1、 数学归纳法 一、选择题 1用数学归纳法证明命题 “ 当 n 是正奇数时， xn yn能被 x y 整除 ” ，在第二步时，正确的证法是 ( ) A假设 n k(k N )，证明 n k 1 命题成立 B假设 n k(k 是正奇数 )，证明 n k 1 命题成立 C假设 n 2k 1(k N )，证明 n k 1 命题成立 D假设 n k(k 是正奇数 )，证明 n k 2 命题成立 解析 A、 B、 C 中， k 1 不一定表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k 2 为奇数 答案 D 2用数学归纳法证明 “2 n n2 1 对于 n n0 的正整数 n 都成立 ” 时， 第一步证明中的起始
2、值 n0 应取 ( ) A 2 B 3 C 5 D 6 解析 分别令 n0 2,3,5, 依次验证即可 答案 C 3对于不等式 n2 nn 1(n N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 n 1 时， 12 11 1，不等式成立 (2)假设当 n k(k N*且 k1) 时，不等式成立，即 k2 kk 1，则当 n k 1时， k 2 k k2 3k 2 k2 3k k k 2 (k 1) 1， 当 n k 1 时，不等式成立，则上述证法 ( ) A过程全部正确 B n 1 验得不正确 C归纳假设不正确 D从 n k 到 n k 1 的推理不正确 解析 在 n k 1 时，没有应
3、用 n k 时的假设，不是数学归纳法 答案 D 4.利用数学归纳法证明 “1 a a2 an 1 1 an 21 a (a1 ， nN*)” 时，在验证 n 1 成立时，左边应该是 ( ) A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 解析当 n 1 时，左边 1 a a2，故选 C. 答案 C 5用数学归纳法证明 1 2 3 n2 n4 n22 ，则当 n k 1 时左端应在 n k的基础上加上 ( ) A k2 1 B (k 1)2 C. k 14 k 122 D (k2 1) (k2 2) (k2 3) (k 1)2 解析 当 n k 时，左侧 1 2 3 k2， 当 n
4、 k 1 时， 左侧 1 2 3 k2 (k2 1) (k 1)2， 当 n k 1 时，左端应在 n k 的基础上加上 (k2 1) (k2 2) (k2 3) (k 1)2. 答案 D 6下列代数式 (其中 k N*)能被 9 整除的是 ( ) A 6 67 k B 2 7k 1 C 2(2 7k 1) D 3(2 7k) 解析 (1)当 k 1 时，显然只有 3(2 7k)能被 9 整除 (2)假设当 k n(n N*)时，命题成立，即 3(2 7n)能被 9 整除， 那么 3(2 7n 1) 21(2 7n) 36. 这就是说， k n 1 时命题也成立 由 (1)(2)可知，命题对任
5、何 k N*都成立 答案 D 7用数学归纳法证明 1 12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n，则当 n k 1 时，左端应在 n k 的基础上加上 ( ) A. 12k 2 B 12k 2 C. 12k 1 12k 2 D. 12k 1 12k 2 解析 当 n k 时，左侧 1 12 13 14 12k 1 12k，当 n k 1 时， 左侧 1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2. 答案 C 二、填空题 8对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式： 22 1 3,32 1 3 5,42 1 3 5 7； 23 3 5,
6、33 7 9 11, 43 13 15 17 19. 根据上述分解规律，若 n2 1 3 5 19, m3(m N*)的分解中最小的数是 21，则 m n 的值为 _ 解析 依题意得 n2 2 100, n 10. 易知 m3 21m m m2 2, 整理得 (m 5)(m 4) 0, 又 m N*, 所以 m 5, 所以 m n 15. 答案 15 9.用数学归纳法证明： 1213 2235 n2(2n 1)(2n 1)n(n 1)2(2n 1)；当推证当 n k 1 等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当 n k 1 时， 121 3223 5k2(2k 1)(2k 1
7、)(k 1)2(2k 1)(2k 3) k(k 1)2(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3) 故只需证明 k(k 1)2(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3) (k 1)(k 2)2(2k 3) 即可 . 答案 k(k 1)2(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3)(k 1)(k 2)2(2k 3) 10如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 n(n N*)行，在这些数中非 1的数字之和是 _ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 解析 所有数字之和 Sn 20 2 22 2n 1 2n 1， 除掉 1 的和 2n 1 (2n 1) 2n
