1、 水流流经斜矩形柱的三维尾流结构特征和空气动力学系数 摘要 数值模拟研究已经证实了流体流过倾斜矩形柱 时 ，在 Re300 的范围内，矩形柱之后的层流三维尾流的特征取决于雷诺数与入射角（ ） 。在 矩形柱中 建立 笛卡尔 坐标系使用了 沉浸边界法。弗罗奎兹 的 稳定性分析和完整的三维模拟 仿真 都能用来检测导致三维流发生的二次失稳，并提供 大量 的 水流 数据。结果表明，由于 水流并非 对称， A 模式会变得更加不稳定，而在1025内 C 模式 占 主导。弗洛奎稳定性分析预测得到的最不稳定的三维模式通过三维模拟得到了很好的印证 ，该模拟仿真是 在雷诺数为 150， 200， 250 和 300
2、 及不同的入射角 的情况下验证的 。 该 三维模拟也提供了关键的流动特性，如 由 流动引起的平均力 /力矩系数和旋涡脱落时的 基本质数。略微倾斜的矩形柱对于这些 要素 十分敏感，并且，除了平均升力系数，雷诺数影响甚微。在尾流渦状结构， 将 弗罗奎兹稳定性分析的结果和三维数值模拟通过 Q 型轮廓可视化 进行比较 ，结果两者具有相当高的一致性。 1.引言 近期，流 体研究 人员对流体流过矩形柱产生了浓厚的兴趣 ，这 不仅仅因为流体力学的物理意义而且还取决于其在工程中的适 用 性 。 矩形柱被认为是在建筑，桥墩，燃料棒等 等中浸没在自由流 体 里最简单的几何模型。 特别地， 从 结构安全的角度出发
3、，水动 力和旋脱落频率是 关键要素 。大约在 Re165 时， （其中 Re 表示基于统一流速度（ U）和方柱的凸出高度（ h）的 雷诺数 ,浸没在自由流的矩形柱后面呈现三维（ 3D）的运动。因此，了解3D 波浪的水动力机理是 阐明在相同的 水流情况下 层流紊流过渡的第一步。众所周知，在一个二维（ 2D）圆柱绕流 里 ，存在两个不同的 会 导致三维流动 的不 稳 定模式，即模式 A 和 B 模式。模式A 发生背景是 波长大约为三到四倍 的直径， 圆柱后漩涡在展长方向失真 。一对反向旋转的 漩 涡周期交替形成在 上部区域和下部 区域 的圆柱尾迹。这种情景是相反的，被称为模式 A 的 “奇数反射平
4、移对称性 ”。另一方面， B 模式 的背景是其 较短的翼展方向的波长约一 倍 直径， 并且这对 反向旋转的 漩涡显示了 “反射平移对称性 ”。在文献中，对模式 A 的临界雷诺兹数（ REA）和模式 B（ REB）已确认使用不同的调查方法。威廉姆森的实验研究（ 1996）揭示了 ReA190 和 ReB230260.巴克利和亨德森（ 1996）报道 ReA188 和 ReB259利用弗罗奎兹稳定性分析，而 posdziech 和 Grundmann 通过数值模拟研究发现ReA190.2 和 ReB261。最近，一个新的类型的不稳定性（ C 模式）在流过沉浸以外的一个单一的圆形筒体时被发现。谢尔德
5、等人（ 2003）确定了 C 模式不稳定在细长钝环基本上弯曲的圆柱。尔穆等人（ 2008）发现 C 模式不稳定的流动的两个交错的圆柱，并报道， C 模式是促进非对称流的状态与同一时期，旋涡脱落的两倍。谢尔德等人（ 2009）也注意到模式 C 失稳斜方柱绕流对一定范围内的倾斜角度发生非对称流动。 大多数的方柱绕流的研究已经在零入射角情况下进行的。一个方面的主要流动方向的矩形柱的倾斜会导致分离点的其他角落的突然转变，导 致下游的柱体的流动拓扑结构的急剧变化。根据五十岚实验工作（ 1984），分离点的转变带来的流动特性，如斯特劳哈尔数显著变化（ ST）涡脱落，阻力，和柱体的升力，取决于入射角（ ）。
