1、专题提升 (五 ) 一次函数的图象与性质的应用 类型之一 一次函数的图象的应用 【经典母题】 如图 Z5 1， 由图象得 5x 2y 4 0，3x 2y 12 0 的解是 x 2，y 3 图 Z5 1 【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数 ， 于是也对应着两条直线 从 “ 数 ” 的角度看 ， 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等 ， 以及这个函数值是何值；从 “ 形 ” 的角度看 ， 解方程组相当于确定两条直线的交点坐标； (2)一次函数、一元 一次方程、一元一次不等式有着独立的概念 ，但在本质上，后者是前者的 特殊情况 ，从而可以利用函数图象解决方程或方程
2、组问题，体现出数形结合的思想 【中考变形】 1 高铁的开通 ， 给衢州市民出行带来了极大的方便五一期间 ， 乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩 ， 乐乐乘私家车从衢州出发 1 h 后 ， 颖颖乘坐高铁从衢州出发 ， 先到杭州火车东站 ， 然后转乘出租车去游乐园 (换车时间忽略不计 )， 两人恰好同时到达游乐园 ， 他们离开衢州的距离 y(km)与乘车时间 t(h)的关系如图 Z5 2 所示请结合图象解决下列问题： 图 Z5 2 (1)高铁的平均速度是每小时多少千米？ (2)当颖颖到达杭州火车东站时 ， 乐乐距离游乐园还有多少千米？ (3)若乐乐要提前 18 min 到达游乐园 ， 问私家车的速
3、度必须达到多少？ 解： (1)v 2402 1 240(km/h)， 答：高铁的平 均速度为 240 km/h； (2)设乐乐离开衢州的距离 y 与时间 t 的函数关系为 y kt， 则 1.5k 120， k80， 函数表达式为 y 80t， 当 t 2 时 ， y 160， 216 160 56(km) 答：乐乐距离游乐园还有 56 km； (3)把 y 216 代入 y 80t， 得 t 2.7， 2 7 1860 2.4(h)， 2162.4 90(km/h) 答：乐乐要提前 18 min 到达游乐园 ， 私家车的速度必须达到 90 km/h. 2 2017宿迁 小强与小刚都住在安康
4、小区 ， 在同一所学校读书 ， 某天早上 ， 小强 7： 30 从安康小区站乘坐校车去学校 ， 途中需停靠两个站点才能到达学校站点 ， 且每个站点停留 2 min， 校车行驶途中始终保持匀速 ， 当天早上 ， 小刚7： 39 从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发 ， 出租车匀速行驶 ， 比小强乘坐的校车早 1 min 到学校站点 ， 他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程 y(km)与行驶时间 x(min)之间的函数图象如图 Z5 3 所示 图 Z5 3 (1)求点 A 的纵 坐标 m 的值； (2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程 解： (
5、1)校车的速度为 34 0.75(km/min)， 点 A 的纵坐标 m 的值为 3 0.75 (8 6) 4.5. 答：点 A 的纵坐标 m 的值为 4.5； (2)校车到达学校站点所需时间为 90.75 4 16(min)， 出租车到达学校站点所需时间为 16 9 1 6(min)， 出租车的速度为 96 1.5(km/min)， 两车相遇时出租车出发时间为 0.75 (9 4)(1.5 0.75) 5(min)， 相遇地点离学校站点的路程为 9 1.5 5 1.5(km) 答：小刚乘坐出租车出发后经过 5 min 追到小强所乘坐的校车 ， 此时他们距学校站点的路程为 1.5 km. 3
6、方成同学看到一则材料：甲开汽车 ， 乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地设乙行驶的时间为 t(h)， 甲乙两人之间的距离为 y(km)， y 与 t 的函数关系如图 Z5 4 所示方成思考后发现了图 的部分信息：乙先出发1 h；甲出发 0.5 h与乙相遇 请你帮助方成同学解决以下问题： (1)分别求出线段 BC， CD所在直线的函数表达式； (2)当 20 y 30 时 ， 求 t 的取值范围； (3)分别求出甲 ， 乙行驶的路程 s 甲 ， s 乙 与时间 t 的函数表达式 ， 并在图 所给的直角坐标系中分别画出它们的图象； (4)丙骑摩托车与乙同时出发 ， 从 N 地沿同一公