8、 2n. 答案 2n 2n 11在数列 an中， a1 13且 Sn n(2n 1)an，通过计算 a2， a3， a4，猜想 an的表达式是 _ 解析 当 n 2 时， a1 a2 6a2，即 a2 15a1 115； 当 n 3 时， a1 a2 a3 15a3， 即 a3 114(a1 a2) 135； 当 n 4 时， a1 a2 a3 a4 28a4， 即 a4 127(a1 a2 a3) 163. a1 13 113 ， a2 115 135 ， a3 135 157 ， a4 179 ， 故猜想 an 1n n . 答案 an 1n n 12用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数
9、时， xn yn能被 x y 整除 ” ，当第二步假设 n 2k 1(k N*)命题为真时，进而需证 n _时，命题亦真 解析 n 为正奇数，假设 n 2k 1 成立后，需证明的应为 n 2k 1 时成立 答案 2k 1 三、解答题 13用数学归纳法证明下面的等式 12 22 32 42 ( 1)n 1 n2 ( 1)n 1n n2 . 证明 (1)当 n 1 时，左边 12 1， 右边 ( 1)0 2 1， 原等式成立 (2)假设 n k(k N*， k1) 时，等式成立， 即有 12 22 32 42 ( 1)k 1 k2 ( 1)k 1k k2 . 那么，当 n k 1 时，则有 12
10、22 32 42 ( 1)k 1 k2 ( 1)k(k 1)2 ( 1)k 1k k2 ( 1)k( k 1)2 ( 1)k k 12 k 2(k 1) ( 1)k k k2 ， n k 1 时，等式也成立， 由 (1)(2)得对任意 n N*有 12 22 32 42 ( 1)n 1 n2 ( 1)n 1n n2 . 14已知数列 an中， a1 a(a 2)，对一切 n N*， an 0， an 1 a2nan . 求证： an 2 且 an 1 an. 证明 法一 an 1 a2nan 0， an 1， an 2 a2n 1an 1 2an 1 2an 1 0 ， an2. 若存在 ak
11、 2，则 ak 1 2， 由此可推出 ak 2 2， ， a1 2， 与 a1 a 2 矛盾，故 an 2. an 1 an an anan 0， an 1 an. 法二 (用数学归纳法证明 an 2) 当 n 1 时， a1 a 2，故命题 an 2 成立； 假设 n k(k1 且 k N*)时命题成立， 即 ak 2，那么， ak 1 2 a2kak 2ak 2ak 0. 所 以 ak 1 2，即 n k 1 时命题也成立 综上所述，命题 an 2 对一切正整数成立 an 1 an的证明同上 15已知数列 an中， a1 1， an 1 c 1an. (1)设 c 52， bn 1an 2
12、，求数列 bn的通项公式； (2)求使不等式 an an 1 3 成立的 c 的取值范围 解析 (1)an 1 2 52 1an 2 an 22an， 1an 1 2 2anan 2 4an 2 2， 即 bn 1 4bn 2. bn 1 23 4 bn 23 ，又 a1 1，故 b1 1a1 2 1， 所以bn 23 是首项为 13，公比为 4 的等比数列， bn 23 134 n 1， bn 4n 13 23. (2)a1 1， a2 c 1，由 a2 a1，得 c 2. 用数学归纳法证明：当 c 2 时， an an 1. ( )当 n 1 时， a2 c 1a1 a1，命题成立； (
13、)设当 n k(k1 且 k N*)时， ak ak 1， 则当 n k 1 时， ak 2 c 1ak 1 c 1ak ak 1. 故由 ( )( )知当 c 2 时， an an 1. 当 c 2 时，因为 c an 1 1an an 1an， 所以 a2n can 1 0 有解， 所以 c c2 42 anc c2 42 ，令 c c2 42 ， 当 2 c 103 时， an 3. 当 c 103 时， 3，且 1 an ，于是 an 1 1an( an) 13( an) 132( an 1) 13n( 1) 当 n log3 1 3时， an 1 3， an 1 3，与已知矛盾 因此
14、 c 103 不符合要求 所以 c 的取值范围是 2， 103 . 16是否存在常数 a、 b、 c 使等式 12 22 32 n2 (n 1)2 22 12an(bn2 c)对于一切 n N*都成立，若存在，求出 a、 b、 c 并证明；若不存在，试说明理由 解析 假设存在 a、 b、 c 使 12 22 32 n2 (n 1)2 22 12 an(bn2 c)对于一切 n N*都成立 当 n 1 时， a(b c) 1； 当 n 2 时， 2a(4b c) 6； 当 n 3 时， 3a(9b c) 19. 解方程组 a b c 1，a b c 3，3a b c 19.解得 a 13，b 2，c 1.证明如下： 当 n 1 时，由以上知存在常数 a， b， c 使等式成立 假设 n k(k N*)时等式成立， 即 12 22 32 k2 (k 1)2 22 12 13k(2k2 1)； 当 n k 1 时， 12 22 32 k2 (k 1)2 k2 (k 1)2 22 12 13k(2k2 1) (k 1)2 k2 13k(2k2 3k 1) (k 1)2 13k(2k 1)(k 1) (k 1)2 13(k 1)(2k2 4k 3) 13(k 1)2(k 1)2 1 即 n k 1 时，等式成立 因此存在 a 13， b 2， c 1 使等式对一切 n N*都成立
