1、 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B， C， D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 ( ) A B C D A 72种 B 48种 C 24种 D 12种 解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时 A 有 4种涂法， B 有 3种涂法， C有2种涂法， D 有 1 种涂法，共有 4321 24 种涂法；二是用三种颜色，这 时 A， B， C的涂法有 432 24 种， D只要不与 C同色即可，故 D 有 2 种涂法故不同的涂法共有 24 242 72种 答案 A 2如图，用 6 种不同的颜色把 图中 A、 B、 C、 D
2、四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ( ) A 400 种 B 460 种 C 480 种 D 496 种 解析 从 A 开始，有 6 种方法， B 有 5 种， C有 4 种， D、 A同色 1种， D、 A 不同色 3 种， 不同涂 法有 654(1 3) 480(种 )，故选 C. 答案 C 3.甲、乙两人从 4门课程中各选修 2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有 ( ) A 6种 B 12 种 C 24 种 D 30种 解析 分步完成 .首先甲、乙两人从 4门课程中同选 1 门，有 4种方法，其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门，有 3 种方法
3、，最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1门，有 2种方法，于是，甲、乙 所选的课程中恰有 1 门相同的选法 共 有 4 3 2=24（种），故选 C 答案 C 4有 4 位教 师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有 ( ) A 8种 B 9 种 C 10种 D 11 种 解析 分四步完成，共有 3311 9种 答案 B 5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个 “ 平行线面组 ” 在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“ 平行线面组 ” 的个数是 ( ) A 60 B 48 C 36 D 24 解
4、析 长方体的 6 个表面构成的 “ 平行线面组 ” 有 66 36 个，另含 4 个顶点的 6 个面 (非表面 )构成的 “ 平行线面组 ” 有 62 12 个，共 36 12 48 个，故选 B. 答案 B 6高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有 ( ) A 16种 B 18 种 C 37 种 D 48种 解析 三个班去四个工厂不同的分配方 案共 43 种，甲工厂没有班级去的分配方案共 33种，因此满足条件的不同的分配方案共有 43 33 37(种 ) 答案 C 7 4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1
5、门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有 ( ) A 12种 B 24 种 C 30 种 D 36种 解析 分三步，第一步先从 4 位同学中选 2人选修课程甲共有 C24种不同选法，第二步给第 3位同学选课程，有 2 种选法第三步给第 4 位同学选课程，也有 2种不同选法故共有 C2422 24(种 ) 答案 B 二、填空题 8将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1个数，第二行 2个数，第三行 3 个数的形式随机排列，设 Ni(i 1,2,3)表示第 i行中最大的数，则满足 N1 N2 N3的所有排列的个数是 _ (用数字作答 ) 解析 由已知数字 6一定在第三行，第三行的排法种数为 A
6、13A25 60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二 行的排法种数为 A12A12 4，由分步计数原理满足条件的排列个数是 240. 答案 240 9.数字 1,2,3， ， 9这九个数字填写在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字 4 固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有 _种 4 解析 必有 1、 4、 9 在主对角线上， 2、 3 只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法， 5只有两种填法对于 5的每一种填法， 6、 7、 8 只有 3 种不同的填法，由分步计数原理知共有 223 12 种填法 答案 12 10将数字 1,2,3,4
7、,5,6排成一列，记第 i个数为 ai(i 1,2， ， 6)，若 a11 ，a33 ， a55 ， a1 a3 a5，则不同的排列方法有 _种 (用数字作答 ) 解析 分两步： (1)先排 a1， a3， a5，若 a1 2，有 2种排法；若 a1 3，有 2 种排法；若 a1 4，有 1 种排法，共有 5 种排法； (2)再排 a2， a4， a6，共有 A33 6 种排法，故不同的排列方法有 56 30 种 答案 30 11用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2， ， 9 的 9个小正方形，使得任意相邻 (有公共边的 )小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1、 5、 9 的小正方
8、形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 分步求解只要在涂好 1,5,9 后，涂 2,3,6 即可，若 3 与 1,5,9 同色，则2,6 的涂法为 22 ，若 3与 1,5,9 不同色，则 3有两种涂法， 2,6 只有一种涂法，同理涂 4,7,8，即涂法总数是 C13(22 C121)(22 C121) 366 108. 答案 108 12 给 n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当 n4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： 由此推断，当 n 6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 _种，至少有两个黑色正
9、方形相邻的着色方案共有 _种 (结果用数值表示 ) 答案 21； 43 三、解答题 13如右图所示三组平 行线分别有 m、 n、 k条，在此图形中 (1)共有多少个三角形？ (2)共有多少个平行四边形？ 解析 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对 应的，由分步计数原理知共可构成 m n k 个三角形 (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成 C2mC2n C2nC2k C2kC2m个平行四边形 14. 编号为 A， B， C， D， E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且 A 球不能放在 1
10、,2 号，B球必须放在与 A球相邻的盒子中 ，求不同的放法有多少种？ 解析 根据 A球所在位置分三类： (1)若 A 球放在 3号盒子内，则 B球只能放在 4号盒子内，余下的三个盒子放球C、 D、 E，则根据分步乘法计数原理得， 321 6 种不同的放法； (2)若 A 球放在 5号盒子内，则 B球只能放在 4号盒子内，余下的三个盒子放球C、 D、 E，则根据分步乘法计数原理得， 321 6 种不同的放法； (3)若 A 球放在 4号盒子内，则 B球可以放在 2号、 3号、 5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球 C、 D、 E有 A33 6 种不同的放法，根据分步乘法计数原 理得，3321
11、 18 种不同方法 综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有 6 6 18 30 种 15现安排一份 5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？ 解析 可将星期一、二、三、四、五分给 5个人，相邻的数字不分给同一个人 星期一：可分给 5 人中的任何一人，有 5 种分法； 星期二：可分给剩余 4 人中的任何一人，有 4 种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余 4 人中的任何一人，有 4种分法； 同理星期四和 星期五都有 4 种不同的分法，由分步计数原理共有 54444 1 280 种不同
12、的排法 16已知集合 A a1， a2， a3， a4， B 0,1,2,3， f是从 A 到 B的映射 (1)若 B 中每一元素都有原象，这样不同的 f 有多少个？ (2)若 B 中的元素 0 必无原象，这样的 f有多少个？ (3)若 f 满足 f(a1) f(a2) f(a3) f(a4) 4，这样的 f又有多少个？ 解析 (1)显然对应是一一对应的，即为 a1找象有 4种方法， a2找象有 3 种方法，a3找象有 2 种方法， a4找象有 1 种方法，所以不同的 f 共有 4 321 24(个 ) (2)0 必无原象， 1,2,3 有无原象不限，所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法所以不同的 f 共有 34 81(个 ) (3)分为如下四类： 第一类， A 中每一元素都与 1对应，有 1种方法； 第二类， A中有两个元素对应 1，一个元素对应 2，另一个元素与 0 对应，有 C24C 12 12 种方法； 第三类， A 中有两个元素对应 2，另两个元素对应 0，有 C24C 22 6种方法； 第四类， A中有一个元素 对应 1，一个元素对应 3，另两个元素与 0 对应，有 C14C 13 12 种方法 所以不同的 f共有 1 12 6 12 31(个 )