6、据文献报道，入射角不稳定流动的矩形柱体下游大大影响，分别改变临界雷诺兹数流动分离，旋涡脱落，和分叉的三维流场。尽管通过大量的实验，然而，对流动结构的入射角在三维尾流的影响，以及相关的力作用在气缸的边界法的手段来揭示的流动拓扑结构，入射角的影响不稳定流动，和流动引起的力载荷。首先，我们采用弗罗奎兹稳定性分析方法检测流动不稳定性的发生取决 于 。最不稳定的弗罗奎兹模式的涡结构进行了介绍和讨论。在那之后，全三维模拟与各种 Re 和 进行鉴别，用弗罗奎兹分析预测的流场结构，并计算平均力 /力矩系数和圣时间平均流拓扑结构进行了讨论。 2.公式和数值方法 计算机技术（基姆等人 2001）的参与可以在浸入边
7、界法起显著效果有利于斜方柱的固体表面在笛卡尔网格系统的固体表面实现。 对可压缩流动的控制方程，修正的沉浸边界法，如下； 0q- u （ 1） fuuu 2Re1)(t pu （ 2） 其中 U， P， Q，和 F 代表速度矢量，压力，质量源 /汇，和动量力，分别地，所有的物理变量除了 P U 与 H；压强的远场的压力（ p ）和动态压力。控制方程在非均匀交错笛卡尔网格系统由离散的有限体积法确定。空间离散化是二阶精度。一种用于时间的推进的混合方案 ;非线性项是由一个三阶龙格 - 库塔方案明确前进，而其他术语都隐含垫付曲柄尼科尔森方法。分步 法（基姆和穆， 1985）是去耦的连续性和动量方程的方法
8、。泊松方程的第二阶段的分步法用多重网格方法求解。用于在当前的调查的数值方法的详细描述，请看杨和费尔齐格（ 1993）。 二维流动的基础是一个具有连续的边界条件计算的弗罗奎兹稳定性分析。无滑移条件对柱体强加的表面。 Dirichlet 边界条件（ U=U， V=0）是用于计算域的入口边界，而在出口采用对流边界条件。这里的 U 和 V 分别代表在 X 和 方向的速度分量。滑边界条件施加在其它边界（ 0,0yu v ）。整个计算域被定义在hyhandhx 5050,5.363 3 . 5 h- 。该矩形柱定位在坐标系的原点。数字分辨率是由网格细化研究确定，以确保电网的独立性。在每个方向上的分辨率数值
9、分别为旋涡脱落的平均力系数和 st 会产生小于 1.0的误差。在 x 和 y 方向所用单元总共为 792448。 三维全模拟被用在跨度方向（ Z）上的周期性边界条件，和 0z12h 的横向区域进行的，而该区域域的大小和在 x 和 y 方向上的边界条件维持不变。该展向域的大小是相对于三维不稳定模式预测的展向波长而选择的。使 用的单元数在 x， y 和z 方向为 448*480*64。进一步细化网格显示在这里报告的结果差异不大。 3.结果和讨论 3.1 校验 大数据量可用在文献中的方柱体的情况下，其中 =0。通过我们代码和数值方法的验证而进行严格的了比较，在图 2 中平均阻力系数计算之间的，平方根
10、均方根升力系数波动（ CL， RMS）和 Strouhal 数（ St），和其他零角度入射的情况。在这里，阻力和升力系数的定义为 hUL ifthUD CC LD 22 21/,21/r a g 其中流体密度通过 p 表示。数据之间经确认高度一 致，本数值方法和分辨率是足够并且可靠的。 3.2 二级不稳定的发生 3.2.1 弗罗奎兹稳定性分析 下面的弗洛凯线性稳定性分析方法通过巴克利亨德森的描述如下：导致一个 3D流的二次失稳的发生可检测到的弗罗奎兹稳定性分析中的瞬时速度场的斜方柱绕流分解成一个具有周期 T 的 2D 基流（ U（ x,y,t）=U(x,y,t+T)）扰流速度（ u(x,y,z
