1、 古典概型 一、选择题 1将一颗质地均匀的骰子 (它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具 )先后抛掷 3 次，至少出现一次 5 点向上的概率是 ( ) A. 5216 B. 25216 C.31216 D. 91216 解析 抛掷 3 次，共有 666 216 个事件一次也不出现 5，则每次抛掷都有 5 种可能，故一次也未出现 5 的事件总数为 555 125.于 是没有出现一次5 点向上的概率 P 125216，所求的概率为 1 125216 91216. 答案 D 2. 先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数 1、 2、 3、 4、 5、 6），骰子朝上的
2、面的点数分别为 ,mn，则 mn 是奇数的概率是（ ） A.12B.13C.14D.16答案 C 3甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ( ) A.318 B.418 C.518 D. 618 解析 正 方形四个顶点可以确定 6 条直线，甲乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本事件两条直线相互垂直的情况有 5 种 (4 组邻边和对角线 )，包括 10 个基本事件，所以概率等于 518. 答案 C 4连续抛掷 2 颗骰子，则出现朝上的点数之和等于 6 的概率为 ( ) A.536 B. 566 C. 1
3、11 D. 511 解析 设 “ 朝上的点数之和等于 6” 为事件 A，则 P(A) 536. 答案 A 5从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是 ( ) A.35 B.25 C.13 D.23 解析 取出的两个数是连续自然数有 5 种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率 P 1 515 23. 答案 D 6某种饮料每 箱装 6 听，其中有 4 听合格， 2 听不合格，现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ( ) A.115 B.35 C. 815 D.1415 解析 从 “6 听饮料中任取 2听饮料
4、 ” 这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有 15 个，而 “ 抽到不合格饮料 ” 含有 9 个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为 P 915 35. 答案 B 7一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( ) A.112 B. 110 C. 325 D. 1125 解析 小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况，故所求其概率为： 81 000 1125. 答案 D 二、填空题 8有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有 1,2,3,4 四个数字现将它连续抛掷 3 次，其底面落于桌面，
5、记三次在正四面体底面的数字和为 S，则 “ S恰好为 4” 的概率为 _ 解析 本题是一道古典概型问题用有序实数对 (a， b， c)来记连续抛掷 3 次所得的 3 个数字，总事件中含 444 64 个基本事件，取 S a b c，事件 “ S恰好为 4” 中包含了 (1,1,2)， (1,2,1)， (2,1,1)三个基本事件，则 P(S 恰好为4) 364. 答案 364 9. 现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3 为公比的 等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 解析 组成满足条件的数列为： .1 9 6 8 3,6 5 6 1,2 1 8 7
6、,7 2 9,2 4 3,81,27.9,3,1 从中随机取出一个数共有取法 10 种，其中小于 8 的取法共有 6 种，因此取出的这个数小于 8 的概率为 53 . 答案 53 10甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中 6 个选择题， 4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是 _ 解析 方法 1：设事件 A：甲乙两人中至少有一人抽到选择 题将 A 分拆为 B：“ 甲选乙判 ” ， C： “ 甲选乙选 ” ， D： “ 甲判乙选 ” 三个互斥事件， 则 P(A) P(B) P(C) P(D) 而 P(B) C16C14C110C19，
7、 P(C)C16C15C110C19， P(D)C14C 16C110C19 ， P(A) 2490 3090 2490 7890 1315. 方法 2：设事件 A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为 A ： 甲乙两人均抽判断题 P( A ) C14C13C110C191290， P(A) 1129078901315. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 1315. 答案 1315 11先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记作 a， b，与 5 分别作为三条线段的长，则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是 _ 解析 基本事件的总数是 66 36， 当 a 1 时， b
8、5 符合要求，有 1 种情况； 当 a 2 时， b 5 符合要求，有 1 种情况； 当 a 3 时， b 3,5 符合要求，有 2 种情况； 当 a 4 时， b 4,5 符合要求，有 2 种情况； 当 a 5 时， b 1,2,3,4,5,6 均符合要求，有 6 种情况； 当 a 6 时， b 5,6 符合要求，有 2 种情况 故所求其概率为： 1436 718. 答案 718 12将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a， b，则直线 ax by 0 与圆 (x 2)2y2 2 相交的概率为 _ 解析 圆心 (2,0)到直线 ax by 0 的距离 d |2a|a2 b2，当 d 2时，直线与
