1、 平面向量的数量积 一、选择题 1若向量 a， b， c 满足 a b 且 a c，则 c( a 2b) ( ) A 4 B 3 C 2 D 0 解析：由 a b 及 a c，得 b c， 则 c( a 2b) c a 2c b 0. 答案： D 2若向量 a与 b不共线， a b0 ，且 c a a aa b b，则向量 a与 c的夹角为 ( ) A 0 B.6 C.3 D. 2 解析 ac a a aaab b aa a2ab ab a2 a2 0， 又 a0 ， c0 ， ac ， a， c 2 ， 故选 D. 答案 D 3. 设向量 a =（ 1.cos ）与 b =（ -1， 2co
2、s ）垂直，则 cos2 等于 （ ） A 22 B12 C .0 D.-1 解析 22, 0 , 1 2 c o s 0 , c o s 2 2 c o s 1 0 .a b a b 正确的是 C. 答案 C 4已知 |a| 6， |b| 3， a b 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( ) A 4 B 4 C 2 D 2 解析 设 a 与 b 的夹角为 ， a b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积，而 cos a b|a|b| 23， |a|cos 6 23 4. 答案 A 5若 a， b， c 均为单位向量，且 a b 0， (a c)( b c)
3、0 ，则 |a b c|的最大值为 ( ) A. 2 1 B 1 C. 2 D 2 解析 由已知条件，向量 a， b， c 都是单位向量可以求出， a2 1， b2 1， c2 1，由 a b 0，及 (a c)(b c)0 ，可以知道， (a b) c c2 1，因为 |a bc|2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c，所以有 |a b c|2 3 2(a cb c)1 ， 故 |a b c|1. 答案 B 6已知非零向量 a、 b 满足 |a| 3|b|，若函数 f(x) 13x3 |a|x2 2ab x 1在 x R 上有极值，则 a， b的取值范围是 ( ) A. 0， 6
4、 B. 0， 3 C. 6， 2 D. 6 ， 解析 f(x) 13x3 |a|x2 2ab x 1在 x R 上有极值， f( x) 0有两不相等的实根， f( x) x2 2|a|x 2ab ， x2 2|a|x 2ab 0 有两个不相等的实根， 4|a|2 8ab 0，即 ab 12|a|2， cos a， b ab|a|b|，|a| 3|b|， cos a， b12|a|2|a|b|32 ， 0 a， b ， 6 a， b . 答案 D 7如图， 已知正 六边形 P1P2P3P4P5P6 ，下列向 量的数 量积中最 大的是( ) A.P1P2 P1P3B.P1P2 P1P4C.P1P2
5、 P1P5D.P1P2 P1P6解析 由于 P1P2 P1P5，故其数量积是 0，可排除 C； P1P2与 P1P6的夹角是 23 ， 故其数量积小于零，可排除 D；设正六边形的边长是 a， 则 P1P2 P1P3 |P1P2|P1P3|cos 30 32a2， P1P2 P1P4 |P1P2|P1P4|cos 60 a2. 答案 A 二、填空题 8已知向量 a， b 均为单位向量，若它们的夹角是 60 ，则 |a 3b|等于 _ 解析 |a 3b|2 a2 6a b 9b2 10 6cos60 7， |a 3b| 7. 答案 7 9.已知向量 (3, 2)a, (3 1,4 )a m m ，
6、若 ab ，则 m 的值为 解析 , 3 ( 3 1 ) ( 2 ) (4 ) 0 , 1a b a b m m m 答案 1 10已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a b 与向量 ka b垂直，则 k _. 解析 设 a 与 b 夹角为 ，由题意知 |a| 1， |b| 1， 0 且 . 由 a b与向量 ka b 垂直，得 (a b)( ka b) 0，即 k|a|2 (k 1)|a|b|cos |b|2 0， (k 1)(1 cos ) 0. 又 1 cos 0 ， k 1 0， k 1. 答案 1 11已知 e1， e2是夹角为 23 的两个单位向量， a
7、 e1 2e2， b ke1 e2.若 a b 0，则实数 k 的值为 _ 解析 由题意知： a b (e1 2e2)( ke1 e2) 0，即 ke21 e1e2 2ke1e2 2e22 0，即 k cos23 2kcos23 2 0, 化简可求得 k 54. 答案 54 12在等腰直角三角形 ABC 中， D 是斜边 BC的中点，如果 AB 的长为 2，则 (AB AC ) AD 的值为 _ 解析： |BC |2 |AB |2 |AC |2 8， |AD | 12|BC |， AB AC 2AD ， ( AB AC ) AD 2AD AD 12|BC |2 4. 答案： 4 三、解答题 1
8、3已知向量 a (1,2)， b (2， 2) (1)设 c 4a b，求 (b c)a； (2)若 a b 与 a 垂直，求 的值； (3)求向量 a 在 b 方向上的投影 解析 ： (1) a (1,2)， b (2， 2)， c 4a b (4,8) (2， 2) (6,6) b c 26 26 0， (b c) a 0a 0. (2) a b (1,2) (2， 2) (2 1,2 2 )， 由于 a b 与 a 垂直， 2 1 2(2 2 ) 0， 52. (3)设向量 a 与 b 的夹角为 ， 向量 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos . |a|cos a b|b| 12 2
9、2 2 22 2 22 . 14如图所示， AB (6,1)， BC (x， y)， CD ( 2， 3) (1)若 BC DA，求 x 与 y之间的关系式； (2)在 (1)条件下，若 AC BD，求 x， y 的值及四边形 ABCD 的面积 解析 (1) AD AB BC CD (x 4， y 2)， DA AD ( x 4,2 y) 又 BC DA且 BC (x， y)， x(2 y) y( x 4) 0， 即 x 2y 0. (2)由于 AC AB BC (x 6， y 1)， BD BC CD (x 2， y 3)，又 AC BD， AC BD 0. 即 (x 6)(x 2) (y
10、1)(y 3) 0， 联立 化简，得 y2 2y 3 0， y 3 或 y 1. 故当 y 3时， x 6，此时 AC (0,4)， BD ( 8,0)， SABCD 12|AC| BD| 16； 当 y 1时， x 2，此时 AC (8,0)， BD (0， 4)， SABCD 12|AC| BD| 16. 15已知平面上三点 A， B， C满足 |AB| 3， |BC| 4， |CA| 5，求 AB BC BC CA CA AB的值 解析 由题意知 ABC 为直角三角形， AB BC， AB BC 0， cos BAC 35， cos BCA 45， BC和 CA夹角的余弦值为 45， C
11、A和 AB夹角的余弦值为 35， AB BC BC CA CA AB 20 45 15 35 25. 16设两向量 e1， e2满足 |e1| 2， |e2| 1， e1， e2的夹角为 60 ，若向量 2t e1 7e2与向量 e1 t e2的夹角为钝角，求实数 t的取值范围 思路分析 转化为 (2te1 7e2)( e1 te2) 0 且 2te1 7e2 (e1 te2)( 0) 解析 由已知得 e21 4， e22 1， e1 e2 21cos 60 1. (2te1 7e2)( e1 te2) 2te21 (2t2 7)e1 e2 7te22 2t2 15t 7. 欲使夹角为钝角，需
12、 2t2 15t 7 0. 得 7 t 12. 设 2t e1 7e2 (e1 t e2)( 0) 2t ，7 t . 2t2 7. t 142 ，此时 14. 即 t 142 时，向量 2te1 7e2与 e1 te2的夹角为 . 夹角为钝角时， t的取值范围是 7， 142 142 ， 12 【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想 .转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总 离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等 .各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中 .