11、,t)）遵循u(x,y,z,t)=u(x,y,t)+u(x,y,z,t) （ 4） 替代式（ 4）为 Navier 斯托克斯方程和连续性方程线性化，然 后，可以得到以下的扰动速度场的控制方程： 0u-q （ 5） fuU u Uu 2Re1)(t pu （ 6） 在这里，在沉浸边界法的附加项也包括在内。在入口，一个 Dirichlet 边界条件（ U = 0）是强加的，而对流和滑移边界条件分别用在出口和侧边界条件。由于速度和压力的波动被认为是在跨度方向上均匀的，它们可以通过逆傅立叶变换在 Z如下表示 ， detyxptzyxp zi),(),( uu （ 7） 其中 /2 代表的翼展方向的波数
12、和 是一个相对应的扰动展向波长。从例图（ 5）和（ 6）看出是线性的，与模式不同的 可以减弱。对每个干扰波方程的近似公式（ 5）和 （ 6），除了梯度算子 与 = iy,/,x/ ，通过定义的算子 L，L（ u ）是右手的线性方程，控制方程可象征性地写为 uLt/u 。 这个方程的一般解决方案可以表示为一个求和弗洛凯模式的形式， )texp(,x,u ）（ ty ，其中 是Floquet 指数，并且每一个 u 是时间的周期函数。基流的 U 不稳定是由 Floquet 乘子确定， 1);(exp T 表明指数增长的扰动弗 洛凯乘子可以从 u；L 得到的特征值代表相应的本征函数。近来，罗比乔克斯等
13、人（ 1999）解释了一个一维（ 1D）功率型的方法。通过计算以式子估计的 Floquet 乘子的最大值 )(/)(m a x tNTtN （ 8） n（ t）在瞬间的时间的扰动速度的 L2 模数。这种方法被布莱克本和洛佩兹（ 2003）验证。在这项研究中，我们使用罗比乔克斯等人的方法（ 1999）与沉浸 边界法相结合（基姆等人， 2001）来计算流过倾斜斜方柱周期性尾部 Floquet 失稳。为方便起见， “floquet 乘数 ”意味着一个具有最大震级之间的 Floquet 乘子，下标为“Max”。 方程（ 5）和（ 6）分别在时间和空间离散化以同样的方式作为基底流（见第 2节）首先计算
14、2D 时间周期性基流。旋涡脱落的一个周期保存了 32 个快照并被送入均衡器。公式 （ 5）和（ 6），被傅立叶插值于每个时间点。 3.2.2 失稳模式 临界雷诺数为二次不稳定取决于图 3 给出的 ，实心符号表示当前的结果，而空心符号表示谢尔德等人（ 2009 年）的结果。尽管所采用的数值算法是完全不同的，但这两者之间的一致度是最高 的，在确认鲁棒性的弗洛奎稳定性分析下临界雷诺数为模式 A 或 C 比其他模式（ B 或 QP）更不稳定。准周期（ QP ）模式对于 B 模式在 Re 超过临界雷诺数，与罗比查乌克斯（ 1999）和谢尔德（ 2009 年）等人的检测结果是高度一致的。布莱克本和谢尔德（
15、 2010 年）确定的 QP 模式当入射角增大时顺利转变为次谐波模式 C。可以看出在图 3 中模式 A（即临界雷诺数为模式 A变低）的入射角趋近于零或 45 度 ，而模式 C 在 10 51 的范围内是占主导地位，这意味着，模式 A 趋于更不稳定一个 对称 流动，相反的是 ,近来谢尔德（ 2011）在模式 C 的情况下注意到在小入射角进行了详细的斜矩形柱稳定性分析。 由于 角的增加，流过斜矩形筒经过筒的周围发生急剧变化，影响了流量的稳定性特征。图 4 表示在 Re =200 的基流 的三个不同值的时间平均流线。因为5，在 B 点分隔的流动重新汇集于 BC上（图 4（ a）。然而，当 大于 10