7、路匀速前往 M 地 ， 若丙经过 43 h与乙相遇 ， 问丙出发后多少时间与甲相遇？ 图 Z5 4 解： (1)设直线 BC 的函数表达式为 y kt b， 把 32， 0 ， 73， 1003 分别代入 ， 得0 32k b，1003 73k b，解得 k 40，b 60， 直线 BC 的表达式为 y 40t 60. 设直线 CD 的函数表达式为 y1 k1t b1， 把 73， 1003 ， (4， 0)分别代入 ， 得1003 73k1 b1，0 4k1 b1，解得 k1 20，b1 80， 直线 CD 的函数表达式为 y1 20t 80； (2)设甲的速度为 a km/h， 乙的速度为
8、 b km/h， 根据题意 ， 得 0.5a 1.5b，a 73 1 73b 1003 ， 解得 a 60，b 20， 甲的速度为 60 km/h， 乙的速度为 20 km/h， OA 的函数表达式为 y 20t(0 t 1)， 点 A 的纵坐标为 20， OA 段 ， AB段没有符合条件的 t 值； 当 20 y 30 时 ， 即 20 40t 60 30 或 20 20t 80 30， 解得 2 t 94或52 t 3； (3)根据题意 ， 得 s 甲 60t 60 1 t 73 ， s 乙 20t(0 t 4)， 所画图象如答图所示； 中考变形 3 答图 (4)当 t 43时 ， s 乙
9、 803 ， 此时丙距 M 地的路程 s 丙 与时间 t 的函数表达式为 s 丙 40t 80(0 t 2)， 当 40t 80 60t 60 时 ， 解得 t 75， 答：丙出发 75 h与甲相遇 【中考预测】 2017义乌模拟 甲、乙两组同时加工某种零件 ， 乙组工作中有一次停产更换设备 ， 更换设备后 ， 乙组的工作效率是原来的 2 倍两组各自加工零件的数量 y(件 )与时间 x(h)的函数图 象如图 Z5 5 所示 图 Z5 5 (1)直接写出甲组加工零件的数量 y 与时间 x 之间的函数关系式 _y 60x(0x 6)_； (2)求乙组加工零件总量 a 的值； (3)甲、乙两组加工出
10、的零件合在一起装箱 ， 每 满 300 件装一箱 ， 零件装箱的时间忽略不计 ， 求经过多长时间恰好装满第 1 箱？ 解： (1) 图象经过原点及 (6， 360)， 设表达式为 y kx， 6k 360， 解得 k 60， y 60x(0 x 6)； (2)乙 2 h加工 100 件 ， 乙的加工速度是每小时 50 件 ， 更换设备后 ， 乙组的工作速度是每小时加工 100 件 ， a 100 100 (4.8 2.8) 300； (3)乙组更换设备后 ， 乙组加工的零件的个数 y与时间 x 的函数关系式为 y 100 100(x 2.8) 100x 180， 当 0 x 2 时 ， 60x
11、 50x 300， 解得 x 3011(不合题意 ， 舍去 )； 当 2 x 2.8 时 ， 100 60x 300， 解得 x 103 (不合题意 ， 舍去 )； 当 2.8 x 4.8 时 ， 60x 100x 180 300， 解得 x 3， 符合题意 答：经过 3 h恰好装满第 1 箱 类型之二 一次函数的性质的应用 【经典母题】 某商场要印制商品宣传材料 ， 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收 1 元印制费 ， 另收 1 500 元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收 2.5 元印制费 ，不收制版费 (1)分别写出两厂 的收费 y(元 )与印制数量 x(份 )之间的关系式； (2)
12、在同一直角坐标系中画出它们的图象； (3)根据图象回答下列问题：印制 800 份宣传材料时 ， 选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费 3 000 元用于印刷上述宣传材料 ， 找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？ 解： (1)甲厂的收费函数表达式为 y 甲 x 1 500， 乙厂 的收费函数表达式为 y 乙 2.5x； (2)图略； (3)当 x 800 时 ， y 甲 x 1 500 800 1 500 2 300(元 )， y 乙 2.5x 2.5 800 2 000(元 )； 当 y 3 000 时 ， y 甲 x 1 500 3 000， 解得 x 1 500， y 乙 2.5x 3 0
13、00， 解得 x 1 200， 答：印制 800 份材料时 ， 选择乙厂合算；花费 3 000 元时 ， 甲厂印制的宣传材料多一些 【思想方法】 解 此类一次函数在实际生活中的应用的问题 ，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想 【中考变形】 1 某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机 ， 这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价 (元 /部 ) 4 000 2 500 售价 (元 /部 ) 4 300 3 000 该商场计划购进两种手机若干部 ， 共需 15.5 万元 ， 预计全部销售后可获毛利润共 2.1 万元 毛利润 (售价进价 ) 销售量 (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少