9、圆相交，则有 d |2a|a2 b2 2，得 b a，满足题意的 b a，共有 15 种情况，因此直线 ax by 0 与圆 (x 2)2 y2 2 相交的概率为 1536 512. 答案 512 三、解答题 13从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动 (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率； (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率 解析 设 2 名女生为 a1， a2,3 名男生为 b1， b2， b3，从中选出 2 人的基本事件有：(a1， a2)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a1， b3)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a
10、2， b3)， (b1， b2)，(b1， b3)， (b2， b3)，共 10 种 (1)设 “ 所选 2 人中恰有一名男生 ” 的事件为 A，则 A 包含的事件有： (a1， b1)，(a1， b2)， (a1， b3)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a2， b3)，共 6 种， P(A) 610 35， 故所选 2 人中恰有一名男生的概率为 35. (2)设 “ 所选 2 人中至少有一名女生 ” 的事件为 B，则 B 包含的事件有： (a1， a2)，(a1， b1)， (a1， b2)， (a1， b3)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a2， b3)，共 7
11、 种， P(B) 710， 故所选 2 人中至少有一名女生的概率为 710. 14有编号为 A1， A2， ， A10的 10 个零件，测量其直径 (单位： cm)，得到下面数据： 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间 1.48,1.52内的零件为一等品 (1)从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取 2 个 用零件的编号列出所有可能的抽取结果； 求这 2 个零件直径相等的概率 解析 (1
12、)由所给数据可知，一等品零件共有 6 个设 “ 从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品 ” 为事件 A，则 P(A) 610 35. (2) 一等品零件的编号为 A1， A2， A3， A4， A5， A6. 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个，所有可能的结果有： A1， A2， A1， A3， A1， A4， A1， A5， A1， A6， A2， A3， A2， A4， A2， A5， A2， A6， A3， A4， A3， A5， A3， A6， A4， A5， A4， A6， A5， A6，共有 15 种 “ 从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等 ”( 记为事件 B)
13、的所有可能结果有： A1， A4， A1， A6， A4， A6， A2， A3， A2， A5， A3， A5，共有 6 种所以P(B) 615 25. 15设 平面向量 am (m,1)， bn (2， n)，其中 m， n 1,2,3,4 (1)请列出有序数组 (m， n)的所有可能结果； (2)若 “ 使得 am (am bn)成立的 (m， n)” 为事件 A，求事件 A 发生的概率 解析 (1)有序数组 (m， n)的所有可能结果为 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)，(2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,3)，
14、 (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)，(4,4)，共 16 个 (2)由 am (am bn)，得 m2 2m 1 n 0，即 n (m 1)2，由于 m， n 1,2,3,4，故事件 A 包含的基本事件为 (2,1)和 (3,4)，共 2 个，又基本事件的总数为 16，故所求的概率为 P(A) 216 18. 16新华中学高三 (1)班共有学生 50 名，其中男生 30 名、女生 20 名，采用分层抽样的方法选出 5 人参加一个座谈会 (1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数； (2)座谈会结束后，决定选出 2 名同学作典型发言，方法是先从 5 人中选出 1 名
15、同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出 1 名同学发言， 求选出的 2 名同学中恰好有 1 名为女同学的概率 解析 (1)某个同学被抽到的概率 P 550 110，根据分层抽样方法，应抽取男同学 3 人，女同学 2 人 (2)记选出的 3 名男同学为 A1， A2， A3,2 名女同学为 B1， B2. 则基本事件是： (A1， A2)， (A1， A3)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A2， A1)， (A2， A3)， (A2， B1)， (A2， B2)，(A3， A1)， (A3， A2)， (A3， B1)， (A3， B2)， (B1， A1)， (B1， A2)(B1， A3)， (B1， B2)，(B2， A1)， (B2， A2)(B2， A3)， (B2， B1) 基本事件的总数为 20 个，其中满足 “ 恰好有 1 名为女同学 ” 的基本事件有 12个，故所求的概率 P 1220 35. 【点评】 近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多 .解决此类题目步骤主要有： ,第一步：根据题目要求求出数据 有的用到分层抽样、有的用到频率分布直方图等知识 ； ,第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数； ,第三步：找出所求事件的个数； ,第四步：根据古典概型公式求解； ,第五步 ：明确规范表述结论 .