16、时，流动分离不会发生在 B 点（图 4（ b）。这种拓扑的变化会带来不对称的流动，并抑制模式 A 中的不稳定和 促进模式 C 的不稳定性（图 3）。当入射角（ 15）变大，较小的再循环所形成气泡在角 D 的附近，在一定程度上恢复流动对 称（图 4（ c）。当 变大小气泡将进一步变大，已恢复的对称性将一直模式 C 的不稳定性，并使模式 A 更加不稳定。图 5 显示出了每种模式由于 的变化的临界波长，谢尔德等人（ 2009）所研究的结果，包括在图 5，两者再次具有高度的一致性，其中图 5 表示了临界波的强弱取决于各个模式中的 角大小。 3.2.3 弗罗奎兹模式的渦结构 失稳模式特征可以通过对应于最
17、大 Floquet乘子的跨度方向的波数在给定的 Re和 中的弗罗奎兹模式中加以阐明。波动的速度场（ tzyxu , ）和其涡度场（ tzyx , ）对应于弗洛奎模式可以写为如下： zwzvzutzyx s in,c o s,c o s,u （ 9） zzztzyx zyx s in,c o s,c o s, （ 10） 在图 6 中，涡的最不稳定的 流向的分量 ）在图（ 10x 随着时间并沿着竖直方向被绘制在 x/ h =2.5。这里，在图 6 中提到了周期性的时间统一用 T 来表示。图 6（ A）对应的模式在 Re=176， =1.35，和 =5.11。可以看出，高强度的涡结构通过尾部在 x
18、/ H =2.5 的上面和下面交替。图 6（ b）中，显示出了在 Re =167， =3.95，且 =15.31，并在双倍时间（ 2T）模式 C 的情况下相类似。最后，图图 6（ c）呈现模式 A 的在 Re =122 另一种情况， =1.55，且 =451，其中在时间 T/2 时，一个奇反射平 移对称性的流动的组成就像流过的圆筒一样，很好地对称于中心线（ Y =0）。应当指出的是，图 6（ a）显示模式 A（如在图 6 的（ c），即使在图 6（ a）缸体的几何形状，也是不相对称流动方向。 为了显现最不稳定的情况的三维旋涡结构，速度梯度张量的第二不变量的等值线（桢以及胡， 1995，称为 Q
19、 轮廓），图 7（ a），（ b）和（ c）中分别对应于图 6 的（ a），（ b）和（ c）所显示的的俯视图。分别揭示了模式 A 和 C 在 T 和 2T 的时间段的基流速度波动的组合（ U = U + u）对应所选 是来自于图 7。因此，图 7 给出了 “典型的 ”涡结构 在给定展向的 RE 和 的 KaRMAN 旋涡清晰可见。 3.3 三维模拟 在本节中，从全三维模拟的结果表明了结构的入射角在方柱体下游侧上的影响以及流动引起的力涡。模拟结果为 Re=200,250,300， Re 每增加 5 度计算一次直到 为 45 度。 3.3.1 涡结构 在图 8 中， 和 x 的瞬时等值线为： =
20、5.1,10.2,15.3,29.7，和 45，在 Re= 200。应当指出的是，这两个数字都在 KaRMAN 平面并在 10左右，旋涡的上部和下部与零度的情况共同显示在图 8（ a）中 ,用波长约 4h，这是模式 A 的特征波长主导跨度方向波，都明确指出 Karman 旋涡在弗洛奎稳定性分析所预测的轴向方向。相邻等值线 x （图 8（ f）段）揭示了三对反向旋转的流向涡，再次与 =5.1时弗罗奎兹分析相一致（图 5 和 7）。对入射角（ =10.2）的一个略大的角度，流动从角 B 分离转移到角 C（图 4（ b），并且流程是稳定的。因此，在图 8（ b）和图 8（ g）等值线 x 和 Q 确
