1、 抛物线 一、选择题 1抛物线 x2 (2a 1)y的准线方程是 y 1，则实数 a ( ) A.52 B.32 C 12 D 32 解析 根据分析把抛物线方程化为 x2 2 12 a y，则焦参数 p 12 a， 故抛物线的准线方程是 y p212 a2 ，则12 a2 1，解得 a32. 答案 D 2若抛物线 y2 2px(p0)的焦点在圆 x2 y2 2x 3 0 上，则 p ( ) A.12 B 1 C 2 D 3 解析 抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 (p2， 0)在圆 x2 y2 2x 3 0 上 ， p24 p 3 0，解得 p 2 或 p 6(舍去 ) 答案 C 3已知抛
2、物线 y2 2px(p 0)的准线与圆 x2 y2 6x 7 0 相切，则 p 的值为( ) A.12 B 1 C 2 D 4 解析 抛物线 y2 2px(p 0)的准线为 x p2，圆 x2 y2 6x 7 0，即 (x 3)2 y2 16，则圆心为 (3,0)，半径为 4；又因抛物线 y2 2px(p 0)的准 线与圆 x2 y2 6x 7 0 相切，所以 3 p2 4，解得 p 2. 答案 C 4已知直线 l过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l与 C 交于 A， B两点，|AB| 12， P为 C的准线上一点，则 ABP 的面积为 ( ) A 18 B 24 C 36 D
3、48 解析 如图，设抛物线方程为 y2 2px(p 0) 当 x p2时， |y| p， p |AB|2 122 6. 又 P 到 AB的距离始终为 p， S ABP 12126 36. 答案 C 5. 过抛物线 2 4yx 的焦点 F 的直线交抛物线于 ,AB两点，点 O 是原点，若3AF ,则 AOB 的面积为（ ） A 22 B 2 C 322 D 22 答案 C 6将两个顶点在抛物线 y2 2px(p 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 ( ) A n 0 B n 1 C n 2 D n3 解析 结合图象可知，过焦点斜率为 33 和 33 的直线与抛物线各有两个
4、交点，所以能够构成两组正三角形本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦 答案 C 7已知点 P 是抛物线 y2 2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) A. 172 B 3 C. 5 D.92 解析 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P ，抛物线的焦点为 F，则 F 12， 0 .依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 |PP| |PF|，则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 d |PF| |PA| AF| 12 2 22172 . 答案 A 二、填空题 8设抛物线 y2 2px(p0)的焦
5、点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B在抛物线上，则 B到该抛物线准线的距离为 _ 解析 设抛物线的焦点 F p2， 0 ，由 B 为线段 FA的中点，所以 B p4， 1 ，代入抛物线方程得 p 2，则 B到该抛物线准线的距离为 p4 p2 3p4 3 24 . 答案 3 24 9已知动圆过点 (1,0)，且与直线 x 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ 解析 设动圆的圆心坐标为 (x， y)，则圆心到点 (1,0)的距离与其到直线 x 1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2 4x. 答案 y2 4x 10已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线与 x
6、 轴的交点为 M， N为抛物线上的一点，且满足 |NF| 32 |MN|，则 NMF _. 解析 过 N作准线的垂线，垂足是 P，则有 PN NF， PN 32 MN， NMF MNP.又 cos MNP 32 ， MNP 6，即 NMF 6 . 答案 6 11设圆 C 位于抛物线 y2 2x 与直线 x 3所围成的封闭区域 (包含边界 )内，则圆 C 的半径能取到的最大值为 _ 解析 依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于 x 轴上时才有可能，可设圆心坐标是 (a,0)(0 a 3)，则由条件知圆的方程是 (x a)2 y2 (3 a)2.由 x a2 y
7、2 a 2y2 2x 消去 y 得 x2 2(1 a)x 6a 9 0，结合图形分析可知，当 2(1 a)2 4(6a 9) 0 且 0 a 3，即 a 4 6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是 3 a 6 1. 答案 6 1 12. 过抛物线 2 2yx 的焦点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 ,AB 两点，若25 ,12AB AF BF则 AF = 。 答案 56 三、解答题 13在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A(2,2)，其焦点 F 在 x轴上 (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)设直线 l是抛物线的准线，求证：以 AB 为直径
8、的圆与准线 l 相切 解析 (1)设抛物线 y2 2px(p0)，将点 (2,2)代入得 p 1. y2 2x为所求抛物线的方程 (2)证明：设 lAB的方程为： x ty 12，代入 y2 2x得： y2 2ty 1 0，设 AB 的中点为 M(x0， y0)，则 y0 t， x0 1 2t22 . 点 M 到准线 l 的距离 d x0 12 1 2t22 12 1 t2.又 AB 2x0 p 1 2t2 1 2 2t2， d 12AB，故以 AB 为直径的圆与准线 l相切 14抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经 过焦点且倾斜角为 135 的直线，被抛物线所截得的弦长为 8，试求该抛
9、物线的方程 解析 依题意，设抛物线方程为 y2 2px(p 0)， 则直线方程为 y x 12p. 设直线交抛物线于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点， 过 A、 B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、 D， 则由抛物线定义得 |AB| |AF| |FB| |AC| |BD| x1 p2 x2 p2， 即 x1 x2 p 8. 又 A(x1， y1)、 B(x2， y2)是抛物线和直线的交点， 由 y x 12p，y2 2px，消去 y， 得 x2 3px p24 0，所以 x1 x2 3p. 将其代入 得 p 2，所以所求抛物线方程为 y2 4x. 当抛物线方程设为 y2 2px
10、(p 0)时， 同理可求得抛物线方程为 y2 4x. 综上，所求抛物线方程为 y2 4x或 y2 4x. 【点评】 根据问题的条件，抛物线方程可能是 y2 2px p ，也可能是 y2 2px p ，任何一种情况都不要漏掉 要由定 “ 性 ” 和 “ 量 ” 两个方面来确定抛物线的方程 .定 “ 性 ” ，即确定开口方向，便于设抛物线的方程 .定 “ 量 ” ，即求所设方程中的参数 p. 15设抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F， Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于 P点，过 Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于 R 点，求证： PF RF 0. 证明 y2 2px(p
11、0)的焦点 F p2， 0 准线为 x p2. 设 Q(x0， y0)(x00) ，则 R p2， y0 ， 直线 OQ 的方程为 y y0x0x，此直线交准线 x p2于 P 点， 易求得 P p2， py02x0. y20 2px0， PF RF p， py02x0( p， y0) p2 py202x0 p2 p2 0. 16如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1，y1)， B(x2， y2)均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2的值及直线 AB 的斜率 解析 (1
12、)由已知条件，可设抛物线的方程为 y2 2px(p 0) 点 P(1,2)在抛物线上， 22 2p1 ，解得 p 2. 故所求抛物线的方程是 y2 4x，准线方程是 x 1. (2)设直线 PA的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB， 则 kPA y1 2x1 1(x11) ， kPB y2 2x2 1(x21) ， PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补， kPA kPB. 由 A(x1， y1)， B(x2， y2)均在抛物线上，得 y21 4x1， y22 4x2， y1 214y21 1 y2 214y22 1， y1 2 (y2 2) y1 y2 4. 由 得， y21 y22 4(x1 x2)， kAB y1 y2x1 x2 4y1 y2 1(x1 x2)
