的投影等于 c 在 a 方向上的投影 ； ab ； cb 其中正确的个数是 （ ） （ A） 4 个 （ B） 3 个 （ C） 2 个 （ D） 1 个 5若 a = )3,2( ， b = )7,4( ，则 a 在 b 上的投影为 _。 6、 .已知点 A（ 1， 1）、 B（ 1,2）、 C（ 2,1）、 D（ 3,4），则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 题型 9.向量的平
32、行与垂直 向量平行 (共线 )的充要条件 ： /a b a b 22( ) (| | |)a b a b 1 2 1 2x y y x 0。 向量垂直的充要条件 ： 0 | | | |a b a b a b a b 1 2 1 2 0x x y y 例 9 (1)若向量 ( ,1), (4, )a x b x，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同 （ 2） 已知 (1,1), (4, )a b x， 2u a b ， 2v a b，且 /uv，则 x _ （ 3） 设 ( , 1 2 ) , ( 4 , 5 ) , (1 0 , )P A k P B P C k ，则 k _时， A,B,
33、C 共线 （ 4)已知 ( 1, 2 ), (3, )O A O B m ，若 OA OB ，则 m （ 5） 以原点 O 和 A(4,2)为两个 顶点作等腰直角三角形 OAB， 90B ，则点 B 的坐标是 _ （ 6） 已知 ( , ),n ab 向量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是 _ 练习 1.已知 (6,2)a ， ( 3, )bm ，当 m 为何值时，（ 1） /ab？（ 2） ab ？ 2.（广东卷 3）已知平面向量 (1,2)a ， ( 2, )bm ，且 a /b ，则 23ab （ ） A、 ( 5, 10) B、 ( 4, 8) C、 ( 3, 6) D、 ( 2,
34、 4) 3.（ 2011 海南卷 5）已知平面向量 a =（ 1， 3）， b =（ 4， 2）， ab 与 a 垂直，则 是（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 4 已知 (1,2)a , )2,3(b ,当 k 为何值时， （ 1） ka b 与 3ab 垂直？ （ 2） ka b 与 3a b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 5.已知 (0, 2)A ， (2,2)B ， (3,4)C ，求证： ,ABC 三点共线。 6 如果 21 eeAB ， 21 82 eeBC ， 213 eeCD ，求证 A ， B ， D 三点共线 7.设 21,ee 是两个不共线的向量， 212
35、121 2,3,2 eeCDeeCBekeAB ，若 A、 B、 D 三点共线，求 k 的值 . 8.已知向量 )1,3( a ， )23,21(b （ 1）求证： ba 2）是否存在不为 0 的实数 k 和 t ，使 ,)3( 2 btax btaky ，且 yx ？如果存在，试确定k 与 t 的关系；如果不存在，请说明理由 10、【 2012 高考陕西文 7】 设向量 a =（ 1.cos ）与 b =（ -1， 2cos ）垂直，则 cos2 等于 （ ） A 22 B12 C .0 D.-1 11设 3( ,sin )2a ， 1(cos , )3b ，且 /a b ，则锐角 为（ ）
36、 A 030 B 060 C 075 D 045 12.（ 2011广东卷 理 ） 已知向量 )2,(sin a 与 )cos,1( b 互相垂直，其中 (0, )2 （ 1）求 sin 和 cos 的值； （ 2）若 10sin ( ) , 01 0 2 ，求 cos 的值 高中数学讲义 韩立波数学 微信： hlb183547730 7 13、平面向量 a ， b 共线的充要条件是（ ） A. a ， b 方向相同 B. a ， b 两向量 中至少有一个为零向量 C. R， ba D. 存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 120ab 14对于非零向量 ,ab“ 0ab” 是“ /ab” 的【 A 】 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15.（宁夏海南卷文） 已知 3, 2 , 1, 0ab ，向量 ab 与