21、认了该流动仍然是二维的。我们特意扰乱整个流场的随机杂音，从而产生一个二维流动，但在施加扰动过程中迅速衰减。该结果与图 3一致。其中临界雷诺数在 =10.2比 Re=200 时高。 Tong 等（ 2008）。报道，在模式A 中自由剪切层结构要弱得多。图 8（ c）和（ h）对应于 =15.3并在轴向方向上发现七对占主导地位的反向旋转的涡流，得到 =1.714h，其在图 5 中显示的与=15.31 高度一致。此外，该旋涡的符号用来备用各个涡 旋脱落，表明主导跨度方向的不稳定是 Karman 涡旋脱落时间段的两倍。这些是模式 C 的关键特性，如图6（ b）和图 7（ b）所示，由基本流和从弗罗奎兹
22、稳定性分析计算的最不稳定跨度方向构造模式。在图 8 的（ d）和（ i）描绘当 =29.7的涡结构。按照弗洛凯稳定性分析（图 3），这两种模式 A 和模式 C 在 Re =200 是不稳定的。在图 8（ d）中，人们可以看到模式 A 的 足迹 ，大波长，即一个占主导地位的跨度方向变形。图 8（ i）中，尽管显示出属于模式 C 每各涡旋脱落备用符号变化是的特性。在 3D 全仿真模式 A 和 C 的混合物，证实 了弗洛奎稳定性分析的可靠性。模式 A 和 C 的混合物在 3D 全仿真中证实了弗洛奎稳定性分析的可靠性。因为模式之间的非线性的相互作用，旋涡结构全面模拟比在图 7 复杂得多。然而，也能检测
23、到由弗洛奎稳定性分析预测全模拟的不稳定模式。相同的注释可以为 =45 的情况下进行（图 8（ e）及（ j）。该涡结构看起来紊乱，但模式 A 的主要特征可以在这些数字进行标识。 当 Re 增加时非线性相互作用的加剧。图 9 给出 Re =150 和 =45俯视图中的Q 和流向涡，其中 Re 在模式 A（ Re=121）是稍微高于临界雷诺数的。与那些在Re=200 相比， 三对反向旋转的旋涡和涡结构更清晰更频繁。从弗洛凯稳定性分析中甚至看起来更像（图 7（ c）。在图 10 所示 Re =250 的涡结构在 与在图 8 中的值相同。当 =5.1（图 10 的（ a），展向变形大约 1h，除了模式
24、 A 确定对应于模式 B 中（参见图 3 和图 5 也同样）。在 y=10.2的情况下，（图 10（ b）段）明确表示了模式 C 的第二特征，当 Re= 200，且 =10.2的情况下流量保持二维状态（图8 的（ b）。在完全模拟由弗洛奎稳定性分析预测证明实现。对较高的角度（ =15.3，29.7，和 45），临界雷诺数 变低（图 3），从而导致非线性相互作用的增强，参见图 10（ c）和（ d）中，以及（ e）。在图 10（ d）和（ e）中，占主导地位的模式的典型特征是难以识别的，而图 10（ c）模式 C 的第二符号的变化仍然是可见的。 3.3.2 流动引起的力和力矩 由于方柱体的倾斜改