14、部？ (2)通过市场调研 ， 该商场决定在原计划的基础上 ， 减少甲种手机的购进数量 ，增加乙种手机的购进数量已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍 ， 而且用于购进这两种手机的总资金不超过 16 万元 ， 该商场怎样进货 ，才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润 解： (1)设商场计划购进甲种手机 x 部 ， 乙种手机 y 部 ， 由题意 ， 得 0.4x 0.25y 15.5，0.03x 0.05y 2.1， 解得 x 20，y 30. 答：商场计划购进甲种手机 20 部 ， 乙种手机 30 部； (2)设甲种手机的购进数量减少 a 部 ， 则乙种手机的购进数量增加
15、 2a 部 ， 由题意 ， 得 0.4 (20 a) 0.25 (30 2a) 16， 解得 a 5. 设全部销售后获得的毛利润为 W 万元 ， 由题意 ， 得 W 0.03 (20 a) 0.05 (30 2a) 0.07a 2.1. k 0.07 0， W 随 a 的 增大而增大 ， 当 a 5 时 ， W 最大 2.45 万元 答：该商场购进甲种手机 15 部 ， 乙种手机 40 部可使获得的毛利润最大 ， 最大毛利润为 2.45 万元 2 2017绵阳 江南农场收割小麦 ， 已知 1 台大型收割机和 3 台小型收割机 1 h可以收割小麦 1.4 公顷 ， 2 台大型收割机和 5 台小型
16、收割机 1 h可以收割小麦2.5 公顷 (1)每台大型收割机和每台小型收割机 1 h收割小麦各多少公顷？ (2)大型收割机每 小时费用为 300 元 ， 小型收割机每小时费用为 200 元两种型号的收割机一共有 10 台 ， 要求 2 h完成 8 公顷小麦的收割任务 ， 且总费用不超过 5 400 元有几种方案？请指出费用最低的一种 ， 并求出相应的费用 解： (1)设 1 台大型收割机每小时收割小麦 a 公顷 ， 1 台小型收割机每小时收割小麦 b 公顷 ， 根据题意 ， 得 a 3b 1.4，2a 5b 2.5， 解得 a 0.5，b 0.3. 答： 1 台大型收割机每小时收割小麦 0.5
17、 公顷 ， 1 台小型收割机每小时收割小麦 0.3 公顷 (2)设需要大型收割机 x 台 ， 则需要小型收割机 (10 x)台 ， 根据题意 ， 得 600x 400（ 10 x） 5 400，x 0.6（ 10 x） 8， 解得 5 x 7， 又 x 取整数 ， x 5， 6， 7， 一共有 3 种方案 设费用为 W 元 ， 则 W 600x 400(10 x) 200x 4 000.由一次函数性质知 ，W 随 x 增大而增大 当 x 5 时 ， W 值最小 ， 即大型收割机 5 台 ， 小型收割机 5 台时 ， 费用最低 ， 此时 ， 所有费用 W 600 5 400 5 5 000(元
18、) 答：采用大型、小型收割机各 5 台时费用最低 ， 最低费用为 5 000 元 【中考预测】 某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B型电脑的利润为 4 000 元 ， 销售 20 台 A 型和10 台 B型电脑的利润为 3 500 元 (1)求每台 A 型电脑和 B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台 ， 其中 B型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍 ， 设购进 A 型电脑 x 台 ， 这 100 台电脑的销售总利润为y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店购进 A 型 ， B型电脑各多少台 ， 才能使销售总利润最大？ 解： (1)设每
19、台 A 型电脑销售利润为 m 元 ， 每台 B 型电脑的销售利润为 n 元 ， 根据题意 ， 得 10m 20n 4 000，20m 10n 3 500， 解得 m 100，n 150. 答：每台 A 型电脑的销售利润为 100 元 ， 每台 B 型电脑的销售利润为 150 元； (2) 根据题意 ， 得 y 100x 150 (100 x)， 即 y 50x 15 000. 根据题意 ， 得 100 x 2x， 解得 x 3313， y 50x 15 000， y 随 x 的增大而减小 ， x 为正整数 ， 当 x 34 时 ， y 有最大值 ， 则 100 x 66. 答：商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑时 ， 销售利润最大
