1、 空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1棱长为 2 的正四面体的表面积是 ( ) A. 3 B 4 C 4 3 D 16 解析 每个面的面积为： 1222 32 3. 正四面体的表面积为： 4 3. 答案 C 2把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( ) A 2 倍 B 2 2倍 C. 2倍 D.3 2倍 解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积 V 43 R3，知体积扩大到原来的 2 2倍 答案 B 3如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A.1423 B.2843 C.2803 D.1403 解析 根据三视图的知识及特点，可
2、画出多面体 的形状，如图所示这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V V 长方体 V 正三棱锥 446 13 1222 2 2843 . 答案 B 4某几何体的三视图如下，则它的体积是 ( ) A 8 23 B 8 3 C 8 2 D.23 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为 2 的圆锥，所以 V 23 132 8 23 . 答案 A 5已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为 ( ) A 24 32 B 24 3 C 24 D 24 2 解析 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一
3、个半圆柱，其中长方体的棱长分别为： 2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积 V 234 121 23 24 32 . 答案 A 6某品牌香水瓶的三视图如图 (单位： cm)，则该几何体的表面积为 ( ) A. 95 2 cm2 B. 94 2 cm2 C. 94 2 cm2 D. 95 2 cm2 解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为 233 121 4 30 4 ；中间部分的表面积为 2 121 ，下面部分的表面积为 244 162 4 64 4.故其表面积是 94 2. 答案 C 7已知球的直径 SC 4， A，
4、 B 是该球球面上的两点， AB 3， ASC BSC30 ，则棱锥 S-ABC 的体积为 ( ) A 3 3 B 2 3 C. 3 D 1 解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径 SC于 D，设 SD x，则 DC 4 x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD，在 SAD 和 SBD 中，由已知条件可得 AD BD 33 x，又因为 SC 为直径，所以 SBC SAC 90 ，所以 DCB DCA 60 ，在 BDC 中 ， BD 3(4 x)，所以 33 x 3(4 x)，所以 x 3， AD BD 3，所以三角形 ABD 为
5、正三角形，所以 V 13S ABD4 3. 答案 C 二、填空题 8三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC， PA 3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体积等于 _ 解析 依题意有，三棱锥 PABC 的体积 V 13S ABC| PA| 13 34 2 23 3. 答案 3 9一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 _ 解析 设圆柱的底面半径是 r，则该圆柱的母线长是 2r，圆柱的侧面积是 2 r2 r 4 r2，设球的半径是 R，则球的表面积是 4 R2，根据已知 4 R2 4 r2，所以 R r.所以
6、圆柱的体积是 r22 r 2 r3，球的体积是 43 r3，所以圆柱的体积和球的体积的比是 2 r343 r3 3 2. 答案 3 2 10如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是 _ 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 32 ，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 22 ，所以体积 V 1311 22 26 . 答案 26 11如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 _ 解析 由球的半径为 R，可知球的表面积为 4 R2.设
7、内接圆柱底面半径为 r，高为 2h，则 h2 r2 R2.而圆柱的侧面积为 2 r2 h 4 rh4 r2 h22 2 R2(当且仅当 r h 时等号成立 )，即内接圆柱的侧面积最大值为 2 R2，此时球的表面积与内接圆柱的 侧面积之差为 2 R2. 答案 2 R2 12如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为 _cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 52 122 13 (cm) 答案 13
8、三、解答题 13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示，墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方 体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正视图和俯视图 (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积 解析 (1)侧视图同正视图，如图所示： (2)该安全标识墩的体积为 V VPEFGH VABCDEFGH 1340 260 40220 64 000(cm3) 14 .一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1 的平行四边形，侧视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为1 的正方形拼成的矩形 (1)求该几何体的 体积 V；
9、(2)求该几何体的表面积 S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体 (如图 )，其底面是边长为 1的正方形，高为 3， 所以 V 11 3 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D 平面 ABCD， CD 平面 BCC1B1， 所以 AA1 2，侧面 ABB1A1， CDD1C1 均为矩形， S 2(11 1 3 12) 6 2 3. 15已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图 (或称主视图 )是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图 (或称左视图 )是一个底边长为 6、高为4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S
10、. 解析 由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥， 其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相 对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为 6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示 (1)几何体的体积为： V 13 S 矩形 h 13684 64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为： h1 42 32 5.左、右侧面的底边上的高为： h2 42 42 4 2. 故几何体的侧面面积为： S 2 1285 1264 2 40 24 2. 16四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面
11、积 解析 (1)如图，在四面体 ABCD 中，设 AB BC CD AC BD a， AD x，取 AD 的中点为 P， BC 的中点为 E，连接 BP、 EP、 CP.得到 AD 平面 BPC， VA-BCD VA-BPC VD-BPC 13 S BPC AP 13S BPC PD 13 S BPC AD 13 12 a a2 x24a24 x a12 a2 x2 x2 a12 3a22 18a3(当且仅当 x 62 a 时取等号 ) 该四面体的体积的最大值为 18a3. (2)由 (1)知， ABC 和 BCD 都是边长为 a 的正三角形， ABD 和 ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为 a，底边长为 62 a， S 表 2 34 a2 2 12 62 a a2 64 a 2 32 a2 62 a 10a4 32 a2 15a24 2 3 154 a2.