25、变流向的拓扑结构 ,显著影响在气缸流动引起的力和力矩。图 11 呈现的意思是风阻系数（ Cd），平均升力系数（ CL），平均力矩系数（ CM），和 Strouhal 数旋涡脱落（ st）为 的选定雷诺数的函数（ RE =200， 250， 300）。基于随时间变化的升力系数，得到斯特 罗哈数，平均力矩系数被定义如下， 2221/o m e n t hUMC M (11) 其中的顺时针方向被定为正方向。在图 11（ a）所示，平均阻力系数在 =5.1达到局部最小值，然后单调地增加最多到 =45。在平均升力系数而言（图 11 的（ b），但是，它急剧增大到最大值的幅度，然后返回到零，如对称的流动结
26、构恢复正常。假设粘性力流诱发的力，像任何其他流动（例如：图 19 Yoon 等人， 2010），DC 和 LC 这些观察结果可以通过压力分布上根据 的变化解释柱体的面。图 12 显示了压力系数的分布定义 221/)( UppC p 在 Re =200 沿气缸面 的一些选取的值。当汽缸是倾斜的，（图 4（ b）和（ c）在 BC 上的回流气泡消失时，从而产生BC 上（图 12）高的压力。因而产生 BC（图 12）高压下。与此相反，随着 增加对 AD 和 CD 压力 下降（图 12）。上游高压分布面临着连同上下游面所述低压配电导致增加总阻力的。应当指出的是 AB 上的高压力被分解成水平分量是高于该
27、对齐的矩形柱（ =0），并且不存在于该对齐的情况下，比一个向下的分量小。稍微倾斜（例如 =5.1），这些变化是显性的压力迫使任何其他变化对其它面，引起突然下降的 CD 和 CL 的大小突然增加。对 AB 高压力向下的分量还负责为结合向下升力。参见图 11（ b）所示。不对称沿缸的表面压力分布招致净磁矩。图 11（ c）所示 CM 为 的选定雷诺数的函数，揭示了负平均一刻所有的情况。当 增加， AB上的滞 流点及光盘上的基准点移向 B 和 D，分别为（图 12），产生一个负弯矩。均值时刻达到最大的幅度在的范围 1015内，在 =45并且单调趋近于零朝向。在 =10时 St 变化，其中 在图 11
28、（ d）所示。 Strouhal 数增加最多，然后几乎保持不变。这似乎与在流拓扑的变化接近 =10;流动分离发生在 A 和 B 5.1，但在 A 和 C 的 10（图 4）。它也可以看出，在层状三维尾部雷诺数的影响只局限于升力系数（图 11（ B）。 4 结论 本文对 三维层流 流经 倾斜矩形柱的特性进行了数值研究。首先， 易引起 三维流的次 要不稳定 性的发生可 通过弗洛奎稳定性分析 2D 周期基流 来进行预测 。主要模式 下 的 漩涡 以及它们的临界雷诺兹数 已经被展示 。事实证明模式 A 因 对称 流动变得更加不稳定，而 在 1025范围内模式 C 是占主导地位。我们的结果与中谢尔德等人
29、（ 2009 年）非常吻合。，即使这两个结果 是 使用完全不同的算法， 但都同样揭示了弗洛奎稳定性分析 中 的鲁棒性。其次，在 Re=150， 200， 250， 300， 不同的入射角和流激力 /力矩系数和 Strouhal 数 情况下进行 3D模拟 ， 并指出，除了平均升力系数 外， Re 的 影响是微不足道的。 水 流引起 的力，力矩 以及 涡脱落 时的 Strouhal数都会导致分离点移动 ，使得矩形柱 更易倾斜。在 1015的范围内平均力矩系数的幅度是最大的。尾部涡结构中，分别通过 Q-轮廓显现弗罗奎兹稳定性分析 结果 和全面的三维模拟 得到 结果。还应当注意， Floquet 稳定性分析的预测 通过 完整的三维模拟 来得到 证实，在相应的三维仿真中 ， 每个参数集（ RE， ）也 可被确定 。目前的研究是完全理解一个 从矩形柱 尾端湍流 向主流 转变的第一步。 致谢
